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文檔簡(jiǎn)介

1、平面向量及其應(yīng)用南京市第六十六中學(xué) 楊東福一考試內(nèi)容與要求二命題規(guī)律三典型例題四課堂小結(jié)一考試內(nèi)容與要求:內(nèi) 容要求ABC平 面向 量平面向量的有關(guān)概念平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積平面向量的平行與垂直平面向量的應(yīng)用其中A指:對(duì)知識(shí)有基本的認(rèn)識(shí),能解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題; B指:對(duì)知識(shí)有深刻的認(rèn)識(shí),能解決一定綜合的問(wèn)題;C指:系統(tǒng)地掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,能解決綜合性較強(qiáng)的或較為困難的問(wèn)題. 二、命題規(guī)律:1.高考對(duì)向量的考查主要是向量的概念及運(yùn)算(坐標(biāo)運(yùn)算,幾何運(yùn)算);2.題型多以填空題的形式出現(xiàn),尤其是平面向量的加減法的幾何意義,數(shù)量積及運(yùn)算律,也有在大題中兼顧對(duì)向量的考查,比如

2、在解三角形中,在解析幾何中;3.題目大都是容易題或中等題.三、典型例題例1.已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C及平面ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)足PA+PB+PC=AB,在下列四個(gè)結(jié)論:P在ABC的外部P在ABC內(nèi)部P在直線(xiàn)AB上P在邊AC上,正確的是 .分析:本題主要考查平面向量的加減運(yùn)算及兩個(gè)向量共線(xiàn)的條件,關(guān)鍵是條件中的向量太多,必須減少向量的個(gè)數(shù),實(shí)際上由平面向量基本定理知,平面上的任一向量都可以由平面上兩個(gè)不共線(xiàn)的向量線(xiàn)性表示.解答:所以點(diǎn)P在邊AC上.由PA+PB+PC=AB得:PA+PB+PC=AP+PB,即向量PC與向量AP共線(xiàn),且P為AC的一個(gè)三等分點(diǎn),即:PC=2AP,本題還可以有以下變形

3、:所以點(diǎn)P在邊AC上.由PA+PB+PC=AB得:PB-AB=PA,即向量PC與向量AP共線(xiàn),且P為AC的一個(gè)三等分點(diǎn),所以:PC=2AP,由PA+PB+PC-AB=0因?yàn)橥瑢W(xué)們還可以選擇其它向量進(jìn)行分拆.也可以設(shè)點(diǎn)A,B,C,P的坐標(biāo),利用坐標(biāo)運(yùn)算對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形,同學(xué)們不仿試試看.變式:設(shè)O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn), 動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足: ,則點(diǎn)P在 (1) 的平分線(xiàn)AD上,(2)高線(xiàn)AE上,(3)中線(xiàn)AF上 ,(4)BC邊的垂直平分線(xiàn)上. ABCDPOBC解答:設(shè) ,則 是分別與 同向的單位向量.則 的方向?yàn)?的平分線(xiàn)AD的方向,所以點(diǎn)P在 的平分線(xiàn)AD上.例2.已知

4、向量a=(1,-2),b=(0,1),若a與a+mb的夾角為銳角,求m的取值范圍.分析:由于a與a+mb的夾角為銳角,故有a(a+mb)0,且a與a+mb不平行.解答:因?yàn)閍=(1,-2),b=(0,1),所以a+mb=(1,-2+m),因?yàn)閍與a+mb的夾角為銳角,所以a(a+mb)0,且a與a+mb不平行,即1-2(-2+m)0,-2-(-2+m) 0,解得:m ,且m 052所以:m的取值范圍是m ,且m 052點(diǎn)評(píng):要特別注意 ab0并不是a與b的夾角為銳角的充要條件. 同樣道理: ab0).所以c-a=(-2n-1,6n-2).由 (c-a) a得:解得所以向量c的坐標(biāo)為(-1,3)

5、.點(diǎn)評(píng):求字母的值往往要從問(wèn)題的條件入手,一般情況下條件的個(gè)數(shù)與求知數(shù)的個(gè)數(shù)是相等的,只需列出關(guān)于求知數(shù)的方程,解方程組即可,這種用方程來(lái)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想在數(shù)學(xué)解題中很普遍,同學(xué)們要高度重視.例5在直角坐標(biāo)系中,已知A(-1,0),B(3,4),若點(diǎn)C在 的平分線(xiàn)上,且 ,求向量 的坐標(biāo).OCOC分析:該問(wèn)題的本質(zhì)是求兩個(gè)數(shù),可以通過(guò)利用待定數(shù)法解方程組求解解答一:設(shè)向量=(x,y),由題意得:OCOC,即解得:x=1,y=2,或x=1,y=2檢驗(yàn)得:x=1,y=2所以向量的坐標(biāo)為(-1,2)OC解答二:如圖設(shè)D=(-5,0),則:的平分線(xiàn)就是 的平分線(xiàn).所以向量的坐標(biāo)為(-1,2)OC由于

