《因數(shù)與倍數(shù)》教材分析

1、因數(shù)與倍數(shù)教材分析“因數(shù)與倍數(shù)”這一單元的知識(shí)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可或缺的基礎(chǔ)。之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一定的整數(shù)知識(shí)， 如整數(shù)的認(rèn)識(shí)、整數(shù)的四則混合運(yùn)算及其應(yīng)用。本單元將進(jìn)一步認(rèn)識(shí)整數(shù)的性質(zhì)，主要學(xué)習(xí)內(nèi)容包括：因數(shù)與倍數(shù)，2、5和3的倍數(shù)的特征，質(zhì)數(shù)與合數(shù)。因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念以及最大公因數(shù)、 最小公倍數(shù)等內(nèi)容都是初等數(shù)論的基礎(chǔ)知識(shí)。數(shù)學(xué)一直被譽(yù)為“科學(xué)的皇后”，而數(shù)論更被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的皇后”。單元的知識(shí)作為數(shù)論知識(shí)的基礎(chǔ)，是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的重要內(nèi)容。一方面，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，特別是學(xué)習(xí)約分、通分，需要以因數(shù)、倍數(shù)的概念為基礎(chǔ)，進(jìn)一步掌握公因數(shù)、最大公因數(shù)和公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的概念，需以質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概

2、念為基礎(chǔ)，同時(shí)掌握2、5和3的倍數(shù)的特征。另一方面，學(xué)習(xí)了本單元的知識(shí)，能使學(xué)生加深對(duì)整數(shù)與整數(shù)除法的認(rèn)識(shí)，加之這些知識(shí)比較抽象， 而且概念間的非常緊密，所以也有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。一、與實(shí)驗(yàn)教材（義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)五年級(jí)，下同）的主要區(qū)別.與實(shí)驗(yàn)教材相比，修訂后的教材不再出現(xiàn)整除的概念，因數(shù)和倍數(shù)的概念由整數(shù)除 法算式引出，而不是乘法，這樣便于學(xué)生感知因數(shù)與倍數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵，領(lǐng)悟這兩個(gè)概念不是針對(duì)整數(shù)乘法，而是反映整數(shù)除法中余數(shù)為 0的情況，為后面找一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)做準(zhǔn)備。.與實(shí)驗(yàn)教材相比，修訂后的教材更加明確了因數(shù)與倍數(shù)的相互依存的關(guān)系。.與實(shí)驗(yàn)教材相比，在學(xué)習(xí) 2、5、3

3、的倍數(shù)的特征時(shí)，修訂后的教材均采用了百數(shù)表， 這樣使學(xué)生的探究學(xué)習(xí)更加開放，有利于提高學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的能力和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。.與實(shí)驗(yàn)教材相比，修訂后的教材增加了兩數(shù)之和的奇偶性的探討，讓學(xué)生在探究過 程中獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，豐富解決問題的策略。、教材例題分析（一）因數(shù)和倍數(shù)例1:因數(shù)和倍數(shù)的概念例1教材給出9個(gè)除法算式，讓學(xué)生試著分類；接著出示以“商是整數(shù)且沒有余數(shù)”為 分類標(biāo)準(zhǔn)分成兩類的一種結(jié)果。 在此基礎(chǔ)上由第一類中的整數(shù)除法，引出因數(shù)和倍數(shù)的概念,并舉例說明。從具體的整數(shù)除法等式到抽象的數(shù)學(xué)概念，再由抽象的概念回到具體，舉例說明概念。這樣的思維轉(zhuǎn)換過程有利于學(xué)生認(rèn)知概念，切實(shí)掌握概念

4、。通過讓學(xué)生說一說第一類中每個(gè)算式，誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)，進(jìn)一步體會(huì)“因數(shù)和倍數(shù)是互相依存的”。在例1的最后，教材指出了本單元中的數(shù)的研究范圍是大于0的自然數(shù)。例2: 一個(gè)數(shù)的因數(shù)的求法例2直接提出問題：“ 18的因數(shù)有哪幾個(gè)？ ”引導(dǎo)學(xué)生利用因數(shù)的概念從小到大依次寫出，然后再用集合圖表示出一個(gè)數(shù)的全部因數(shù)，為后面用交集圖表示兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)打下基礎(chǔ)，并使學(xué)生初步體會(huì)一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是有限的。例3: 一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的求法例3教材直接提出問題：“ 2的倍數(shù)有哪些？ ”因?yàn)楸怀龜?shù)相當(dāng)于積，所以求 2的倍數(shù)可將2和任意非零自然數(shù)相乘得到。學(xué)生在列乘法算式時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的算式是列不完的，因此，2的倍

