平衡原理與機理模型

1、3.3 平衡原理 與機理模型13.3 平衡原理與機理模型一. 平衡原理 自然界任何物質(zhì)在其運動變化過程中一定受到某種平衡關(guān)系的支配。二. 機理模型 在一定的假設(shè)下，根據(jù)主要因素相互作用的機理，對它們之間的平衡關(guān)系的數(shù)學(xué)描述。2關(guān)于假設(shè) 是對實際問題的抽象、化簡和規(guī)范 是組建數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)和前提。 假設(shè)較強，模型簡單易分析和操作 但與實際差距大。 假設(shè)較弱，模型比較接近實際。 但模型復(fù)雜不易操作。3關(guān)于平衡關(guān)系1.平衡關(guān)系是數(shù)學(xué)模型的核心，建模的關(guān)鍵。2.有些平衡關(guān)系是明顯的。 有些平衡關(guān)系隱藏在問題的背后 需要在化簡之后逐漸明確出來。3.有些平衡關(guān)系本身就直接構(gòu)成了模型。 有些平衡關(guān)系還需要經(jīng)

2、過數(shù)學(xué)上 的加工整理才能得到理想的模型。4三. 模型舉例例1. 人口的自然增長. 建模描述一個地區(qū)內(nèi)人口的自然增殖的過程。即考慮由于人口的生育和死亡所引起的人群數(shù)量變化的過程。 令N(t)表示t時刻的人口數(shù)。 假設(shè)1. 人群個體同質(zhì)。 N(t) 連續(xù)可微. 假設(shè)2. 群體規(guī)模大。 平衡原理與機理模型5平衡關(guān)系：人口數(shù)在區(qū)間t，t+t內(nèi)的改變量等于這段時間內(nèi)出生的個體數(shù)與死亡的個體數(shù)之差。假設(shè)3. 群體封閉，只考慮生育和死亡對人口的影響。6 令B(t, t, N), D(t, t, N) 分別表示生育數(shù)和死亡數(shù), 則有 平衡原理與機理模型假設(shè)4. 從大群體的平均效應(yīng)考慮生育和死亡對人口的影響（生

3、育率和死亡率） 生育率 b(t, t,N)=B(t, t N)/N 死亡率 d(t, t,N)=D(t t,N)/N則有7平衡原理與機理模型由于R(t,t,N)|t=0=0，將R(t, t,N) 關(guān)于t展開令 t0 取極限可得假設(shè)5. 群體增長恒定. 則 r(t, N) = r( N)假設(shè)6. 個體增長獨立. 則 r( N) = r.8在離散時間點k=0, 1, 2, , 上有 N(k+1) = erN(k) = N(k)Marthus 模型 “若我的兩個假設(shè)是成立的,那么,我認為人口繁殖的能量是無限地大于自然界為人類提供資料的能量的。 人口如果不受控制，它會以幾何比率增長。而生活資料只能以算

4、術(shù)比率增長?！闭撊丝谠?1798年) 給定初值 N(0)=N0，可得9假設(shè)1. 人群個體同質(zhì)。假設(shè)2. 群體規(guī)模大。假設(shè)3. 群體封閉，只考慮生育和死亡對人口的影響。假設(shè)4. 從大群體的平均效應(yīng)考慮生育和死亡對人口的影響。（生育率和死亡率）假設(shè)5. 群體增長恒定。假設(shè)6. 個體增長獨立。平衡原理與機理模型10模型的討論 1. 作為人口自然增長，模型與實際是不同的。許多國家、地區(qū)人口增長不符合這個模型。 2. 只考慮增長和衰減時，模型是正確的。 3. 模型是可以改進的。 1112Logistic 模型 1. 模型: 在有限的資源內(nèi)生物種群不可能無限增長. 存在有飽和水平, 種群增加接近飽和水平

5、時增長速度減慢而趨于零. 假設(shè) 60 需要修改: r = r(N), r(N) K, N 0; N = K, N = 0; N 0. K : 環(huán)境承載力或飽和水平. K 時，模型退化為 Malthus 模型， r ：內(nèi)稟增長率 20. 模型的解：分離變量法 遞增，有極限 K，依賴于三個參數(shù)。1430. 模型的動態(tài)特征 平衡解：模型不依賴于時間的解 N0*=0，N1*=K。 平衡解的穩(wěn)定性：N0* 不穩(wěn)定，N1* 穩(wěn)定。15平衡原理與機理模型例2 池水含鹽 池中有一定體積的鹽水，從池的上部向池中注入一定濃度的鹽水?；旌虾蟮柠}水將從池的下部流出。建模描述池中鹽水濃度的動態(tài)。假設(shè)： 1. 鹽水注入池

6、中后迅速混合 2. 池中鹽水濃度均勻。16平衡關(guān)系 在時間段t+t內(nèi), 池中鹽水體積的改變量等于這段時間內(nèi)流入鹽水的體積與流出鹽水體積之差； 在時間段t+t內(nèi), 池中(純)鹽的改變量等于這段時間內(nèi)流入的(純)鹽的量與流出的(純)鹽的量之差。變量、參量： 池中鹽水體積 V(t), 池中鹽水濃度 p(t); 流入鹽水速度 rI(t), 流入鹽水濃度 pI(t); 流出鹽水速度rO(t), 流出鹽水濃度 p(t).17平衡原理與機理模型數(shù)學(xué)建模池中鹽水的改變量 V(t+t)-V(t) 流入鹽水量流出鹽水量池中鹽的改變量 p(t+ t)V(t+ t)-p(t)V(t) 流入鹽量 流出鹽量 18平衡原理

7、與機理模型利用積分中值定理可得 類似地有19平衡原理與機理模型模型20平衡原理與機理模型連續(xù)模型組建的微元法 在自變量的微小的區(qū)間內(nèi)以簡單的形式描述有關(guān)變量之間的平衡關(guān)系, 再利用微分學(xué)的思想進一步處理它, 得到以微分方程的形式描述的數(shù)學(xué)模型。21例3. 買房貸款：銀行向購房人提供個人住房貸款。償還貸款時要求借款人在借款期間內(nèi)每月以相等的月均還款額償還銀行貸款本金和利息。試組建模型計算月均還款額 22假設(shè): 1. 每月月底還款； 2. 每月還款金額相等； 3. 按月計算利息； 4. 借款期末還清貸款。參量、變量 貸款額：A(萬元)， 貸款期限：N年(n=12N月) , 月利率：r， 月均還款額

8、：x。23模型 平衡關(guān)系本月月底還款后的欠款余額等于上月欠款 余額的本利和扣除月還款后的金額。 令Ck表示第k月月底還款后的欠款余額，則有 Ck= (1+r)Ck-1-x 24令 C*= (1+r)C* - x, 則有 C*= x/r. 可得 Ck-C* = (1+r) (Ck-1-C*) = (1+r)k(C0-C*)利用 C0=A, Cn=0 和 C*=x/r 可得 (1+r)n(A-x/r)-x/r=0 (1+r)nA-(1+r)n-1/rx = 025平衡原理與機理模型問題P88 14，15，1326問題：大江截流 1997年11月8日電視正在播放十分壯觀的長江三峽工程大江截流的實況。 截流從8：55開始，當時龍口水面寬40m，水深60m。 到11：50時，播音員報告寬為34.4m。 到13：00時，播音員又報告寬31m。27這時電視機旁的小明說，現(xiàn)在可以估算下午幾點合龍。8：55到11：50，進展的速度為每小時寬度減少1.9m。從11：50到13：00，每小時寬度減少2.9m。小明認為回填速度是越來越快的，近似地每小時速度加快1m。從下