2022年《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教案

1、選修 1-1 2.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教材分析 圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容,它的很多幾何性質(zhì)在日常生活、生產(chǎn)和 科學(xué)技術(shù)中都有著廣泛的應(yīng)用；本節(jié)是圓錐曲線與方程的第一節(jié)課,主要學(xué)習(xí)橢 圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程；它是本章也是整個(gè)解析幾何部分的重要基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)；第一,在教材結(jié)構(gòu)上,本節(jié)內(nèi)容起到一個(gè)承上啟下的重要作用；前面同學(xué)用坐標(biāo) 法討論了直線和圓,而對(duì)橢圓概念與方程的討論是坐標(biāo)法的深化,也適用于對(duì)雙曲線 和拋物線的學(xué)習(xí),更是解決圓錐曲線問(wèn)題的一種有效方法；其次,對(duì)橢圓定義與方程的討論,將曲線與方程對(duì)應(yīng)起來(lái),表達(dá)了函數(shù)與方程、數(shù)與形結(jié)合的重要思想；而這種思想,將貫穿于整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；第三

2、,對(duì)橢圓定義與方程的探究過(guò)程,使同學(xué)經(jīng)受了觀看、推測(cè)、試驗(yàn)、推理、溝通、反思等理性思維過(guò)程,培育了同學(xué)的思維方式,加強(qiáng)了運(yùn)算才能,提高了他們 提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的才能,為后續(xù)學(xué)問(wèn)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)；教學(xué)課題橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)涼山民中數(shù)學(xué)組： 陳肖林課程類型新知課1. 在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容以前,同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和圓的方程,初步明白了用坐標(biāo) 法求曲線的方程及其基本步驟,經(jīng)受了動(dòng)手試驗(yàn)、觀看分析、歸納概括、學(xué)情分析 建立模型的基本過(guò)程,這為進(jìn)一步學(xué)習(xí)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程奠定了基礎(chǔ)；2. 在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中,橢圓定義的歸納概括、方程的推導(dǎo)化簡(jiǎn)對(duì)同學(xué)是一個(gè)考查,加之高2022級(jí)14班是“ 二層次

3、” 的文科班,可能會(huì)有一部分同學(xué)探究學(xué)習(xí)受阻,老師要適時(shí)加以點(diǎn)撥指導(dǎo)；教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)感受建立曲線方程的基本過(guò)程,把握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)方法；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)；學(xué)問(wèn)與技能： 懂得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)；把握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；會(huì)依據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,會(huì)依據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo). 過(guò)程與方法： 讓同學(xué)經(jīng)受橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程,進(jìn)一步把握求曲線方程的一般方法, 體會(huì)數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想；培育同學(xué)運(yùn)用類比、聯(lián)想等方法提出問(wèn)題 . 情感、態(tài)度與價(jià)值觀： 通過(guò)詳細(xì)的情境感知討論橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的必要性和教學(xué)方法實(shí)際意義；體會(huì)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美,培育同學(xué)的審美樂(lè)趣,形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)的積極態(tài)度

4、. 啟示探究法,講練結(jié)合法教學(xué)手段用 PPT及幾何畫板制作的多媒體課件教學(xué)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程 教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖（一）創(chuàng)設(shè)情境,復(fù)習(xí)引入問(wèn)：自然界到處存在著橢借助多媒體生圓, 我們?nèi)绾斡米约旱碾p手畫由嫦娥二號(hào)繞月飛行的運(yùn)動(dòng)軌跡動(dòng)、直觀的演示,出橢圓呢 . 及現(xiàn)實(shí)生活中的多幅橢圓的圖片引入；（先請(qǐng)同學(xué)上黑板畫出橢使同學(xué)明確學(xué)習(xí)（行星運(yùn)行、國(guó)家大劇院等）圓,介紹課前數(shù)學(xué)試驗(yàn)中的方橢圓的重要性和法并利用幾何畫板演示作橢（二）動(dòng)手試驗(yàn),歸納概念圓）必要性；同時(shí),激提出問(wèn)題：“ 在畫圖的過(guò)發(fā)他們探求實(shí)際程中,哪些量發(fā)生了變化,哪橢圓的定義: 平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1, 些量沒(méi)有變？”問(wèn)題的愛好,使他