6、OD=OB=5, ,設(shè)BD的中點(diǎn)為M,則有M(-1,2), , OCOMOC因?yàn)?,ABDOxyM分析:本題給出的條件僅是AB,AC長(zhǎng)度,因此問(wèn)題中的兩個(gè)向量應(yīng)與它們之間有一定關(guān)系,而尋求這種關(guān)系就是正確解答本題的關(guān)鍵.解答一:取AB中點(diǎn)E,因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以所以 =(AE+ED)(BA+AC)= (AB+AC)(AC-AB)即 的值為 .DE AC,DE= AC,ADBC=ADBCABCD例6如圖在 中,已知AB=3 ,AC=2 ,D為BC邊的中點(diǎn),求 的值A(chǔ)DBC.E解答二:由于本題的答案與的形狀無(wú)關(guān),不仿設(shè) ,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)C(2,0),B(0,3),則D的坐標(biāo)為 ,

7、所以 ,即 的值為ABCDBC=OC-OB=(2,-3)ADBC= (2,-3)=ADBCxy點(diǎn)評(píng):由平面向量基本定理知,平面上任一向量都可以由平面上任兩個(gè)不共線(xiàn)的向量線(xiàn)性表示,且是唯一的,解答此類(lèi)題的關(guān)鍵有兩點(diǎn):(1)選擇平面上兩個(gè)不共線(xiàn)的向量作為基底;(2)將問(wèn)題中的向量用基底表示;(3)將問(wèn)題特殊化也是一種有效的方法.變式1如圖在 中,已知AB=3 , AC=2 , D為BC邊上的點(diǎn),且BD=2DC,求 的值A(chǔ)DBCABCDAC-AB=AB+ (AC-AB)= AC+ ABADBC=( )( )AD=AB+BD=AB+ BCBC=AC-AB解:所以 AC+ AB變式2如圖在 中,已知AB

8、=3 , AC=2 , D,E為BC邊上的點(diǎn),且BE=ED=DC,求 的值A(chǔ)DAEABCDE略解:ADBC=( )( ) AC+ AB AC- AB變式3如圖在長(zhǎng)方形ABCD中,已知AB=4,BC=2 ,M,N,P為長(zhǎng)方形邊上的中點(diǎn),Q是邊CD上的點(diǎn),且CQ=3DQ,求 的值MQNPBCDAMQNP同學(xué)們不仿試試,仿照上述例題自己編題解答.所以略解:NP= AD+ ABMQ= AD+ AB例7如圖,平面上有三個(gè)向量 , , , = =1, = , ,若 求m+n的值OAOBOCOAOBOCOA+nOBOC=mDE分析:本題主要考查平面向量基本定理及實(shí)數(shù)與和量的積.解答一:延長(zhǎng)AO,BO,作平行

9、四邊形ODCE,使OC為對(duì)角線(xiàn),則有:OC因?yàn)?,所以O(shè)D=2,OE=4, OD+OE=-2OC=所以 OA-4OB所以 m+n=-6 OABC解答二:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.xy由已知可設(shè) =(1,0), = ,OAOBOC=由 得,OA+nOBOC=m所以 即所以m+n=-6.分析:本題主要考查向量的概念,平面向量的運(yùn)算法則,考查運(yùn)用向量與函數(shù)知識(shí)的能力.BC例8如圖,在 ABC中,已知BC=a,若長(zhǎng)為2a的線(xiàn)段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn),問(wèn) 與 的夾角 取何值時(shí), 的值最大?并求出這個(gè)最大值.PQCQBPCABPQ解答一:故當(dāng) ,即 .即當(dāng) 與 ,方向相同時(shí) 最大,最大值為0.CABPQxy解答

