三角函數(shù)專題總復習 知識點總結與經(jīng)典例題講解-高三數(shù)學

1、三角函數(shù)專題復習講義任意角的概念弧長與扇形面積公式角度制與弧度制同角三函數(shù)的基本關系任意角的三角函數(shù)誘導公式三角函數(shù)的圖象和性質計算與化簡證明恒等式已知三角函數(shù)值求角和角公式倍角公式差角公式應用應用應用應用應用應用應用1、弧度制：把長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度； 三角函數(shù)線：如右圖，有向線段AT與MP、 OM 分別叫做的 正切線、正弦線、余弦線。 角度制與弧度制的互化： 1rad57.30=5718 10.01745（rad）36918273602、特殊角的三角函數(shù)值：sin= 0cos= 1tan= 0sin3=cos3=tan3=sin=cos=tan=1sin6=cos6=ta

2、n6=sin9=1cos9=0tan9無意義3、弧長及扇形面積公式弧長公式： 扇形面積公式:S=-是圓心角且為弧度制。 r-是扇形半徑4、任意角的三角函數(shù)設是一個任意角，它的終邊上一點p（x,y）, r=(1)正弦sin= 余弦cos= 正切tan=(2)各象限的符號： + -xy+O +xyO + +yOsin cos tan5.同角三角函數(shù)的基本關系：（1）平方關系：sin2+ cos2=1。（2）商數(shù)關系：=tan（）誘導公式：奇變偶不變，符號看象限。，7正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質 y=sinx y=cosx y=tanx 定義域: R R 值域: -1,1 -1,1 R

3、周期: 2 2 奇偶性: 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調區(qū)間:增區(qū)間; ; 減區(qū)間; 無減區(qū)間對稱軸: 無對稱軸對稱中心: （以上k均為整數(shù)）考點一: 求三角函數(shù)的定義域、值域和最值、三角函數(shù)的性質（包括奇偶性、單調性、周期性）這類問題在選擇題、填空題、解答題中出現(xiàn)較多，主要是考查三角的恒等變換及三角函數(shù)的基礎知識。例1、已知函數(shù)f(x)=求它的定義域和值域；求它的單調區(qū)間；判斷它的奇偶性；判斷它的周期性。解：（1）x必須滿足sinx-cosx0，利用單位圓中的三角函數(shù)線及，kZ 函數(shù)定義域為，kZ 當x時， 函數(shù)值域為 （3） f(x)定義域在數(shù)軸上對應的點關于原點不對稱 f(x)不具備奇偶性

4、 （4） f(x+2)=f(x) 函數(shù)f(x)最小正周期為2注；利用單位圓中的三角函數(shù)線可區(qū)分sinx-cosx的符號。例2、化簡并求函數(shù)的值域和最小正周期.解： 所以函數(shù)f(x)的值域為，最小正周期8、三角函數(shù)公式：倍角公式sin2=2sincoscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2兩角和與差的三角函數(shù)關系sin()=sincoscossincos()=coscossinsin降冪公式： 升冪公式 ： 1+cos= cos21-cos= sin2合一變形公式asinbcossin（）cos（）14、三角函數(shù)的求值、化簡、證明問題常用的方法技巧有：常數(shù)代換法：如：配角方

5、法： （其中）的應用，注意的符號與象限。常見三角不等式：（1）、若 （2）、若（3）、例3、（1）已知cos(2+)+5cos=0，求tan(+)tan的值； （2）已知，求的值。解：從變換角的差異著手。 2+=(+)+，=(+)- 8cos(+)+5cos(+)-=0展開得： 13cos(+)cos-3sin(+)sin=0同除以cos(+)cos得：tan(+)tan=以三角函數(shù)結構特點出發(fā) tan=2 例4 求函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2的最大值解：2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2x=1,cos2x=y=sin2x+2sinxcosx+3cos2

6、x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+2 =sin2x+cos2x+2=(sin2xcos+cos2xsin)+2= sin(2x+)+2當2x+=+2k時,ymax=2+ 即x=+K(KZ)，y的最大值為2+注；齊次式是三角函數(shù)式中的基本式，其處理方法是化切或降冪。正弦定理：. 變形公式有：（1）；（2）；（3）等余弦定理：;.三角形面積定理：.10、利用正弦定理、余弦定理和三角形內角和定理，可以解決以下四類解斜三角形問題：（1）已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角從而進一步求其它的邊和角， （3）已知

7、三邊求三內角；（4）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個內角。11、解斜三角形的應用題的解題步驟：（1）分析屬于哪種類型的問題（如：測量距離、高度、角度等）；（2）依題意畫出示意圖，并把已知量標在示意圖中；（3）最后確定用哪個定理轉化、哪個定理求解，并進行求解；（4）檢驗并作答.12、函數(shù)的圖像和性質：作圖時常用兩種方法：00A0-A0五點法：圖象變換法：13、結合函數(shù)的簡圖可知： 該函數(shù)的最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是； 例4、設函數(shù)f(x)=2在處取最小值.求的值;在ABC中,分別是角A,B,C的對邊,已知,求角C.解: （1） 因為函數(shù)f(x)在處取最小值，所以,