5、數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。接著也用集合圖表示出2的倍數(shù)，為后面學(xué)習(xí)交集圖表示兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)奠定基礎(chǔ)。最后引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出一個(gè)數(shù)的最小、最大因數(shù)和最小倍數(shù)分別是什么，總結(jié)出一個(gè)數(shù)的因數(shù)、倍數(shù)的個(gè)數(shù)的結(jié)論， 在其中滲透從個(gè)別到全體、 從具體到一般的抽象歸納思想方 法。（二）2、5、3的倍數(shù)的特征例1 : 2、5的倍數(shù)的特征例1教材采用了百數(shù)表，讓學(xué)生畫圈、畫框、觀察、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)。比如，將 5的倍數(shù)圈 起來，學(xué)生馬上就能發(fā)現(xiàn) 5的倍數(shù)都集中在兩列上，特征也非常明顯，一列個(gè)位都是5,另一列個(gè)位都是0,因此學(xué)生能順利的歸納出 5的倍數(shù)的特征。同樣道理，將2的倍數(shù)框起來， 也能夠顯而易見地發(fā)現(xiàn)其特征。為了便于學(xué)

6、生總結(jié)自己的發(fā)現(xiàn)，教材以學(xué)生對(duì)話的形式，給出5、2倍數(shù)的特征的不完整描述，讓學(xué)生把特征填寫完整。在總結(jié)了 2的倍數(shù)的特征的基礎(chǔ)上， 教材引出了偶數(shù)、奇 數(shù)的概念。完成了做一做，學(xué)生能夠歸納出既是2的倍數(shù)也是5的倍數(shù)的數(shù)的特征。例2: 3的倍數(shù)的特征例2教材仍采用百數(shù)表，讓學(xué)生先圈數(shù)，再根據(jù)提示，觀察、思考，回答問題，獲得新的發(fā)現(xiàn)。3的倍數(shù)的特征比較隱蔽， 且容易受2和5倍數(shù)特征的觀察定式、 思維定式的影響。為了盡量避免已學(xué)知識(shí)對(duì)新知識(shí)學(xué)習(xí)的負(fù)遷移，教材第（2）條指導(dǎo)語，提出兩個(gè)問題，啟發(fā)學(xué)生排除只看到個(gè)位的定式，然后通過第（3）條指導(dǎo)語，提示變換觀察的角度。兩個(gè)女孩的對(duì)話，說出了探究過程中思維

7、轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵內(nèi)容。小精靈的提示，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步驗(yàn)證規(guī)律。（三）質(zhì)數(shù)和合數(shù)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念教材首先讓學(xué)生找出1 20各數(shù)的全部因數(shù)，然后按照每個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類。在此基礎(chǔ)上給出質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念。同時(shí)指出1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。在小學(xué)階段學(xué)生可以理解為1只有一個(gè)因數(shù)，質(zhì)數(shù)有兩個(gè)因數(shù)，合數(shù)有三個(gè)及多因數(shù)。例1:找出100以內(nèi)所有的質(zhì)數(shù)例1教材又采用了百數(shù)表， 讓學(xué)生找出100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)。 通過學(xué)生的對(duì)話，介紹了 兩種操作方法。其中依次劃去每個(gè)質(zhì)數(shù)本身之外的所有倍數(shù)的方法，叫做“篩法”，它是數(shù) 論中有著廣泛應(yīng)用的一個(gè)初等方法。由于小學(xué)用到的質(zhì)數(shù)比較少， 所以教材中只要求學(xué)生找出 100以內(nèi)的

8、所有質(zhì)數(shù)。這些質(zhì) 數(shù)不必要求學(xué)生都背熟，但是熟悉20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)還是必要的。例2:探索兩數(shù)之和的奇偶性例2是以探索兩數(shù)之和的奇偶性為例，讓學(xué)生在探究過程中獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，豐富解決問題的策略。教材根據(jù)奇數(shù)、偶數(shù)相加的三種情況，提出了三個(gè)問題?！伴喿x與理解”環(huán)節(jié)給出了三個(gè)問題的一種表征方式，即用算式表示?！胺治雠c解答”環(huán)節(jié)提示了三種獲取結(jié)論的方法，即舉例、說理、圖示。事實(shí)上，這三種方法結(jié)合使用，可以提高結(jié)論的可靠性，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)結(jié)論的理解和確信感?！盎仡櫯c反思”環(huán)節(jié)給出了用大數(shù)試一試的檢驗(yàn)方法，并提出問題，請(qǐng)學(xué)生思考其他的驗(yàn)證方法。也就是啟發(fā)學(xué)生加減法的關(guān)系想到：如果“奇數(shù)M禺?dāng)?shù)=奇數(shù)”是對(duì)的，那