10、二:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=c,AC=b,則有: A(0,0),B(c,0),C(0,b),且 PQ=2a,BC=a. 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則Q(-x,-y).所以所以又所以例9.已知向量(1)求 的值;(2)若 ,且 ,求 的值.分析:本題是向量與三角函數(shù)結(jié)合的一綜合題,背景是向量,本質(zhì)是三角函數(shù)求值問(wèn)題,如果向量運(yùn)算不熟練,將直接影響本題的求解.解答(1)由 得:即:所以:所以:解答(2)因?yàn)?,所以由于 ,所以又 ,所以所以例10.已知向量a=(2,2),向量b與向量a的夾角為 ,且ab=-2.又t=(1,0), , ,其中A,B,C是三角形ABC的內(nèi)角,

11、若三角形的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,試求的取值范圍. 分析:本題中條件多,向量也多,弄清它們之間的關(guān)系是關(guān)鍵.首先由于向量a與向量b的夾角為 ,且ab=-2,則向量b是可以求出的;其次由于三角形的三個(gè)角成等差數(shù)列,故角B可以求出,從而整個(gè)問(wèn)題中只有一個(gè)變量A或C了.解答:設(shè)b=(x,y),由向量a與向量b的夾角為 ,且ab=-2,得解得:x=-1,y=0,或x=0,y=-1.t=(1,0), ,所以b=(0,-1).因?yàn)锳,B,C成等差數(shù)列,所以B= . 因?yàn)樗?的取值范圍為謝謝!1.熟練向量運(yùn)算法則及運(yùn)算律是解答向量問(wèn)題的關(guān)鍵;2.靈活運(yùn)用平面向量基本定理,將平面上的任一向量用平面上的

12、兩個(gè)不共線(xiàn)的向量線(xiàn)性表示是解題的突破口;3.利用向量及其運(yùn)算的幾何意義,可使問(wèn)題直觀明了.小結(jié):46凡事不要說(shuō)我不會(huì)或不可能,因?yàn)槟愀具€沒(méi)有去做!47成功不是靠夢(mèng)想和希望,而是靠努力和實(shí)踐48只有在天空最暗的時(shí)候,才可以看到天上的星星49上帝說(shuō):你要什么便取什么,但是要付出相當(dāng)?shù)拇鷥r(jià)50現(xiàn)在站在什么地方不重要,重要的是你往什么方向移動(dòng)。51寧可辛苦一陣子,不要苦一輩子52為成功找方法,不為失敗找借口53不斷反思自己的弱點(diǎn),是讓自己獲得更好成功的優(yōu)良習(xí)慣。54垃圾桶哲學(xué):別人不要做的事,我揀來(lái)做!55不一定要做最大的,但要做最好的56死的方式由上帝決定,活的方式由自己決定!57成功是動(dòng)詞,不是

13、名詞!28、年輕是我們拼搏的籌碼,不是供我們揮霍的資本。59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。60、身體發(fā)膚,受之父母,不敢毀傷,孝之始也; 立身行道,揚(yáng)名於后世,以顯父母,孝之終也。孝經(jīng)61、不積跬步,無(wú)以致千里;不積小流,無(wú)以成江海。荀子勸學(xué)篇62、孩子:請(qǐng)高看自己一眼,你是最棒的!63、路雖遠(yuǎn)行則將至,事雖難做則必成!64、活魚(yú)會(huì)逆水而上,死魚(yú)才會(huì)隨波逐流。65、怕苦的人苦一輩子,不怕苦的人苦一陣子。66、有價(jià)值的人不是看你能擺平多少人,而是看你能幫助多少人。67、不可能的事是想出來(lái)的,可能的事是做出來(lái)的。68、找不到路不是沒(méi)有路,路在腳下。69、幸福源自積德,福報(bào)來(lái)自行善。70、盲目的戀愛(ài)以微笑開(kāi)始,以淚滴告終。71、真正值錢(qián)的是分文不用的甜甜的微笑。72、前面是堵墻,用微笑面對(duì),就變成一座橋。73、自尊,偉大的人格力量;自愛(ài),維護(hù)名譽(yù)的金盾。74、今天學(xué)習(xí)不努力,明天努力找工作。75、懂得回報(bào)愛(ài),是邁向成熟的第一步。76、讀懂責(zé)任,讀懂使命,讀懂感恩方為懂事。77、不要只會(huì)吃奶,要學(xué)會(huì)吃干糧,尤其是粗茶淡飯。78、技藝創(chuàng)造價(jià)值,本領(lǐng)改變命運(yùn)。79、憑本領(lǐng)瀟灑就業(yè),靠技藝穩(wěn)拿高薪。80、為尋找出路走進(jìn)校門(mén),為創(chuàng)造生

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