蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一第5章5.1.2第1課時《曲線上一點處的切線》教案

1、本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來5.1.2瞬時變化率導(dǎo)數(shù)第1課時曲線上一點處的切線學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解以直代曲的數(shù)學(xué)思想，體會利用無限逼近的思想把曲線上兩點的割線逼近為某點的切線的過程.2.會求函數(shù)在某點處的切線方程導(dǎo)語“天圓地方”是我國先哲們認識世界的思維方式，幾千年的社會實踐證明了它的正確性，尤其體現(xiàn)在古代中國的建筑和錢幣上，而反映到我們數(shù)學(xué)上，則是以直代曲，無限逼近的數(shù)學(xué)思想，比如我國古代劉徽在運用“割圓術(shù)”求圓的周長時，在圓內(nèi)作正多邊形，用正多邊形的周長無

2、限逼近圓的周長，這是最早出現(xiàn)的“以直代曲”的例子，今天讓我們一起來探究如何通過利用直線或直線段來近似代替曲線或曲線段，并以此來研究曲線的某些性質(zhì)一、以直代曲問題1如圖，我們把一條曲線上的任意一點P附近的圖象不斷放大，觀察有何現(xiàn)象出現(xiàn)？提示當(dāng)不斷放大時，曲線在點P附近的圖象逼近一條確定的直線，即在很小的范圍內(nèi)，曲線可以看作直線，這就是以直代曲的思想例1劉徽是我國魏晉時期杰出的數(shù)學(xué)家，他采用了以直代曲、無限趨近、內(nèi)夾外逼的思想，創(chuàng)立了割圓術(shù)，如圖是半徑為1尺的圓內(nèi)接正六邊形，若用該正六邊形的面積近似代替圓的面積，則該圓的面積的近似值為_答案eq f(3r(3),2)解析S正六邊形6eq f(r(3

3、),4)eq f(3r(3),2).反思感悟以直代曲思想用來研究函數(shù)的局部性質(zhì)，重在體會“無限逼近”，“量變到質(zhì)變”，“近似與精確”的思想跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示若把曲線AB近似地看成線段，則圖中陰影部分的面積近似為_答案eq f(3,2)解析若把曲線AB近似看成線段，則陰影部分的面積近似為直角三角形的面積Seq f(1,2)13eq f(3,2).二、曲線的割線和切線問題2如圖，過P作割線PQ，當(dāng)點Q逐漸向P靠近時，有何現(xiàn)象出現(xiàn)？提示割線PQ在點P附近越來越逼近該曲線，當(dāng)點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為在點P處最逼近曲線的直線l，此時稱這條直線l為曲線在點P處的切線

4、知識梳理名稱割線切線斜率設(shè)曲線C上一點P(x，f(x)，另一點Q(xx，f(xx)，則割線PQ的斜率為kPQeq f(fxxfx,x)當(dāng)點Q沿曲線C向點P運動，并無限靠近點P時，割線PQ逼近點P的切線l，從而割線的斜率逼近切線l的斜率，即當(dāng)x無限趨近于0時，eq f(fxxfx,x)無限趨近于點P(x，f(x)處的切線的斜率例2已知曲線yx21上兩點A(2,3)，B(2x,3y)，當(dāng)x1時，割線AB的斜率是_；當(dāng)x0.1時，割線AB的斜率是_答案54.1解析當(dāng)x1時，割線AB的斜率k1eq f(y,x)eq f(2x21221,x)eq f(21222,1)5；當(dāng)x0.1時，割線AB的斜率k2

5、eq f(y,x)eq f(20.121221,0.1)4.1.反思感悟一條直線與一條曲線有兩個公共點，我們就說這條直線是這條曲線的割線，當(dāng)這兩個點不斷靠近，并重合為一個點時，這條直線就變成了這條曲線的切線跟蹤訓(xùn)練2過曲線y2x上兩點(0,1)，(1,2)的割線的斜率為_，過兩點(0,1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，r(2)的割線的斜率為_答案12eq r(2)2解析由平均變化率的計算公式及幾何意義，可得過兩點(0,1)，(1,2)的割線的斜率為keq f(21,10)1.同理，過兩點(0,1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，r(2)的割

6、線的斜率為keq f(r(2)1,f(1,2)0)2eq r(2)2.三、切線的斜率例3已知曲線yeq f(1,3)x3eq f(4,3).求曲線在點P(2,4)處的切線方程解點P(2,4)在曲線yeq f(1,3)x3eq f(4,3)上，eq f(y,x)eq f(f(1,3)2x3f(4,3)f(1,3)23f(4,3),x)eq f(4x2x2f(1,3)x3,x)42xeq f(1,3)(x)2，當(dāng)x無限趨近于0，eq f(y,x)無限趨近于4，在點P(2,4)處的切線的斜率為4，曲線在點P(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.反思感悟根據(jù)曲線上一點處的切線的定義，要

