2018年高考理科數(shù)學全國卷三導數(shù)壓軸題解析

1、2018年高考理科數(shù)學全國卷三導數(shù)壓軸題解析已知函數(shù)f(x)(2+x+ax2)ln(x+1)一2x若a0，證明：當-1x0時，f(x)0；當x0時，f(x)0；若x0是f(x)的極大值點，求a.考點分析綜合歷年試題來看，全國卷理科數(shù)學題目中，全國卷三的題目相對容易。但在2018年全國卷三的考察中，很多考生反應其中的導數(shù)壓軸題并不是非常容易上手。第1小問，主要通過函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，第2小問以函數(shù)極值點的判斷為切入點，綜合考察復雜含參變量函數(shù)的單調(diào)性以及零點問題，對思維能力(化歸思想與分類討論)的要求較高。具體而言，第1問，給定參數(shù)a的值，證明函數(shù)值與0這一特殊值的大小關系，結合函數(shù)以及其導

2、函數(shù)的單調(diào)性，比較容易證明，這也是大多數(shù)考生拿到題目的第一思維方式，比較常規(guī)。如果能結合給定函數(shù)中x+20這一隱藏特點，把ln(x+1)前面的系數(shù)化為1,判斷l(xiāng)n(x+1)與2x/(x+2)之間的大小關系，僅通過一次求導即可把超越函數(shù)化為求解零點比較容易的代數(shù)函數(shù)，解法更加容易，思維比較巧妙?？傮w來講，題目設置比較靈活，不同能力層次的學生皆可上手。理解什么是函數(shù)的極值點是解決第2問的關鍵。極值點與導數(shù)為0點之間有什么關系：對于任意函數(shù)，在極值點，導函數(shù)一定等于0么(存在不存在)？導函數(shù)等于0的點一定是函數(shù)的極值點么？因此，任何不結合函數(shù)的單調(diào)性而去空談函數(shù)極值點的行為都是莽撞與武斷的。在本題目

3、中，x=0是f(x)的極大值點的充要條件是存在0和0使得對于任意xe(,0)都滿足f(x)f(0)=0(或者121f(x)單調(diào)遞增)，對于任意xe(0,)都滿足f(x)f(0)=0(或者f(x)單調(diào)遞減)，因此解答本題的關鍵是2討論函數(shù)f(x)在x0附近的單調(diào)性或者判斷f(x)與f(0)的大小關系。題目中并沒有限定參數(shù)a的取值范圍，所以要對實數(shù)范圍內(nèi)不同a取值時的情況都進行分類討論。在第1小問的基礎上，可以很容易判斷a0以及a0時并不能滿足極大值點的要求，難點是在于判斷a0(x+1)2時，f(x)0,f(x)單調(diào)遞增，所以在區(qū)間(，1,+)內(nèi)f(x)f(0)=0,從而f(x)在(,1,+)內(nèi)單

4、調(diào)遞增；故當，1x0時，f(x)f(0)=0；當x0時，f(x)f(0)=0，得證.(2)若a0，當x0時，f(x)(2+x)ln(x+1)2x0，此時x=0不是f(x)的極大值點，不合題意；下面考慮a0時函數(shù)f(x)在x=0附近的單調(diào)性.2+x+ax2小x，1，f(0)=0；TOC o 1-5 h zf(x)=(1+2ax)ln(x+1)+一2，x+1(x+1)2f(x)=2aln(x+1)+3ax2+(4a+Dx，x，1，f(0)=0；f(0)=6a+1；2ax2+(6a1)x+6a+14(x+1)3f(x)，x1，令g(x)=2ax2+(6a-1)x+6a+1，顯然g(x)與f(x)在(

5、-1,+)有著相同的正負號；g(x)是以x=6a_1上生=，1為對稱軸且開口向下的拋物線，所以對于任意a0，g(x)，4a，4a在(，1,+)單調(diào)遞減.若a=，1，當，1x0時，g(x)g(0)=0即f(x)0；當0 x時，g(x)g(0)=06即f(x)0；所以f(x)在(，1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+)單調(diào)遞減;所以f(x)f(0)=0，f(x)單調(diào)遞增,當xe(0,+)時f(x)f(0)=0，f(x)單調(diào)遞減，此時x=0恰好是f(x)的極大值點，滿足題意；若-1a0，因為g(0)=6a+10，所以必然存在一點x0使得g(x)=0；在區(qū)間611(0,x)內(nèi)，g(x)0成立，f(x)單調(diào)遞增,f(x)f(0)=0，f(x)遞增，f(x)f(0)=0，1f(x)單調(diào)遞增，此時x0不是f(x)的極大值點，不合題意；若a-1，因為g(0