曲率詳細(xì)講解課件

1、第七節(jié)曲線的彎曲程度與切線的轉(zhuǎn)角有關(guān)與曲線的弧長(zhǎng)有關(guān)主要內(nèi)容:一、 弧微分 二、 曲率及其計(jì)算公式 三、 曲率圓與曲率半徑 平面曲線的曲率 第三章 一、 弧微分設(shè)在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),其圖形為 AB,弧長(zhǎng)則弧長(zhǎng)微分公式為或幾何意義:若曲線由參數(shù)方程表示:二、曲率及其計(jì)算公式在光滑弧上自點(diǎn) M 開始取弧段, 其長(zhǎng)為對(duì)應(yīng)切線定義弧段 上的平均曲率點(diǎn) M 處的曲率注意: 直線上任意點(diǎn)處的曲率為 0 !轉(zhuǎn)角為例1. 求半徑為R 的圓上任意點(diǎn)處的曲率 .解: 如圖所示 ,可見(jiàn): R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;R 愈大, 則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 .有曲率近似計(jì)算公式故曲率

2、計(jì)算公式為又曲率K 的計(jì)算公式二階可導(dǎo),設(shè)曲線弧則由說(shuō)明: (1) 若曲線由參數(shù)方程給出, 則(2) 若曲線方程為則例2. 我國(guó)鐵路常用立方拋物線作緩和曲線,處的曲率.點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停說(shuō)明:鐵路轉(zhuǎn)彎時(shí)為保證行車平穩(wěn)安全,求此緩和曲線在其兩個(gè)端點(diǎn)且 l R. 其中R是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長(zhǎng)度, 離心力必須連續(xù)變化 ,因此鐵道的曲率應(yīng)連續(xù)變化 . 例2. 我國(guó)鐵路常用立方拋物線作緩和曲線,且 l R. 處的曲率.其中R是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長(zhǎng)度, 求此緩和曲線在其兩個(gè)端點(diǎn)解:顯然例3. 求橢圓在何處曲率最大?解:故曲率為K 最大最小求駐點(diǎn): 設(shè)從而 K 取最大值

3、.這說(shuō)明橢圓在點(diǎn)處曲率計(jì)算駐點(diǎn)處的函數(shù)值:最大.K 最大最小三、 曲率圓與曲率半徑設(shè) M 為曲線 C 上任一點(diǎn) ,在點(diǎn)在曲線把以 D 為中心, R 為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn) M 處的曲率圓( 密切圓 ) ,R 叫做曲率半徑,D 叫做曲率中心.在點(diǎn)M 處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:(1) 有公切線;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 處作曲線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn) D 使設(shè)曲線方程為且求曲線上點(diǎn)M 處的曲率半徑及曲率中心設(shè)點(diǎn)M 處的曲率圓方程為故曲率半徑公式為滿足方程組的坐標(biāo)公式 .滿足方程組由此可得曲率中心公式(注意與異號(hào) )當(dāng)點(diǎn) M (x , y) 沿曲線 移動(dòng)時(shí),的軌跡 G

4、 稱為曲線 C 的漸屈線 ,相應(yīng)的曲率中心曲率中心公式可看成漸曲線 C 稱為曲線 G 的漸伸線 .屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為x).點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停例4. 設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓, 現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面 , 問(wèn)選擇多大的砂輪比較合適?解: 設(shè)橢圓方程為由例3可知, 橢圓在處曲率最大,即曲率半徑最小, 且為顯然, 砂輪半徑不超過(guò)才不會(huì)產(chǎn)生過(guò)量磨損 ,或有的地方磨不到的問(wèn)題.例3( 仍為擺線 )例5. 求擺線的漸屈線方程 . 解:代入曲率中心公式,得漸屈線方程 擺線 擺線擺線擺線半徑為 a 的圓周沿直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí),點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停其上定點(diǎn) M 的軌跡即為擺線 .參數(shù)的幾何意義擺線的漸屈線點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停內(nèi)容小結(jié)1. 弧長(zhǎng)微分或2. 曲率公式3. 曲率圓曲率半徑曲率中心思考與練習(xí)1. 曲線在一點(diǎn)處的曲率圓與曲線有何密切關(guān)系?答: 有公切線 ;凹向一致