細(xì)長(zhǎng)桿受力分析

1、10-2細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力實(shí)驗(yàn)指出，壓桿的臨界力與兩端的支承情況有關(guān)。本節(jié)先研究?jī)啥算q支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力。(一)兩端釵支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力設(shè)計(jì)兩端為球鉸約束，桿長(zhǎng)L，選坐標(biāo)系如圖10-4(a)所示，桿的最小抗彎剛度EI =minEIz (簡(jiǎn)寫(xiě)為EI)。根據(jù)前面所述，當(dāng)軸向壓力P 增大至臨界值PLj時(shí)，壓桿的直線 形狀平衡將由穩(wěn)定開(kāi)始變?yōu)椴环€(wěn) 定；此時(shí)，在輕微的橫向干擾力撤 去后，它將在微彎狀態(tài)下保持平 衡。因此，又可認(rèn)為臨界力是壓桿 在微彎狀態(tài)下保持平衡的最小軸 向壓力?？梢?jiàn)，欲研究臨界力，應(yīng) 從微彎狀態(tài)的撓曲線入手。由第七 章知，當(dāng)桿內(nèi)應(yīng)力不超過(guò)比例極限ap時(shí)，壓桿撓曲線方程y=y(x)應(yīng)滿足下

2、述關(guān)系式d2y _M(x) dx 2EI由圖10-4(b)知，壓桿任一 x截面的撓度為y，彎距為M (x) = Py故該桿的撓曲線近似微分方程為竺 + y = 0 dx2EI(a)令k 2 = PEI(b)則(a)式改為性 + k 2 y = 0 dx2(c)該方程的通解為y = A sin kx + B cos kx(d)式中，積分常數(shù)A、B以及k (含臨界力P)均為未知數(shù)，其值應(yīng)由壓桿的位移邊界條件和變 形狀態(tài)確定。兩端鉸支壓桿的位移邊界條件為在 x=0 處，y=0 (e)在 x=L 處，y=0 (f)將條件(e)(f)分別代入式(d),得A 0 + B 1 = 0（g）及A sin kL

3、 + B cos kL = 0（h）式（g）和（h）為未知量A和B的二元線性齊次方程組。若A與B均為零，則與推導(dǎo)臨界力 的前提條件（微彎狀態(tài)）不符。欲使A、B不同是為零（即非零解），則其系數(shù)行列式必等于零，記為:D(k )=sin kL1cos kL可以將D（k）=0，稱為細(xì)長(zhǎng)軸向受壓桿的臨界了特征方程。展開(kāi)此方程可求解臨界力，即由sin kL = 0得 kL = n冗,(n = 0,1,2,3, )（j）將（b）式代入上式得(k)n 2 兀 2 EI L由于n是0,1,2,3，等正整數(shù)中的任一整數(shù)，故（k）式表示：使壓桿在彎曲狀態(tài)下平衡 的壓力，在理論上是多值的。根據(jù)臨界力是使壓桿失穩(wěn)的最小

4、軸向壓力這一概念，可見(jiàn)，應(yīng) 取n=1 （若取n=0，則P=0，與討論的前提不符），代入式4）得PLj兀2 EIL(10-1)上式為兩端球鉸的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力公式，又稱歐拉公式。由上式可知，臨界力PLj與桿的 抗彎剛度EI成正比，與桿長(zhǎng)L的平方成反比。這就是說(shuō)，桿愈細(xì)長(zhǎng)，其臨界力愈小，愈容 易失穩(wěn)。上面從壓桿處于微彎狀態(tài)的撓曲線近似微分方程出發(fā)，推導(dǎo)出了兩端球鉸的細(xì)長(zhǎng)壓桿臨 界力公式。下面再補(bǔ)充討論幾個(gè)問(wèn)題。為了求出使壓桿失穩(wěn)的最小壓力，對(duì)于球鉸約束壓桿，即當(dāng)各方向約束性質(zhì)均相同時(shí)， 式（10-1）中的軸慣性矩I，必須取最小值Imin因?yàn)閴簵U失穩(wěn)時(shí)總是在抗彎能力最小的縱向 平面內(nèi)彎曲。在式（10

5、-1）所決定的臨界力PLj作用下，兩端球鉸壓桿的撓曲線形狀，可由（g）式及（d）式得出為Jy=A sin kx又由（j）式及n=1得y = A sin X（ 1）LL 上式表明，兩端球鉸壓桿臨界力狀態(tài)的撓曲線形狀近似為一條半波的正弦曲線。將x =代入式（1），得y L= ymax = Ax=2可見(jiàn)，積分常數(shù)A表示壓桿中點(diǎn)處的撓度。A是一個(gè)微小的數(shù)值，也是一個(gè)不定值。這一情況可用圖10-5中的虛線AB表示，即當(dāng)P P .時(shí)，y=0，壓桿保持直線形狀的穩(wěn)定平衡，P LjLjP與ymax的關(guān)系成為水平線AB。進(jìn)一步研究表明，如果與ym的關(guān)系是直線OA；而P=P .時(shí) 從撓曲線的精確微分方程1M l

6、deEI pds入手，則不存在上述A值的不確定問(wèn)題。這時(shí)可以找 到中點(diǎn)撓度ymax與軸向壓力P之間的理論關(guān)系，如圖 10-5中的曲線OAC所示。并且P值的微小增加，將帶 來(lái)?yè)隙妊杆僭鲩L(zhǎng)。上面的討論中，是以理想的軸向受壓直桿為基 礎(chǔ)的，但實(shí)際壓桿不可避免地存在有不同程度的初曲 率，載荷也不可能毫不偏斜地沿軸線作用，由于 上述不利因素的影響，壓桿在較小的壓力P下即開(kāi)始 彎曲，只是當(dāng)P遠(yuǎn)低于PLj時(shí)，彎曲增長(zhǎng)較慢，且P 與撓度ymax之間為線性關(guān)系（圖10-5中，曲線OD的 直線部分），當(dāng)P接近PLj時(shí)，彎曲增長(zhǎng)加快。若壓 桿愈接近理想模型情況，則實(shí)際曲線OD與理論曲線 OAC愈接近。（二）其它支承情況下壓桿的臨界力桿端的約束情況不同，壓桿的臨界力也不相同。表10-1中，列出了幾種典型約束情況 下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力公式。兀2 EIP = (10-2)L(p L )2由表可知，各種細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力公式基本相似，只是分母中L前的系數(shù)不同。為了應(yīng) 用方便，將以上公式統(tǒng)一寫(xiě)為如下形式：上式為歐拉公式的一般形式。式中，p稱為長(zhǎng)度系數(shù)，p L稱為相當(dāng)長(zhǎng)度或計(jì)算長(zhǎng)度。 長(zhǎng)度系數(shù)p值，取決于桿端約束情況。由表10-1可見(jiàn)，桿端約束愈強(qiáng)，即p值愈小，則