最優(yōu)潮流a解析課件

1、現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析任課教師：王守相研究生學(xué)位課： （一）概述由于電力系統(tǒng)的規(guī)模日益擴(kuò)大，其節(jié)點(diǎn)數(shù)可以成百上千，最優(yōu)潮流計(jì)算模型中包含的變量數(shù)及等式約束方程數(shù)極為巨大，至于不等式約束的數(shù)目則更多，兼以變量之間又存在著復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系，這些因素都導(dǎo)致最優(yōu)潮流計(jì)算躋身于極其困難的大規(guī)模非線性規(guī)劃的行列。尋找能夠快速、有效地求解各種類型的大規(guī)模最優(yōu)潮流計(jì)算問(wèn)題，特別是能夠滿足實(shí)時(shí)應(yīng)用的方法，對(duì)廣大研究者來(lái)說(shuō)，仍然是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)。已有算法歸納起來(lái)可分為線性規(guī)劃法、非線性規(guī)劃法、混合規(guī)劃法、內(nèi)點(diǎn)法和智能化方法等。三、最優(yōu)潮流的算法前提：通常把最優(yōu)潮流問(wèn)題分解為有功功率和無(wú)功功率兩個(gè)子優(yōu)化問(wèn)題，在求解方法上，

2、大都采用分段線性或逐次線性化逼近非線性規(guī)劃問(wèn)題，然后利用線性規(guī)劃方法（如單純形法、對(duì)偶單純形法）求解。（二）線性規(guī)劃法特點(diǎn):目標(biāo)或約束函數(shù)呈現(xiàn)非線性特性。最優(yōu)潮流作為一個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題，可以利用非線性規(guī)劃的各種方法來(lái)求解，更由于結(jié)合了電力系統(tǒng)的固有物理特性，在變量的劃分、等式及不等式約束條件的處理、有功與無(wú)功的分解、變量修正方向的決定、甚至基本潮流計(jì)算方法的選擇等等方面，都可以有各種不同的方案。為此即使是采用非線性規(guī)劃方法，也曾出現(xiàn)過(guò)為數(shù)甚多的最優(yōu)潮流算法。主要包括簡(jiǎn)化梯度算法、牛頓法、二次規(guī)劃法等。（二）非線性規(guī)劃法1968年,由Dommel和Tinney提出最優(yōu)潮流計(jì)算的簡(jiǎn)化梯度法。該算法

3、是最優(yōu)潮流問(wèn)題被提出以后，能夠成功地求解較大規(guī)模的最優(yōu)潮流問(wèn)題并被廣泛采用的第一個(gè)算法。最優(yōu)潮流計(jì)算的簡(jiǎn)化梯度算法是以極坐標(biāo)形式的牛頓潮流算法作為基礎(chǔ)的。下面以該算法為例，詳細(xì)介紹最優(yōu)潮流的模型和計(jì)算問(wèn)題。首先討論僅計(jì)及等式約束條件時(shí)算法的構(gòu)成，然后討論計(jì)及不等式約束條件時(shí)的處理方法。1簡(jiǎn)化梯度算法 對(duì)于僅有等式約束的最優(yōu)潮流計(jì)算，可以表示為 應(yīng)用經(jīng)典的拉格朗日乘子法，引入和等式約束g(u,x)0 中方程式數(shù)同樣多的拉格朗日乘子 ,則構(gòu)成拉格朗日函數(shù)為 式中： 為由拉格朗日乘子所構(gòu)成的向量。(1)僅有等式約束條件時(shí)的算法 這樣便把原來(lái)的有約束最優(yōu)化問(wèn)題變成了一個(gè)無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題。 采用經(jīng)典的函

4、數(shù)求極值的方法，即將L分別對(duì)變量x、u及求導(dǎo)并令其等于零，從而得到求極值的一組必要條件為 這是三個(gè)非線性代數(shù)方程組，每組的方程式個(gè)數(shù)分別等于向量x、u, 的維數(shù)。最優(yōu)潮流的解必須同時(shí)滿足這三組方程。 雖然直接聯(lián)立求解這三個(gè)極值條件方程組，可以求得此非線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。但通常由于方程式數(shù)目的眾多及其非線性性質(zhì)，聯(lián)立求解的計(jì)算量非常巨大，有時(shí)還相當(dāng)困難。因此，簡(jiǎn)化梯度方法采用的是一種迭代下降算法，其基本思想是從一個(gè)初始點(diǎn)開(kāi)始，確定一個(gè)搜索方向，沿著這個(gè)方向移動(dòng)一步，使目標(biāo)函數(shù)有所下降，然后由這新的點(diǎn)開(kāi)始，再重復(fù)進(jìn)行上述步驟，直到滿足一定的收斂判據(jù)為止。 結(jié)合最優(yōu)潮流的具體模型，則這個(gè)迭代求解算