8、由誘導公式知,因為,所以.所以 （2）因為,所以,因為角A為ABC的內角,所以.又因為所以由正弦定理,得,因為,所以或.所以當時,;當時,.考點三: 關于三角函數(shù)的圖象, 立足于正弦余弦的圖象，重點是函數(shù) 的圖象與y=sinx的圖象關系。根據(jù)圖象求函數(shù)的表達式，以及三角函數(shù)圖象的對稱性例7（05年福建）函數(shù)的部分圖象如圖，則（ C ）ABCD例8、（05年全國卷17）設函數(shù)圖像的一條對稱軸是直線。（）求；（）求函數(shù)的單調增區(qū)間；（）畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像。（本小題主要考查三角函數(shù)性質及圖像的基本知識，考查推理和運算能力，滿分12分.）解：（）的圖像的對稱軸， （）由（）知由題意得 所以函數(shù)（）

9、由x0y1010故函數(shù) (略)考點四，三角函數(shù)與其它知識交匯設計試題，是突出能力、試題出新的標志，近年來多出現(xiàn)于三角函數(shù)與向量等知識交匯。例9（05年江西）已知向量.求函數(shù)f(x)的最大值，最小正周期，并寫出f(x)在0，上的單調區(qū)間.解： =.所以，最小正周期為上單調增加，上單調減少.例10、（05年山東卷）已知向量，求的值.解： 由已知，得 又 所以 熱點預測 1、下列函數(shù)中，既是（0，）上的增函數(shù)，又是以為周期的偶函數(shù)是A、y=lgx2 B、y=|sinx| C、y=cosx D、y=2、如果函數(shù)y=sin2x+acos2x圖象關于直線x=-對稱，則a值為- B、-1 C、1 D、 3、

10、函數(shù)y=Asin(x+)（A0，0），在一個周期內，當x=時，ymax=2；當x=時，ymin=-2，則此函數(shù)解析式為A、 B、C、 D、4、已知tan，tan是方程兩根，且，則+等于A、 B、或 C、或 D、5、函數(shù)f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是A、5.5 B、6.5 C、7 D、86.方程sinx=lgx的實根個數(shù)是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都錯(考查三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像)7.在ABC中，(1)已知tanA= sinB=，則C有且只有一解，(2)已知tanA=,sinB=,則C有且只有一解，其中正確的是( )(A)只有(1) (B

11、)只有(2)(C)(1)與(2)都正確 (D)(1)與(2)均不正確(考查綜合有關公式，靈活處理三角形中的計算)8、（20XX年遼寧卷）的三內角所對邊的長分別為設向量,若,則角的大小為 (A) (B) (C) (D) 9、（20XX年遼寧卷）設,點是線段上的一個動點,若,則實數(shù)的取值范圍是 (A) (B) (C) (D) 10、( 20XX年湖南卷）已知,且關于的方程有實根,則與的夾角的取值范圍是 ( )A.0, B. C. D.11、函數(shù)f(x)=sin(x+)+cos(x-)的圖象關于y軸對稱，則=_。12、數(shù)y=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)的最大值與最小值的積為_。13

12、、知(x-1)2+(y-1)2=1，則x+y的最大值為_。解答題 14、是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+acosx+在閉區(qū)間0，上的最大值是1？若存在，求出對應的a值。15、已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+（xR）求f(x)的最小正周期；求f(x)單調區(qū)間；求f(x)圖象的對稱軸，對稱中心。16、函數(shù)y=cosx-1(0 x2)的圖像與x軸所圍成圖形的面積是_。(考查三角函數(shù)圖形的對稱變換)17、設三角函數(shù)f(x)=sin(+)，其中k0(1)寫出f(x)的極大值M，極小值m，最小正周期T。(2)試求最小的正整數(shù)k，使得當自變量x在任意兩個整數(shù)間(包括整數(shù)本身)變化時，函

13、數(shù)f(x)至少有一個值是M與一個值m，(考查三角函數(shù)的最值、周期，以及分析問題、解決問題的能力)18、是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+acosx+在閉區(qū)間0，上的最大值是1？若存在，求出對應的a值。19. （本小題滿分13分）已知A、B、C是三內角，向量且，（1）求角A； 若20、已知，將的圖象按向量平移后，圖象關于直線對稱。（1）、求實數(shù)的值，并求取得最大值時的x的集合。（2）、求的單調遞增區(qū)間。答案與提示 1、B 2、B 3、B 4、A 5、C 6.C 7 B 8、B9 【解析】解得: ,因點是線段上的一個動點,所以,即滿足條件的實數(shù)的取值范圍是,故選擇答案B.10、 B 11、 ，kZ 12、-4 13、