數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊3.2.2 奇偶性

1、3.2.2 奇偶性 探究1 畫出觀察函數(shù)f(x)=x和g(x)=2-|x|的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？并類比函數(shù)單調(diào)性用符號語言描述這一特征.這兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于y軸對稱.不妨取自變量的一些特殊值，觀察相應(yīng)函數(shù)值的情況 可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的兩個函數(shù)值相等.x-3-2-10123f(x)=x9410149g(x)=2-|x|-101210-1 實(shí)際上，xR，都有f(-x)=(-x)=x=f(x)，這時稱函數(shù)f(x)=x為偶函數(shù). xR，都有g(shù)(-x)=2-|-x|=2-|x|=g(x)，也稱函數(shù)f(x)=x為偶函數(shù). 同樣， xR，都有g(shù)(-x)=2-|

2、-x|=2-|x|=g(x)，這時稱函數(shù)g(x)=2-|x|為偶函數(shù).一、偶函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對任意xI，都有-xI，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).你能再舉出一些偶函數(shù)的例子嗎？例如，函數(shù) ，都是偶函數(shù)，它們的圖象分別如圖所示：這兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形. 探究2 觀察函數(shù)f(x)=x和函數(shù) 的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？你能用符號語言精確地描述這一特征嗎？不妨取自變量的一些特殊值，觀察相應(yīng)函數(shù)值的情況通過觀察表格可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量x取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)也是一對相反數(shù).x-3-2-10123f(

3、x)=x-3-2-10123實(shí)際上，xR，都有f(-x)=-x=-f(x)，這時稱函數(shù)f(x)=x為奇函數(shù).xR，都有 ，這時稱函數(shù) 為奇函數(shù).二、奇函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對任意xI，都有-xI，且f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).你能再舉出一些奇函數(shù)的例子嗎？例如，函數(shù) ，都是奇函數(shù)，它們的圖象分別如圖所示：總結(jié)：函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，體現(xiàn)圖象的對稱性偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)有的定義域?yàn)镮,如果xI,都有-xI,即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做

4、奇函數(shù)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，是這個函數(shù)具有奇偶性的前提條件.幾何特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，即如果點(diǎn)(x,y)在函數(shù)的圖象上，那么點(diǎn)(-x, y)也在函數(shù)的圖像上.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,即如果點(diǎn)(x,y)在函數(shù)的圖象上,那么點(diǎn)(-x, -y)也在函數(shù)的圖像上.變形與單調(diào)性關(guān)系偶函數(shù)在兩個關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反.奇函數(shù)在關(guān)于兩個原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同.拓展偶函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x值，都有 f(x)=f(|x|)奇函數(shù)如果在x=0處有定義，則圖象必過原點(diǎn)，即f(0)=0.解： 例6 判斷下列函數(shù)的奇偶性:解：（1）偶函數(shù)；（2）奇函數(shù).1. 已知f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，試將下圖補(bǔ)充完整.