蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一第5章5.1.2第1課時(shí)《曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)》教案

1、本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來(lái)本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來(lái)5.1.2瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)第1課時(shí)曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解以直代曲的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)利用無(wú)限逼近的思想把曲線(xiàn)上兩點(diǎn)的割線(xiàn)逼近為某點(diǎn)的切線(xiàn)的過(guò)程.2.會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程導(dǎo)語(yǔ)“天圓地方”是我國(guó)先哲們認(rèn)識(shí)世界的思維方式，幾千年的社會(huì)實(shí)踐證明了它的正確性，尤其體現(xiàn)在古代中國(guó)的建筑和錢(qián)幣上，而反映到我們數(shù)學(xué)上，則是以直代曲，無(wú)限逼近的數(shù)學(xué)思想，比如我國(guó)古代劉徽在運(yùn)用“割圓術(shù)”求圓的周長(zhǎng)時(shí)，在圓內(nèi)作正多邊形，用正多邊形的周長(zhǎng)無(wú)

2、限逼近圓的周長(zhǎng)，這是最早出現(xiàn)的“以直代曲”的例子，今天讓我們一起來(lái)探究如何通過(guò)利用直線(xiàn)或直線(xiàn)段來(lái)近似代替曲線(xiàn)或曲線(xiàn)段，并以此來(lái)研究曲線(xiàn)的某些性質(zhì)一、以直代曲問(wèn)題1如圖，我們把一條曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)P附近的圖象不斷放大，觀察有何現(xiàn)象出現(xiàn)？提示當(dāng)不斷放大時(shí)，曲線(xiàn)在點(diǎn)P附近的圖象逼近一條確定的直線(xiàn)，即在很小的范圍內(nèi)，曲線(xiàn)可以看作直線(xiàn)，這就是以直代曲的思想例1劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，他采用了以直代曲、無(wú)限趨近、內(nèi)夾外逼的思想，創(chuàng)立了割圓術(shù)，如圖是半徑為1尺的圓內(nèi)接正六邊形，若用該正六邊形的面積近似代替圓的面積，則該圓的面積的近似值為_(kāi)答案eq f(3r(3),2)解析S正六邊形6eq f(r(3

3、),4)eq f(3r(3),2).反思感悟以直代曲思想用來(lái)研究函數(shù)的局部性質(zhì)，重在體會(huì)“無(wú)限逼近”，“量變到質(zhì)變”，“近似與精確”的思想跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示若把曲線(xiàn)AB近似地看成線(xiàn)段，則圖中陰影部分的面積近似為_(kāi)答案eq f(3,2)解析若把曲線(xiàn)AB近似看成線(xiàn)段，則陰影部分的面積近似為直角三角形的面積Seq f(1,2)13eq f(3,2).二、曲線(xiàn)的割線(xiàn)和切線(xiàn)問(wèn)題2如圖，過(guò)P作割線(xiàn)PQ，當(dāng)點(diǎn)Q逐漸向P靠近時(shí)，有何現(xiàn)象出現(xiàn)？提示割線(xiàn)PQ在點(diǎn)P附近越來(lái)越逼近該曲線(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Q無(wú)限逼近點(diǎn)P時(shí)，直線(xiàn)PQ最終就成為在點(diǎn)P處最逼近曲線(xiàn)的直線(xiàn)l，此時(shí)稱(chēng)這條直線(xiàn)l為曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)

4、知識(shí)梳理名稱(chēng)割線(xiàn)切線(xiàn)斜率設(shè)曲線(xiàn)C上一點(diǎn)P(x，f(x)，另一點(diǎn)Q(xx，f(xx)，則割線(xiàn)PQ的斜率為kPQeq f(fxxfx,x)當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線(xiàn)C向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，并無(wú)限靠近點(diǎn)P時(shí)，割線(xiàn)PQ逼近點(diǎn)P的切線(xiàn)l，從而割線(xiàn)的斜率逼近切線(xiàn)l的斜率，即當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，eq f(fxxfx,x)無(wú)限趨近于點(diǎn)P(x，f(x)處的切線(xiàn)的斜率例2已知曲線(xiàn)yx21上兩點(diǎn)A(2,3)，B(2x,3y)，當(dāng)x1時(shí)，割線(xiàn)AB的斜率是_；當(dāng)x0.1時(shí)，割線(xiàn)AB的斜率是_答案54.1解析當(dāng)x1時(shí)，割線(xiàn)AB的斜率k1eq f(y,x)eq f(2x21221,x)eq f(21222,1)5；當(dāng)x0.1時(shí)，割線(xiàn)AB的斜率k2

