北京大學(xué)量子力學(xué)課件 第29講

1、 第 二 十 九 講 . 變分法 A.體系的哈密頓量在任一滿足物理要求的試探波函數(shù)上的平均值必大于等于體系基態(tài)能量1 B. Ritz 變分法 基本思想：根據(jù)物理上的考慮，給出含一組參量的試探波函數(shù) 求出能量平均值2 對 ，求極值，從而確定 顯然， （基態(tài)能量） 例：求氦原子的基態(tài)能量(即外有兩個電子) 氦原子的哈密頓量為（忽略 ） 3 從物理上考慮，當(dāng)二個電子在原子中運(yùn)動，它們互相屏蔽，使每個電子感受到原子核的作用不是兩個單位的正電荷，而是比它小。究竟是多少？很自然可把它當(dāng)作待定參量，利用Ritz 變分法來求基態(tài)能量的近似值。 因類氫離子的基態(tài)波函數(shù)為4則 滿足所以，取試探波函數(shù)為 5顯然，于

2、是 6 Ritz變分，是由給定 （函數(shù)形式給定 ），即 ，僅改變參量 ，使 取極?。ǖ瘮?shù)形式不變）， 所以只能得到近似的本征函數(shù)和本征值的上限。 7 . 量子躍遷 要處理的問題是：體系原處于 的本征態(tài)（或疊加），而后有一與 有關(guān)的微擾 作用到該體系。于是體系可能從一個態(tài)以一定幾率躍遷到另一態(tài)，稱這一現(xiàn)象為量子躍遷。 處理這樣的問題就需要利用含時(shí)間的微擾論 （1）含時(shí)間的微擾論 8 與 有關(guān)，體系的哈氏量原為 ，隨 有一微擾 時(shí)，體系處于 的本征態(tài) ，相應(yīng)的定態(tài)為9 當(dāng)然， 仍可按 的定態(tài) 展開。但由于 不是 的定態(tài)，所以展開系數(shù)是與 有關(guān)。10于是有 11 時(shí)，體系處于 因此，在 時(shí)刻，測量

3、發(fā)現(xiàn)體系處于 態(tài)的幾率為12 （2）常微擾下的躍遷率：在某些實(shí)驗(yàn)中，在作用時(shí)間內(nèi),微擾常常是不依賴于 的 （ ） 13 單位時(shí)間躍遷幾率（稱為躍遷速率或躍遷率） 它表明： 躍遷率與時(shí)間無關(guān)。通常稱為Fermi黃金定則; 當(dāng) 一定大后，躍遷貢獻(xiàn)主要是來自同初態(tài)能量相同的末態(tài)。14 B. 周期性微擾下的躍遷率 設(shè)：微擾隨時(shí)間作周期性變化 與t無關(guān) 在一級近似下 15 根據(jù)前面分析，當(dāng) t 足夠大時(shí)，引起體系從 的 態(tài)發(fā)生躍遷到 的 態(tài)的總躍遷率，是 . 于是有躍遷率為 16 C輻射場下原子的躍遷率 當(dāng)微擾影響較小時(shí)，一級近似很好 現(xiàn)考慮原子被置于一個純輻射場中 在原子區(qū)域中，無外電場 。 17 因

4、 。于是有（電磁場弱，忽略項(xiàng)） 由于滿足令 18 且有 （由于 為實(shí)） 在電磁波很弱的條件下，一級微擾很小，則 可以證明 即受激輻射和退激發(fā)躍遷幾率相等。 19 同樣可以證明在 弱輻射場 長波近似 輻射是非極化的（極化各向同性， 等幾率）條件下： 單位時(shí)間躍遷幾率，即躍遷率 20 其中 為能量密度分布，即光強(qiáng)度分布。 為單位時(shí)間通過垂直傳播方向上的單位面積的能量分布。 21 （3）磁共振 均勻磁場 （在Z 方向 ），將使電子的簡并態(tài)（自旋 ）發(fā)生分裂，其能量差其中 當(dāng)電子吸收一光子 ，則將電子激發(fā)到較高能級，即自旋向上的態(tài)。 22 A. 躍遷幾率和躍遷率 設(shè)：有一垂直于靜場 的磁場。于是，總磁

5、場為 若振蕩場比靜場小23 電子的總哈密頓量在 表象，即在 表象，中24 設(shè) 時(shí)刻，電子自旋態(tài)的本征值為 。在一級近似下，從本征值為 的自旋態(tài)躍遷到本征值為 的自旋態(tài)的幾率 25 若 為單位頻率中的態(tài)密度，則總的躍遷幾 率為 26( 若 t 足夠大或 在共振區(qū)變化很緩慢 )27 所以，單位時(shí)間的躍遷幾率（ 躍遷率）為 28 B. 兩能級間的震蕩 電子的總哈密頓量在 表象，即在 表象中為 設(shè) 時(shí)刻，電子狀態(tài)或稱自旋態(tài)的表示為 29于是有30令 31 所以， 時(shí)，有解 時(shí)，有解32于是有 普遍解為33其中 34 若 ，電子處于 本征值為的本征態(tài)，其表示即為 則要求35所以，36 最后有解 37 時(shí)刻，處于 本征值為 的本征態(tài)，其表示即為 的幾率為 仍處于 本征值為 的本征態(tài)，其表示即為 的幾率為 38 我們直接看到，電子所處的態(tài)隨時(shí)間在這兩個態(tài)之間以一定的幾率震蕩。39 C. 一級近似公式的精確性 我們能直接看到，在 時(shí)，精確解和一級近似解才符合。 40418.4 散射 （1） 一般描述： 在束縛態(tài)問題中，我們是解本征值問題，以期與實(shí)驗(yàn)的能量測量值比較。而在散射問題中，能