7、求曲線在某點處的切線方程，只需求出切線的斜率，即在該點處，x無限趨近于0時，eq f(y,x)無限趨近的常數(shù)跟蹤訓(xùn)練3(1)已知曲線yf(x)2x24x在點P處的切線的斜率為16，則點P坐標(biāo)為_答案(3,30)解析設(shè)點P坐標(biāo)為(x0，y0)，則eq f(fx0 xfx0,x0 xx0)eq f(2x24x0 x4x,x)4x042x.當(dāng)x無限趨近于0時，4x042x無限趨近于4x04，因此4x0416，即x03，所以y023243181230.即點P坐標(biāo)為(3,30)(2)已知曲線yf(x)3x2x，求曲線在點A(1,2)處的切線的斜率及切線方程解設(shè)A(1,2)，B(1x，f(1x)，則kAB

8、eq f(31x21x2,x)53x，當(dāng)x無限趨近于0時，53x無限趨近于5，所以曲線y3x2x在點A(1,2)處的切線斜率是5.切線方程為y25(x1)，即5xy30.1知識清單：(1)以直代曲(2)曲線的割線和切線(3)求曲線在一點處的切線2方法歸納：局部以直代曲、無限逼近的思想3常見誤區(qū)：不能正確理解用割線無限逼近切線的思想1函數(shù)yf(x)eq f(1,x)在x1處的切線斜率為()A2 B1 C1 D2答案B解析因為yf(1x)f(1)eq f(1,1x)eq f(1,1)eq f(x,1x)，所以eq f(y,x)eq f(1,1x)，所以當(dāng)x趨近于0時，eq f(y,x)趨近于1.故

9、函數(shù)f(x)在x1處的切線斜率為1.2拋物線yx2在點Meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,4)處的切線的傾斜角是()A30 B45 C60 D90答案B解析點Meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,4)在拋物線yx2上，eq f(y,x)eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x)2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2,x)1x，當(dāng)x無限趨近于0時，eq f(y,x)無限趨近于1，在點Meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,4)處的切線的斜率為1，故傾斜角為45.3已知曲線yx3在

10、點(2,8)處的切線斜率為12a，則實數(shù)a的值是()A1 B1 C2 D2答案B解析eq f(y,x)eq f(fxxfx,x)eq f(xx3x3,x)3x23xx(x)2，因為當(dāng)x無限趨近于0時，eq f(y,x)無限趨近于3x2，所以曲線在點(2,8)處切線的斜率k12，所以12a12，即a1.4已知曲線yeq f(1,x)1上兩點Aeq blc(rc)(avs4alco1(2，f(1,2)，Beq blc(rc)(avs4alco1(2x，f(1,2)y)，當(dāng)x1時，割線AB的斜率為_答案eq f(1,6)解析由函數(shù)的解析式有yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2x)1

11、)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)1)eq f(1,2x)eq f(1,2)eq f(x,22x)，則eq f(y,x)eq f(f(x,22x),x)eq f(1,22x).當(dāng)x1時，割線AB的斜率為keq f(1,22x)eq f(1,221)eq f(1,6).課時對點練1已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，A(x0，y0)在曲線上，x02,2x且x無限趨近于0，則在A點處的切線斜率近似為()Af(2) Bf(2x)C.eq f(f2xf2,x) Df(x0)答案C解析由兩點割線的斜率，當(dāng)x無限趨近于0時，函數(shù)f(x)在A點處的切線斜率近似為eq f(f2xf2,x).

12、2已知拋物線yeq f(1,4)x2，拋物線上有一點Peq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,4)，Q是拋物線上點P附近的一點，則點Q的坐標(biāo)為()A.eq blc(rc)(avs4alco1(1x，f(1,4)blc(rc)(avs4alco1(x)2) B.eq blc(rc)(avs4alco1(x，f(1,4)blc(rc)(avs4alco1(x)2)C.eq blc(rc)(avs4alco1(1x，f(1,4)blc(rc)(avs4alco1(x1)2) D.eq blc(rc)(avs4alco1(x，f(1,4)blc(rc)(avs4alco1(1x)2)答案

13、C解析當(dāng)x1x時，yeq f(1,4)(1x)2.3已知函數(shù)f(x)x24上兩點A，B，xA1，xB1.3，則割線AB的斜率為()A2 B2.3 C2.09 D2.1答案B解析f(1)5，f(1.3)5.69.kABeq f(f1.3f1,1.31)eq f(5.695,0.3)2.3.4近兩年為抑制房價過快上漲，政府出臺了一系列以“限購、限外、限貸限價”為主題的房地產(chǎn)調(diào)控政策各地房產(chǎn)部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定房價，提出多種方案，其中之一就是在規(guī)定的時間T內(nèi)完成房產(chǎn)供應(yīng)量任務(wù)Q.已知房產(chǎn)供應(yīng)量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則在以下四種房產(chǎn)供應(yīng)方案中，供應(yīng)效率(單位時間的供應(yīng)量)逐步提高的是()答案B解

