數(shù)學(xué)專題含例題講解定積分的概念

1、數(shù)學(xué)專題含例題講解定積分的概念求由連續(xù)曲線y=f(x)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積的方法 (2) 近似代替:任取xixi-1, xi，第i個(gè)小曲邊梯形的面積用高為f(xi)而寬為Dx的小矩形面積f(xi)Dx近似之。 (4)取極限：所求曲邊梯形的面積S為 （3）求和：取n個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯形面積S的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xi (1)分割:在區(qū)間0,1上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn),將它等分成n個(gè)小區(qū)間: 每個(gè)小區(qū)間寬度x二、汽車行駛的路程Ov t12 思考 結(jié)論三、定積分的定義 如果當(dāng)n時(shí)，S 的無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分，記作從求曲邊梯形面

2、積S的過程中可以看出,通過“四步曲”:分割-近似代替-求和-取極限得到解決.定積分的定義：定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號(hào)， f(x) 叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達(dá)式， x 叫做積分變量， a 叫做積分下限， b 叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間。被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分下限積分上限 按定積分的定義，有 (1) 由連續(xù)曲線y=f(x) (f(x)0) ，直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為 (2) 設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度v=v(t)，則此物體在時(shí)間區(qū)間a, b內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s為定積分的定義：1x yOf(x)=x2Ov t12 說明： (1) 定積分是一個(gè)數(shù)值, 它

3、只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)， 而與積分變量的記法無(wú)關(guān)，即baf(x)dx =baf (x)dx -(3)定積分的幾何意義：Ox yab yf (x) x=a、x=b與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當(dāng)f(x)0時(shí)，由yf (x)、xa、xb 與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于 x 軸的下方，x yO=-ab yf (x) y-f (x)=-S上述曲邊梯形面積的負(fù)值。 定積分的幾何意義：=-S當(dāng)函數(shù) f (x)在 xa, b 有正有負(fù)時(shí), 定積分 幾何意義就是圖中幾個(gè)曲邊圖形面積的代數(shù)和,(x軸上方面積取正號(hào),x軸下方面積取負(fù)號(hào)) OXS2S1yS3 1求下列定積分: (1) 例題分析: (2)求定

4、積分，只要理解被積函數(shù)和定積分的意義，并作出圖形，即可解決。用定積分表示下列陰影部分面積 S=_;S=_;S=_;y=sinxXOyXOy5-1y=x2-4x-5XOyy=cosxab yf (x)Ox y探究:根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分的面積?ab yf (x)Ox y定積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)1. 性質(zhì)2. 定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性性質(zhì)3. Ox yab yf (x)定積分的基本性質(zhì) 例2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-1

5、2ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積例3：解：xyf(x)=sinx1-1 利用定積分的幾何意義，判斷下列定積分 值的正、負(fù)號(hào)。利用定積分的幾何意義，說明下列各式。 成立：1）2）.1）2）.練習(xí)：試用定積分表示下列各圖中影陰部分的面積。0yxy=x2120