弧長法-彈塑性力學及有限元課件

1、非線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法 用迭代法或增量法進行極限分析時，在極值點附近往往可能不收斂。這時可用增量弧長法來解決。5 增量弧長法弧長法是一種用于得到不穩(wěn)定(KT 0)或負剛度矩陣(KT 0)問題的數(shù)值穩(wěn)定解的方法。 強制Newton-Raphson 迭代沿 著與平衡路徑相交的圓弧收斂，可得到承受零或負剛度的結(jié)構(gòu)的解。Fu平衡路徑ririririri 弧長半徑 收斂子步5 增量弧長法5 增量弧長法 增量弧長法的基本思想是：將作為獨立變量，在每個增量步進行自修正法平衡迭代，在迭代過程中自動控制荷載因子的取值。也即前步結(jié)果本步n次增量弧長法中則同時控制荷載因子和位移增量的步長自修正 增量迭代法5 增

2、量弧長法5 增量弧長法uuu5 增量弧長法由于弧長法引入了如下約束方程因此要求交叉項為零由矢量代數(shù)和約束方程可得也即要求交叉項為零5 增量弧長法5 增量弧長法若記5 增量弧長法5 增量弧長法式中系數(shù)為上述式子是從簡單情況推出的，如果除 外均理解為矩陣，即為一般情況的弧長法方程。5 增量弧長法5 增量弧長法這樣做迭代的軌跡很接近圓弧，而計算工作量可減少很多。 從上述公式可見，求 的工作量是很大的，為此，可令 和 相互垂直，也即5 增量弧長法 由相互垂直的條件可得5 增量弧長法 綜上所述，弧長法求解步驟為：1)選定荷載參考值 ，和本步荷載因子 ，解得 ，由 求弧長。5 增量弧長法 綜上所述，弧長法

3、求解步驟為：2)修改切線剛度矩陣并三角化。檢查對角元，正定則加載，負定則加負荷載。若矩陣對應(yīng)行列式為零，達到極限荷載。3)與上一步同時，求不平衡力 。5 增量弧長法4)由 和 求 5 增量弧長法4)由 和 求 5 增量弧長法5 增量弧長法5)計算 。7)求當前荷載水平和位移。8)檢查是否滿足精度要求，滿足時加下一級荷載。步滿足重復(fù)2）7），直至收斂。5 增量弧長法上圖為弧長法的迭代過程。下標表示第n個載荷增量步。上標i表示第n個載荷步下的第i次迭代。若載荷增量則迭代路徑為一條平行于x軸的直線，則為著名的牛頓-拉弗森迭代設(shè)第n-1 個荷載步收斂于 ，那么對于第n 個荷載步來說，需要進行i 次迭代

4、才能達到新的收斂點 。由于牛頓拉夫遜法在迭代過程中，以荷載控制 （或位移控制）時，荷載增量步（或位移增量步）為常數(shù)，它無法越過極值點得到完整的荷載位移曲線，即無法求解下降段的曲線。事實上，也只有變化的荷載增量步才能使求解過程越過極值點。而且對于嚴重非線性問題，采用牛頓法可能出現(xiàn)不收斂的情況。而弧長法則能夠克服這個問題，能在迭代求解過程中自動調(diào)節(jié)增量步長，跟蹤各種復(fù)雜的非線性路徑全過程，它是目前結(jié)構(gòu)非線性分析中數(shù)值計算最為穩(wěn)定、計算效率最高且最為可靠的迭代控制方法。從上圖看出，弧長法的荷載增量步 是變化的，可以自動控制荷載。弧長法便是一種把荷載水平看出一個變量，通過同時約束荷載水平和位移向量來達

5、到對非線性問題求解的一種方法，它屬于一種廣義的位移控制法?；￠L法是一種用于得到不穩(wěn)定(KT 0)或負剛度矩陣(KT 0)問題的數(shù)值穩(wěn)定解的方法。強制Newton-Raphson 迭代沿 著與平衡路徑相交的圓弧收斂，可得到承受零或負剛度的結(jié)構(gòu)的解。Fu平衡路徑ririririri 弧長半徑 收斂子步5 增量弧長法ANSYS中使用弧長法的一些注意事項：1.弧長法不能與自動時間步長（AUTOTS）、線性搜索（LNSRCH）和自由度求解預(yù)測（PRED）命令同時運行；2.為了得到結(jié)構(gòu)極限荷載，在/solu中對結(jié)構(gòu)加載比預(yù)測的屈曲荷載高20%左右為宜；并且弧長方法僅限于具有漸進加載方式靜態(tài)分析；3.選擇子

6、步的數(shù)時，考慮到較多的子步導致求解時間過長，因此理想情況是選擇一個最佳有效解所需的最小子步數(shù)。有時需要對子步數(shù)進行評詁，按照需要調(diào)整再重新求解；4.要用弧長方法幫助縮短求解時間時，單一子步內(nèi)最大平衡迭代數(shù)應(yīng)當小于或等于15；5.通常應(yīng)當避免和弧長方法一起使用JCG或者PCG求解器（EQSLV），因為弧長方法可能會產(chǎn)生一個負定剛度矩陣（負的主對角線），導致求解失??；6.弧長求解發(fā)生中止的條件：（1）當由ARCTRM或NCNV 命令定義的極限達到時；（2）當在所施加的載荷范圍內(nèi)求解收斂時；（3）放棄求解；7.一個不成功的弧長分析可以歸因于弧長半徑太大或者太小，研究載荷偏移曲線來理解這個問題，然后使

7、用NSUBST 和ARCLEN 命令來調(diào)整弧長半徑的大小和范圍為合適的值；ANSYS中使用弧長法的一些注意事項：8.總體弧長載荷因子（SOLU命令中的ALLF項）或者會是正的或者會是負的。類似地，TIME，其在弧長分析中與總體弧長載荷因數(shù)相關(guān)，不是正的就是負的。 ALLF或TIME 的負值表示弧長特性正在以反方向加載，以便保持結(jié)構(gòu)中的穩(wěn)定性。負的ALLF或者TIME值一般會在各種突然轉(zhuǎn)換分析中遇到。如果TIME 為負的，記住在產(chǎn)生任何POST26圖形前定義一個合適的變化范圍（IXRANGE）或者（IYRANGE）；9.讀入基本數(shù)據(jù)用于POSTI后處理時（SET），應(yīng)該以載荷步和子步號（LSTEP和SBSTEP）或者進它的數(shù)據(jù)設(shè)置號為依據(jù)。不要引用TIME值的結(jié)果，因為TIME 值在一個弧長分析中并不總是單調(diào)增加的。單一的一個TIME 值可能涉及多于一個的解。此外，程序不能正確地解釋負的TIME 值（可能在一個突然轉(zhuǎn)換分析中遇到）。總之