14、析單位時間的供應(yīng)量逐步提高時，供應(yīng)量的增長速度越來越快，圖象上切線的斜率隨著自變量的增加會越來越大，則曲線是上升的，且越來越陡，故函數(shù)的圖象應(yīng)是一直下凹的5已知點Peq blc(rc)(avs4alco1(1，1)為曲線上的一點，PQ為曲線的割線，當(dāng)x無限趨近于0時，若kPQ無限趨近于2，則在點P處的切線方程為()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2答案B解析根據(jù)題意可知，在點P處切線的斜率為2，所以在點P處的切線方程為y12(x1)，整理可得y2x1.6曲線yeq f(1,x)在點eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，2)處的切線方程是()Ayx2 Byxeq f(

15、1,2)Cy4x4 Dy4x2答案C解析因為yeq f(1,xx)eq f(1,x)eq f(x,xxx)，所以eq f(y,x)eq f(1,xxx)，當(dāng)x無限接近于0時，eq f(y,x)無限接近于eq f(1,x2)，所以函數(shù)在點eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，2)處的切線斜率是k4，所以切線方程為y24eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，即y4x4.7當(dāng)h無限趨近于0時，eq f(4h242,h)無限趨近于_，eq f(r(4h)r(4),h)無限趨近于_答案8eq f(1,4)解析eq f(4h242,h)eq f(8hh2,h)8h，當(dāng)

16、h無限趨近于0時，8h無限趨近于8.eq f(r(4h)r(4),h)eq f(4h4,hr(4h)r(4)eq f(1,r(4h)r(4)，當(dāng)h無限趨近于0時，eq f(1,r(4h)r(4)無限趨近于eq f(1,4).8過曲線yx2上兩點Aeq blc(rc)(avs4alco1(2，4)和Beq blc(rc)(avs4alco1(2x，4y)作割線，當(dāng)x0.1時，割線AB的斜率為_答案4.1解析kABeq f(y,x)eq f(blc(rc)(avs4alco1(x2)222,x)eq f(blc(rc)(avs4alco1(x)24x,x)x4，所以當(dāng)x0.1時，AB的斜率為4.1

17、.9求函數(shù)f(x)x2x的圖象在點A(2，f(2)處切線的方程解設(shè)點B(2x，f(2x)，則割線AB的斜率為eq f(y,x)eq f(f2xf2,x)eq f(2x22x42,x)eq f(4xxx2,x)3x，當(dāng)x無限接近于0時，函數(shù)f(x)x2x的圖象在點A(2，f(2)處切線的斜率為k3，又f(2)2222，所以切線的方程為y(2)3(x2)，即3xy40.10求曲線yeq r(x)在點(1,1)處的切線方程解點(1,1)在曲線yeq r(x)上，eq f(y,x)eq f(r(1x)r(1),x)eq f(1,r(1x)1)，當(dāng)x無限趨近于0時，eq f(y,x)無限趨近于eq f(

18、1,2)，在點(1,1)處切線的斜率為eq f(1,2)，在點(1,1)處的切線方程為y1eq f(1,2)(x1)，即x2y10.11已知函數(shù)f(x)x2圖象上四點A(1，f(1)，B(2，f(2)，C(3，f(3)，D(4，f(4)，割線AB，BC，CD的斜率分別為k1，k2，k3，則()Ak1k2k3 Bk2k1k3Ck3k2k1 Dk1k3k2答案A解析k1eq f(f2f1,21)413，k2eq f(f3f2,32)945，k3eq f(f4f3,43)1697，k1k2k3.12若曲線yax2在xa處的切線與直線2xy10平行，則a等于()A1 B1 C1或1 Deq f(1,2

19、)或1答案A解析根據(jù)題意得eq f(y,x)eq f(aax2aa2,x)2a2ax，當(dāng)x無限接近于0時，2a22，a1，當(dāng)a1時，yx2，切點是(1,1)，切線的斜率k2，故切線方程是y12(x1)，即2xy10和直線2xy10重合，故a1.13曲線yx23x的一條切線的斜率為1，則切點坐標(biāo)為()A(2,2) B(2，2) C(2,2) D(2，2)答案B解析設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，eq f(y,x)eq f(x0 x23x0 xxoal(2,0)3x0,x)eq f(x22x0 x3x,x)x2x03，當(dāng)x無限趨近于0時，eq f(y,x)無限趨近于2x03，即k2x031，解得x02

20、，y0 xeq oal(2,0)3x0462.故切點坐標(biāo)為(2，2)14曲線yx33x26x10的切線中，斜率最小的切線方程為_答案3xy110解析設(shè)切點為P(x0，y0)，在點P處的切線斜率為k，eq f(y,x)eq f(x0 x33x0 x26x0 x10 xoal(3,0)3xoal(2,0)6x010,x)3xeq oal(2,0)6x06(x)2(3x03)x，當(dāng)x無限趨近于0時，eq f(y,x)無限趨近于3xeq oal(2,0)6x063(x01)23.所以k3(x01)23.當(dāng)x01時，k有最小值3，此時點P的坐標(biāo)為(1，14)，其切線方程為3xy110.15若函數(shù)yax21的圖象與直線yx相切，則a_.答案eq f(1,4)解析根據(jù)題意，eq f(y,x)eq f(ax