5、讓同學(xué)依據(jù)自己的試驗(yàn),們主動(dòng)、積極地參觀看回答：“ 兩定點(diǎn)間的距離與到教學(xué)中來(lái),為沒(méi)變,繩子的長(zhǎng)度沒(méi)變,點(diǎn)在后面的學(xué)習(xí)做好運(yùn)動(dòng)；”再問(wèn)：“ 你們能依據(jù)剛才預(yù)備；畫橢圓的過(guò)程,類比圓的定以活動(dòng)為載義,歸納概括出橢圓的定義體,讓同學(xué)在F2 的 距 離 之 和 為 固 定 值 大 于嗎？”“做 ”中 學(xué)|F1F2| 的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓. 先 讓 同學(xué) 獨(dú) 立思 考 一分?jǐn)?shù)學(xué),通過(guò)畫留意 : 橢圓定義中簡(jiǎn)潔遺漏的三處地鐘,然后同桌溝通,再進(jìn)行全橢圓,經(jīng)受知班溝通,逐步完善,概括出橢識(shí) 的 形 成 過(guò)方：圓的定義；（1）必需在平面內(nèi); 程,積存感性引導(dǎo)同學(xué)對(duì)定義中的關(guān)鍵體會(huì)；（ 2）兩個(gè)定點(diǎn)-兩點(diǎn)間距離

6、確詞進(jìn)行分析懂得定; 問(wèn)：“ 為何固定值要（3）繩長(zhǎng) - 軌跡上任意點(diǎn)到兩定大于兩定點(diǎn)間的距離呢？等點(diǎn)距離和確定于、小于又如何呢？”（同學(xué)動(dòng)手驗(yàn)證并發(fā)表自總結(jié)：當(dāng)大于時(shí)橢圓己看法,我再用課件演示）當(dāng)?shù)扔跁r(shí)線段當(dāng)小于時(shí)不存在先回憶圓方程推導(dǎo)的步驟,給出求（三）啟示引導(dǎo),推導(dǎo)方程動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：1、建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用有序?qū)?數(shù)對(duì)（ x,y ）表示曲線上任意一點(diǎn) M的坐 標(biāo); 2、寫出適合條件 P （M） ; 3、用坐標(biāo)表示條件 P（M）,列出 方程 ; 4、化方程為最簡(jiǎn)形式；探討幾種建系方案；最終采納以下 兩種方案問(wèn)：怎么推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？. 探討建立平面直角坐 標(biāo)系的方案 啟示同學(xué)

7、類比求圓的方程 的建系方法,建立適當(dāng)?shù)闹苯?坐標(biāo)系；方案一： 以兩定點(diǎn)的連線為 X軸,其垂直平分線為 Y 軸；方案二： 以兩定點(diǎn)的連線為 Y軸,其垂直平分線為 X 軸； 原就： 盡可能使方程的形式簡(jiǎn)潔、運(yùn)算簡(jiǎn)潔 一般利用對(duì)稱軸或已有的相互垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸 . 表達(dá)“ 對(duì)稱美” “ 簡(jiǎn)潔美” 的特點(diǎn)c問(wèn)：下面怎樣化簡(jiǎn)？帶根式的方程一般來(lái)說(shuō)：.寫出動(dòng)點(diǎn) P滿意的條件方程中只有一個(gè)二次根設(shè)P x, y是橢圓上任意一點(diǎn),式時(shí),需將它單獨(dú)留在方程的橢圓的焦距 |F 1F2|=2cc0,一邊,把其它各項(xiàng)移到另一就 F1 、 F2 的坐標(biāo)分別是 c,0、邊,平方一次；的化簡(jiǎn),同學(xué)會(huì)感c,0 .

8、 方程中有兩個(gè)二次根式到困難 , 這也是教P 與 F1 和 F2的距離的和為固定值時(shí),需將它們分散,放在方程學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)；教的兩邊,使其中一邊只有一個(gè)2a2a2c 根式,平方兩次；學(xué)時(shí),要留意說(shuō)明啟示同學(xué)依據(jù)橢圓的定義,寫出動(dòng)待大多數(shù)同學(xué)都有了結(jié)這類方程的化簡(jiǎn)點(diǎn) P 滿意的條件,即：果：x2a2y2c21ac0方法；|PF 1|PF2|2 a2a由于之后,指出：這個(gè)方程仍不夠|PF 1|xc2y2|,PF2|x2 簡(jiǎn)潔對(duì)稱,讓同學(xué)觀看圖形：2y 問(wèn)：“ 你們能從圖中找出得到表示 a、c、a2c2的線段xc 2y2xc2y22 a嗎？”問(wèn)：剛才我們得到了焦點(diǎn)通過(guò)觀看,同學(xué)簡(jiǎn)潔得出結(jié)論,并 懂得了