9、么一定有“奇數(shù)一奇數(shù) =偶數(shù)”數(shù)奇數(shù)一偶數(shù)=奇數(shù)”。這 樣既驗(yàn)證和的奇偶性，又獲得了差的奇偶性的結(jié)論。作為教師必須清楚，舉例驗(yàn)證本質(zhì)上只 是不完全歸納，不是證明。本單元的教學(xué)重點(diǎn)是： 因數(shù)和倍數(shù)的概念；2、5、3的倍數(shù)的特征；質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念。 教學(xué)難點(diǎn)是概念之間的和區(qū)別， 在建立概念、運(yùn)用概念的過程中，逐步發(fā)展數(shù)學(xué)的抽象能力 與推理能力。因數(shù)與倍數(shù)重難點(diǎn)突破、因數(shù)和倍數(shù)的概念突破建議:1,引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上理解概念，同時(shí)結(jié)合具體的例子降低難度，避免死記硬背。因數(shù)和倍數(shù)是最基本的兩個(gè)概念，只有真正理解了它們的含義，后面的概念理解才會(huì)水到渠成。教材從整除的本質(zhì)出發(fā)， 給出了 9個(gè)除法算式，放手讓學(xué)

10、生根據(jù)自己的理解將除法算式進(jìn)行 分類。學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)分成三類的現(xiàn)象，即將類似于8+3=22和9+ 5=1.8各分為一類。此處，教師應(yīng)該讓學(xué)生討論， 為什么商是小數(shù)沒有余數(shù)、商是整數(shù)有余數(shù)這兩種情況應(yīng)歸為一類？讓學(xué)生理解，其實(shí)例如9+ 5=1.8這樣商是小數(shù)沒有余數(shù)的除法算式，可以寫成這樣的9+5=14商是整數(shù)有余數(shù)的除法算式。因此，應(yīng)該將它們歸為一類。然后順利過渡 到因數(shù)和倍數(shù)。2.引導(dǎo)學(xué)生明確因數(shù)和倍數(shù)這一概念的前提與概念間的相互依存性。教學(xué)時(shí)，應(yīng)該使學(xué)生明確：（1）因數(shù)和倍數(shù)這一概念的前提是被除數(shù)、除數(shù)、商都是大于0的自然數(shù)。（2）因數(shù)與倍數(shù)概念間的相互依存性，因數(shù)、倍數(shù)都不能單獨(dú)存在，在

11、描述因數(shù)和倍數(shù)的時(shí)候必須說清楚誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)。及時(shí)糾正“2是因數(shù)，12是倍數(shù)”這樣的說法。至于辨析“倍數(shù)”和以前所學(xué)習(xí)的“幾倍”，可以放在學(xué)生對(duì)因數(shù)與倍數(shù)有了較為全面深刻的認(rèn)識(shí)之后再來具體比較，這樣不容易混淆，也有利于學(xué)生的鞏固。二、2、5、3倍數(shù)的特征突破建議：.讓學(xué)生自主探究、合作交流，從而獲得新知。教材提供了百數(shù)表，讓學(xué)生通過圈數(shù)、 觀察、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)，最后陳述 2、5、3的倍數(shù)的特征。由于 5、2的倍數(shù)的特征比較明顯， 學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，所以放手讓學(xué)生自主探究，效果應(yīng)該比較好。 再由2的倍數(shù)引出了奇數(shù)和偶數(shù)，其實(shí)這些數(shù)對(duì)學(xué)生來說并不陌生，只是在稱呼上與以往所接觸的有所不同。因此

12、，為了使學(xué)生更好地掌握奇數(shù)和偶數(shù)的概念，這里的教學(xué)可以試著和生活中的奇數(shù)和偶數(shù)的應(yīng)用結(jié)合起來。例如，打開數(shù)學(xué)課本，左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)等。.打破思維定式，改變觀察角度，重新探索。受到2、5的倍數(shù)的特征的影響，學(xué)生會(huì)觀察3的倍數(shù)的個(gè)位上是否存在特征，結(jié)果發(fā)現(xiàn)沒有什么規(guī)律，從而產(chǎn)生了認(rèn)知沖突。因此, 教學(xué)時(shí)教師應(yīng)該結(jié)合例 2 (2)的指導(dǎo)語中的兩個(gè)問題，使學(xué)生明確，原來的經(jīng)驗(yàn)失效了， 必須改變觀察的角度，重新探索。然后讓學(xué)生獨(dú)立觀察圈起來的數(shù)的分布，試著斜著看。盡管發(fā)現(xiàn)各位上的數(shù)的和的特征確實(shí)比較困難，但教師還是得耐心地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：十位上的數(shù)依次減少1,個(gè)位上的數(shù)依次增加 1,但相加的和不變。