5、eq f(y,x)eq f(20.121221,0.1)4.1.反思感悟一條直線(xiàn)與一條曲線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)，我們就說(shuō)這條直線(xiàn)是這條曲線(xiàn)的割線(xiàn)，當(dāng)這兩個(gè)點(diǎn)不斷靠近，并重合為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，這條直線(xiàn)就變成了這條曲線(xiàn)的切線(xiàn)跟蹤訓(xùn)練2過(guò)曲線(xiàn)y2x上兩點(diǎn)(0,1)，(1,2)的割線(xiàn)的斜率為_(kāi)，過(guò)兩點(diǎn)(0,1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，r(2)的割線(xiàn)的斜率為_(kāi)答案12eq r(2)2解析由平均變化率的計(jì)算公式及幾何意義，可得過(guò)兩點(diǎn)(0,1)，(1,2)的割線(xiàn)的斜率為keq f(21,10)1.同理，過(guò)兩點(diǎn)(0,1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，r(2)的割

6、線(xiàn)的斜率為keq f(r(2)1,f(1,2)0)2eq r(2)2.三、切線(xiàn)的斜率例3已知曲線(xiàn)yeq f(1,3)x3eq f(4,3).求曲線(xiàn)在點(diǎn)P(2,4)處的切線(xiàn)方程解點(diǎn)P(2,4)在曲線(xiàn)yeq f(1,3)x3eq f(4,3)上，eq f(y,x)eq f(f(1,3)2x3f(4,3)f(1,3)23f(4,3),x)eq f(4x2x2f(1,3)x3,x)42xeq f(1,3)(x)2，當(dāng)x無(wú)限趨近于0，eq f(y,x)無(wú)限趨近于4，在點(diǎn)P(2,4)處的切線(xiàn)的斜率為4，曲線(xiàn)在點(diǎn)P(2,4)處的切線(xiàn)方程為y44(x2)，即4xy40.反思感悟根據(jù)曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)的定義，要

7、求曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，只需求出切線(xiàn)的斜率，即在該點(diǎn)處，x無(wú)限趨近于0時(shí)，eq f(y,x)無(wú)限趨近的常數(shù)跟蹤訓(xùn)練3(1)已知曲線(xiàn)yf(x)2x24x在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率為16，則點(diǎn)P坐標(biāo)為_(kāi)答案(3,30)解析設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0，y0)，則eq f(fx0 xfx0,x0 xx0)eq f(2x24x0 x4x,x)4x042x.當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，4x042x無(wú)限趨近于4x04，因此4x0416，即x03，所以y023243181230.即點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,30)(2)已知曲線(xiàn)yf(x)3x2x，求曲線(xiàn)在點(diǎn)A(1,2)處的切線(xiàn)的斜率及切線(xiàn)方程解設(shè)A(1,2)，B(1x，f(1x)，則kAB

8、eq f(31x21x2,x)53x，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，53x無(wú)限趨近于5，所以曲線(xiàn)y3x2x在點(diǎn)A(1,2)處的切線(xiàn)斜率是5.切線(xiàn)方程為y25(x1)，即5xy30.1知識(shí)清單：(1)以直代曲(2)曲線(xiàn)的割線(xiàn)和切線(xiàn)(3)求曲線(xiàn)在一點(diǎn)處的切線(xiàn)2方法歸納：局部以直代曲、無(wú)限逼近的思想3常見(jiàn)誤區(qū)：不能正確理解用割線(xiàn)無(wú)限逼近切線(xiàn)的思想1函數(shù)yf(x)eq f(1,x)在x1處的切線(xiàn)斜率為()A2 B1 C1 D2答案B解析因?yàn)閥f(1x)f(1)eq f(1,1x)eq f(1,1)eq f(x,1x)，所以eq f(y,x)eq f(1,1x)，所以當(dāng)x趨近于0時(shí)，eq f(y,x)趨近于1.故

9、函數(shù)f(x)在x1處的切線(xiàn)斜率為1.2拋物線(xiàn)yx2在點(diǎn)Meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,4)處的切線(xiàn)的傾斜角是()A30 B45 C60 D90答案B解析點(diǎn)Meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,4)在拋物線(xiàn)yx2上，eq f(y,x)eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x)2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2,x)1x，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，eq f(y,x)無(wú)限趨近于1，在點(diǎn)Meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,4)處的切線(xiàn)的斜率為1，故傾斜角為45.3已知曲線(xiàn)yx3在