5、法的基本要點(diǎn)如下： (1)令迭代記數(shù)k=0 (2)假定一組控制變量u(0)； (3)由于式(1-196)就是潮流方程，所以通過(guò)潮流計(jì)算就可以由已知的u 求得相應(yīng)的x(k) (4)再觀察式(1-194)， 就是牛頓法潮流計(jì)算的雅可比矩陣J，利用求解潮流時(shí)已經(jīng)求得的潮流解點(diǎn)的J及其LU三角因子矩陣，可以方便地求出 (5)將已經(jīng)求得的u、x及 代入式(1-195)，則有 (1-198) (6)若 ，則說(shuō)明這組解就是待求的最優(yōu)解，計(jì)算結(jié)束。否則，轉(zhuǎn)入下一步； (7)這里 ，為此必須按照能使目標(biāo)函數(shù)下降的方向?qū)進(jìn)行修正 (1-199) 然后回到步驟(3)。這樣重復(fù)進(jìn)行上述過(guò)程，直到式(1-195)得到

6、滿足，即 為止。這樣便求得了最優(yōu)解。該算法證明， 是在滿足等式約束條件（潮流方程）的情況下目標(biāo)函數(shù)在維數(shù)較小的u空間上的梯度，所以也稱為簡(jiǎn)化梯度。 由于某一點(diǎn)的梯度方向是該點(diǎn)函數(shù)值變化率最大的方向，因此若沿著函數(shù)在該點(diǎn)的負(fù)梯度方向前進(jìn)時(shí)，函數(shù)值下降最快，所以最簡(jiǎn)單方便的辦法就是取負(fù)梯度作為每次迭代的搜索方向，即取 式中c為步長(zhǎng)因子。 在非線性規(guī)劃中，這種以負(fù)梯度作為搜索方向的算法，也稱梯度法或最速下降法。前式中步長(zhǎng)因子的選擇對(duì)算法的收斂過(guò)程有很大影響，選得太小將使迭代次數(shù)增加，選得太大則將導(dǎo)致在最優(yōu)點(diǎn)附近來(lái)回振蕩。最優(yōu)步長(zhǎng)的選擇是一個(gè)一維搜索問(wèn)題，可以采用拋物線插值等方法。 最優(yōu)潮流的不等式約

7、束條件數(shù)目很多，按其性質(zhì)的不同又可分成兩大類：第一類是關(guān)于自變量或控制變量u的不等式約束；第二類是關(guān)于因變量即狀態(tài)變量x以及可表示為x的函數(shù)的不等式約束條件，這一類約束可以通稱為函數(shù)不等式約束。以下分別討論這兩類不等式約束在算法中的處理方法。(2)不等式約束條件的處理 （2-1）控制變量不等式約束 控制變量的不等式約束比較容易處理，若按照 對(duì)控制變量進(jìn)行修正，如果得到的 使得任一個(gè) 超過(guò)其限值時(shí)，則該越界的控制變量就被強(qiáng)制在相應(yīng)的界上，即 控制變量按這種方法處理以后，按照庫(kù)恩-圖克定理，在最優(yōu)點(diǎn)處簡(jiǎn)化梯度的第i個(gè)分量應(yīng)有式中，后面兩個(gè)式子也可以這樣來(lái)理解，即若對(duì)ui沒(méi)有上界或下界的限制而容許繼

8、續(xù)增大或減小時(shí)，目標(biāo)函數(shù)能進(jìn)一步得到減小。 （2-2）函數(shù)不等式約束函數(shù)不等式約束 h(u,x)0 無(wú)法采用和控制變量不等式約束相同的辦法來(lái)處理，因而處理起來(lái)比較困難。目前比較通行的一種方法是采用罰函數(shù)法來(lái)處理。罰函數(shù)法的基本思路是將約束條件引入原來(lái)的目標(biāo)函數(shù)而形成一個(gè)新的函數(shù)，將原來(lái)有約束最優(yōu)化問(wèn)題的求解轉(zhuǎn)化成一系列無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的求解。具體做法略。 優(yōu)點(diǎn) 簡(jiǎn)化梯度最優(yōu)潮流算法是建立在牛頓法潮流計(jì)算的基礎(chǔ)上的。利用已有的采用極坐標(biāo)形式的牛頓法潮流計(jì)算程序加以一定的擴(kuò)充，便可以得到這種最優(yōu)潮流計(jì)算程序。這種算法原理比較簡(jiǎn)單，程序設(shè)計(jì)也比較簡(jiǎn)便。(3)簡(jiǎn)化梯度最優(yōu)潮流算法的分析缺點(diǎn)：首先是因?yàn)椴捎锰荻确ɑ蜃钏傧陆捣ㄗ鳛榍笞顑?yōu)點(diǎn)的搜索方向，最速下降法前后二次迭代的搜索方向總是互相垂直的，因此迭代點(diǎn)在向最優(yōu)點(diǎn)接近的過(guò)程中，走的是曲折的路，即通稱的鋸齒現(xiàn)象。而且越接近最優(yōu)點(diǎn)，鋸齒越來(lái)越小，因此收斂速度很慢。另一個(gè)缺點(diǎn)是因?yàn)椴捎昧P函數(shù)法處理不等式約束而帶來(lái)的。罰因子數(shù)值的選擇是否適當(dāng)，對(duì)算法的收斂速度影響很