9、換元的合理性； 這樣不僅使方程在x軸上的橢圓方程,如何推 導(dǎo)焦點(diǎn)在 y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)具有了對(duì)稱性, 而且使字母b 也有了明方程呢？在 師 生 互 動(dòng) 的 過(guò)確的幾何意義；從而將方程簡(jiǎn)化為：?jiǎn)⑹荆骸?除了用剛才的方x2y21（ab0 法x2y21推導(dǎo)一遍外,a2b2a22 b我們稱它為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；仍有別的方法嗎？”程中,讓同學(xué)體會(huì). 總結(jié)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)同學(xué)經(jīng)過(guò)觀看摸索會(huì)發(fā)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn),使他們的觀看才能、運(yùn)（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊現(xiàn),只要交換坐標(biāo)軸就可以算才能、推理才能是兩個(gè)分式的平方和,右邊是1 了,從而得到了焦點(diǎn)在Y軸上得到訓(xùn)練,滲透數(shù)（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

10、方程：形 結(jié) 合 的 數(shù) 學(xué) 思a、b、c滿意 a2=b2+c2；想；并感受橢圓方（3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出y2x21（ab0 程 、 圖 形 的 對(duì) 稱三個(gè)參數(shù) a、 b、c的值；美,獲得勝利的喜a2b2（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,x2與y2悅！的分母哪一個(gè)大,就焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸通過(guò)填表,進(jìn)上；行對(duì)比總結(jié),不僅通過(guò)表格的形式,讓同學(xué)對(duì)兩種方使同學(xué)加深了對(duì)程進(jìn)行對(duì)比分析, 強(qiáng)化對(duì)橢圓方程的理橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)解；方程的懂得,有助（附表如下）于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)不標(biāo)準(zhǔn)方程形x2+y2= 1 ab 0 x x2+y2= 1 ab 0a22 b22 ba圖y PF2y Px 同F(xiàn)1O F2O 點(diǎn)F1相焦點(diǎn)坐標(biāo)

11、F1- , 0,F2c , 0F10 ,-c,F20,c定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和等同a、b、c 的關(guān)系于常數(shù)（大于 F1F2）的點(diǎn)的軌跡2 2 2a = b + c點(diǎn)焦點(diǎn)位置的判定分母哪個(gè)大,焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上（四）、典型例題例 1 反饋練習(xí)6有層次的1、口答：練習(xí)題有助于例 1. 已知橢圓方程為x2+y2=1x 1 .5就 a2y21, b同學(xué)更好的熟2516232練利用橢圓的就1a= 5 , b= 4 , 標(biāo)準(zhǔn)方程解；題；c= 3 ; 2 x 2 .9就 ay21 , b2 焦點(diǎn)在 x 軸上 , 其焦點(diǎn)坐26標(biāo) 為-3,0、 3,0 , 焦 距 為6 ；3 如橢圓方程為2 x

12、+y2=1, 其2、求以下橢圓的a、b、c1625和焦點(diǎn)坐標(biāo)2 x 193. 已知2y 2 222 x 12 y16ABC 的頂點(diǎn) B、C在橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,3、0,-34 已知橢圓上一點(diǎn) P 到左焦點(diǎn) F1的距離等于6,就點(diǎn) P到右焦點(diǎn)的x2y21 上, 頂點(diǎn) A是橢圓的一個(gè)距離是 4 ；35 如 CD為過(guò)左焦點(diǎn)F1 的弦,就焦點(diǎn) , 且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊.CF1F2的周長(zhǎng)為 16 ,BC上, 就ABC的周長(zhǎng)為 .F2CD的周為 20 ；A.23 B.43 C.6 D.16例 2 求兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是例 2 反饋練習(xí)-4 ,0 、4 ,0 ,橢圓上一點(diǎn)P已知 B、C 是兩個(gè)定點(diǎn),到兩焦

13、點(diǎn)距離的和等于10 橢圓的| BC| = 6,且ABC的周標(biāo)準(zhǔn)方程；長(zhǎng)等于 16,求頂點(diǎn) A的軌解：由已知可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：2 2x2 y2 1 a b 0a b跡方程 . 2c4 c2 a 4 84,a2 2c 5,2 a5.2410b29.老師和同學(xué)們一起小結(jié)本鞏固所學(xué)故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：2 2x y1 .25 9（五）、課堂小結(jié)：節(jié)課的內(nèi)容學(xué)問(wèn),培小結(jié) 1：繩長(zhǎng)記為 2a,兩定點(diǎn)間的距離記養(yǎng)同學(xué)自為2cc 0. 學(xué)才能和（1）當(dāng) 2a2c 時(shí),軌跡歸納總結(jié)才能是；（2）當(dāng) 2a=2c 時(shí),軌跡是；（3）當(dāng) 2a2c 時(shí),小結(jié) 2：確定橢圓的方程包括“ 定位” 和“ 定量” 兩個(gè)方面“ 定位” 是指確定0,30 、與坐標(biāo)系的相對(duì)位置,在中心為原點(diǎn)的