10、點(diǎn)(2,8)處的切線(xiàn)斜率為12a，則實(shí)數(shù)a的值是()A1 B1 C2 D2答案B解析eq f(y,x)eq f(fxxfx,x)eq f(xx3x3,x)3x23xx(x)2，因?yàn)楫?dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，eq f(y,x)無(wú)限趨近于3x2，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)(2,8)處切線(xiàn)的斜率k12，所以12a12，即a1.4已知曲線(xiàn)yeq f(1,x)1上兩點(diǎn)Aeq blc(rc)(avs4alco1(2，f(1,2)，Beq blc(rc)(avs4alco1(2x，f(1,2)y)，當(dāng)x1時(shí)，割線(xiàn)AB的斜率為_(kāi)答案eq f(1,6)解析由函數(shù)的解析式有yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2x)1

11、)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)1)eq f(1,2x)eq f(1,2)eq f(x,22x)，則eq f(y,x)eq f(f(x,22x),x)eq f(1,22x).當(dāng)x1時(shí)，割線(xiàn)AB的斜率為keq f(1,22x)eq f(1,221)eq f(1,6).課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，A(x0，y0)在曲線(xiàn)上，x02,2x且x無(wú)限趨近于0，則在A點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率近似為()Af(2) Bf(2x)C.eq f(f2xf2,x) Df(x0)答案C解析由兩點(diǎn)割線(xiàn)的斜率，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，函數(shù)f(x)在A點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率近似為eq f(f2xf2,x).

12、2已知拋物線(xiàn)yeq f(1,4)x2，拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)Peq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,4)，Q是拋物線(xiàn)上點(diǎn)P附近的一點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()A.eq blc(rc)(avs4alco1(1x，f(1,4)blc(rc)(avs4alco1(x)2) B.eq blc(rc)(avs4alco1(x，f(1,4)blc(rc)(avs4alco1(x)2)C.eq blc(rc)(avs4alco1(1x，f(1,4)blc(rc)(avs4alco1(x1)2) D.eq blc(rc)(avs4alco1(x，f(1,4)blc(rc)(avs4alco1(1x)2)答案

13、C解析當(dāng)x1x時(shí)，yeq f(1,4)(1x)2.3已知函數(shù)f(x)x24上兩點(diǎn)A，B，xA1，xB1.3，則割線(xiàn)AB的斜率為()A2 B2.3 C2.09 D2.1答案B解析f(1)5，f(1.3)5.69.kABeq f(f1.3f1,1.31)eq f(5.695,0.3)2.3.4近兩年為抑制房?jī)r(jià)過(guò)快上漲，政府出臺(tái)了一系列以“限購(gòu)、限外、限貸限價(jià)”為主題的房地產(chǎn)調(diào)控政策各地房產(chǎn)部門(mén)為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定房?jī)r(jià)，提出多種方案，其中之一就是在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成房產(chǎn)供應(yīng)量任務(wù)Q.已知房產(chǎn)供應(yīng)量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則在以下四種房產(chǎn)供應(yīng)方案中，供應(yīng)效率(單位時(shí)間的供應(yīng)量)逐步提高的是()答案B解

14、析單位時(shí)間的供應(yīng)量逐步提高時(shí)，供應(yīng)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，圖象上切線(xiàn)的斜率隨著自變量的增加會(huì)越來(lái)越大，則曲線(xiàn)是上升的，且越來(lái)越陡，故函數(shù)的圖象應(yīng)是一直下凹的5已知點(diǎn)Peq blc(rc)(avs4alco1(1，1)為曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，PQ為曲線(xiàn)的割線(xiàn)，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，若kPQ無(wú)限趨近于2，則在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2答案B解析根據(jù)題意可知，在點(diǎn)P處切線(xiàn)的斜率為2，所以在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為y12(x1)，整理可得y2x1.6曲線(xiàn)yeq f(1,x)在點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，2)處的切線(xiàn)方程是()Ayx2 Byxeq f(

15、1,2)Cy4x4 Dy4x2答案C解析因?yàn)閥eq f(1,xx)eq f(1,x)eq f(x,xxx)，所以eq f(y,x)eq f(1,xxx)，當(dāng)x無(wú)限接近于0時(shí)，eq f(y,x)無(wú)限接近于eq f(1,x2)，所以函數(shù)在點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，2)處的切線(xiàn)斜率是k4，所以切線(xiàn)方程為y24eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，即y4x4.7當(dāng)h無(wú)限趨近于0時(shí)，eq f(4h242,h)無(wú)限趨近于_，eq f(r(4h)r(4),h)無(wú)限趨近于_答案8eq f(1,4)解析eq f(4h242,h)eq f(8hh2,h)8h，當(dāng)

16、h無(wú)限趨近于0時(shí)，8h無(wú)限趨近于8.eq f(r(4h)r(4),h)eq f(4h4,hr(4h)r(4)eq f(1,r(4h)r(4)，當(dāng)h無(wú)限趨近于0時(shí)，eq f(1,r(4h)r(4)無(wú)限趨近于eq f(1,4).8過(guò)曲線(xiàn)yx2上兩點(diǎn)Aeq blc(rc)(avs4alco1(2，4)和Beq blc(rc)(avs4alco1(2x，4y)作割線(xiàn)，當(dāng)x0.1時(shí)，割線(xiàn)AB的斜率為_(kāi)答案4.1解析kABeq f(y,x)eq f(blc(rc)(avs4alco1(x2)222,x)eq f(blc(rc)(avs4alco1(x)24x,x)x4，所以當(dāng)x0.1時(shí)，AB的斜率為4.1

17、.9求函數(shù)f(x)x2x的圖象在點(diǎn)A(2，f(2)處切線(xiàn)的方程解設(shè)點(diǎn)B(2x，f(2x)，則割線(xiàn)AB的斜率為eq f(y,x)eq f(f2xf2,x)eq f(2x22x42,x)eq f(4xxx2,x)3x，當(dāng)x無(wú)限接近于0時(shí)，函數(shù)f(x)x2x的圖象在點(diǎn)A(2，f(2)處切線(xiàn)的斜率為k3，又f(2)2222，所以切線(xiàn)的方程為y(2)3(x2)，即3xy40.10求曲線(xiàn)yeq r(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)方程解點(diǎn)(1,1)在曲線(xiàn)yeq r(x)上，eq f(y,x)eq f(r(1x)r(1),x)eq f(1,r(1x)1)，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，eq f(y,x)無(wú)限趨近于eq f(

18、1,2)，在點(diǎn)(1,1)處切線(xiàn)的斜率為eq f(1,2)，在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)方程為y1eq f(1,2)(x1)，即x2y10.11已知函數(shù)f(x)x2圖象上四點(diǎn)A(1，f(1)，B(2，f(2)，C(3，f(3)，D(4，f(4)，割線(xiàn)AB，BC，CD的斜率分別為k1，k2，k3，則()Ak1k2k3 Bk2k1k3Ck3k2k1 Dk1k3k2答案A解析k1eq f(f2f1,21)413，k2eq f(f3f2,32)945，k3eq f(f4f3,43)1697，k1k2k3.12若曲線(xiàn)yax2在xa處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2xy10平行，則a等于()A1 B1 C1或1 Deq f(1,2

19、)或1答案A解析根據(jù)題意得eq f(y,x)eq f(aax2aa2,x)2a2ax，當(dāng)x無(wú)限接近于0時(shí)，2a22，a1，當(dāng)a1時(shí)，yx2，切點(diǎn)是(1,1)，切線(xiàn)的斜率k2，故切線(xiàn)方程是y12(x1)，即2xy10和直線(xiàn)2xy10重合，故a1.13曲線(xiàn)yx23x的一條切線(xiàn)的斜率為1，則切點(diǎn)坐標(biāo)為()A(2,2) B(2，2) C(2,2) D(2，2)答案B解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，eq f(y,x)eq f(x0 x23x0 xxoal(2,0)3x0,x)eq f(x22x0 x3x,x)x2x03，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，eq f(y,x)無(wú)限趨近于2x03，即k2x031，解得x02

20、，y0 xeq oal(2,0)3x0462.故切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)14曲線(xiàn)yx33x26x10的切線(xiàn)中，斜率最小的切線(xiàn)方程為_(kāi)答案3xy110解析設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，在點(diǎn)P處的切線(xiàn)斜率為k，eq f(y,x)eq f(x0 x33x0 x26x0 x10 xoal(3,0)3xoal(2,0)6x010,x)3xeq oal(2,0)6x06(x)2(3x03)x，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，eq f(y,x)無(wú)限趨近于3xeq oal(2,0)6x063(x01)23.所以k3(x01)23.當(dāng)x01時(shí)，k有最小值3，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，14)，其切線(xiàn)方程為3xy110.15若函數(shù)yax21的圖象與直線(xiàn)yx相切，則a_.答案eq f(1,4)解析根據(jù)題意，eq f(y,x)eq f(ax