13、從而繼續(xù)觀察發(fā)現(xiàn)其他斜行。三、質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念突破建議:.注重概念的形成過程。教學(xué)時(shí)，可以先復(fù)習(xí)因數(shù)的概念，再讓學(xué)生找出120各數(shù)的所有因數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生觀察這些數(shù)的因數(shù)有什么不同，可以怎么分類。引導(dǎo)學(xué)生將注意點(diǎn)集中在因數(shù)的個(gè)數(shù)上，而且1和它本身也比較特殊， 在分類的基礎(chǔ)上，引出質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念。說明只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，有兩個(gè)以上因數(shù)的數(shù)叫做合數(shù)，1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。為鞏固概念，教師可以請(qǐng)個(gè)別學(xué)生出示幾個(gè)數(shù)，讓學(xué)生判斷是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，也可以由學(xué)生自己分別寫出幾個(gè)質(zhì)數(shù)和幾個(gè)合數(shù)，然后同桌交流，以此鞏 固對(duì)質(zhì)數(shù)合數(shù)的概念的理解。.讓學(xué)生自主選擇方法， 制作質(zhì)數(shù)表。教學(xué)時(shí)，首先給學(xué)

14、生一個(gè)明確的任務(wù)，找到100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)。然后放手讓學(xué)生自己去嘗試，可以處理得開放些。通過獨(dú)立思考，再小組討論，明確有哪幾種方法，再各自實(shí)踐。也可以讓學(xué)生先看書，理解課本介紹的兩種方法，然后學(xué)生根據(jù)自己的喜好，再選用其中之一進(jìn)行實(shí)踐。學(xué)生一般都會(huì)先用“篩法”（也就是我們平常所說的“排除法”），畫完后，還可以讓學(xué)生體會(huì)一下畫到幾的倍數(shù)就可以了。因數(shù)與倍數(shù)課標(biāo)要求義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（20 XX年版）在“學(xué)段目標(biāo)”的“第二學(xué)段” 中提出：“在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有 條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果”“會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)一些數(shù)學(xué)的基本思想” “經(jīng)歷

15、與他人合作交流解決問題的過程， 嘗試解釋自己的思 考過程” “能回顧解決問題的過程，初步判斷結(jié)果的合理性”“在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問題的過程中，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值”。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（20XX年版）在“課程內(nèi)容”的“第二學(xué)段” 中提出：“知道2, 3, 5的倍數(shù)的特征” “在1 100的自然數(shù)中，能找出10 以內(nèi)自然數(shù)的所有倍數(shù)” “了解自然數(shù)、整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)（素）數(shù)和合數(shù)”因數(shù)與倍數(shù)課標(biāo)解讀、課標(biāo)要求義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（20 XX年版）在“學(xué)段目標(biāo)”的“第二學(xué)段” 中提出：“在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有 條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)

16、果”“會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)一些數(shù)學(xué)的基本思想” “經(jīng)歷與他人合作交流解決問題的過程， 嘗試解釋自己的思 考過程” “能回顧解決問題的過程，初步判斷結(jié)果的合理性”“在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問題的過程中，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值”。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（20XX年版）在“課程內(nèi)容”的“第二學(xué)段” 中提出：“知道2, 3, 5的倍數(shù)的特征” “在1 100的自然數(shù)中，能找出10 以內(nèi)自然數(shù)的所有倍數(shù)” “了解自然數(shù)、整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)（素）數(shù)和合數(shù)”、課標(biāo)解讀結(jié)合義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（20XX年版）中提出的學(xué)段目標(biāo)和課標(biāo)內(nèi) 容，教師在本單元教學(xué)中要著重做好以下幾方面的工作：（一）注重概念的建立，關(guān)注由具體到抽象

17、、由特殊到一般的概括、歸納過 程本單元中概念的建立，多需要經(jīng)歷由具體到一般的抽象概括過程。只有將概念融入到具體的例子中，學(xué)生才能較為容易的理解和掌握。 例如，因數(shù)與倍數(shù)的 概念的建立，首先是觀察9個(gè)除法算式，找出它們的異同，然后在分類的基礎(chǔ)上， 抽象概括出其中一類具有“商是整數(shù)而沒有余數(shù)”的共同屬性。由整除的本質(zhì)， 過渡到因數(shù)和倍數(shù)的概念。再結(jié)合具體的實(shí)例，表明因數(shù)和倍數(shù)的相互依存性。又如，通過一些具體的例子，總結(jié)出任何一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的， 而倍數(shù) 的個(gè)數(shù)是無限的等規(guī)律性的認(rèn)識(shí)。這些過程，對(duì)于學(xué)生逐步形成抽象概括與歸納 推理能力，都是非常有益的。（二）加強(qiáng)對(duì)概念間相互關(guān)系的梳理，促進(jìn)學(xué)

18、生從本質(zhì)上理解與記憶概念由于這部分內(nèi)容較為抽象，而且所涉及到的概念又多，有些概念如質(zhì)數(shù)與合 數(shù)，很難結(jié)合兒童生活的實(shí)例詮釋其意義， 因此學(xué)生理解起來有一定的難度。 相 應(yīng)的教學(xué)對(duì)策之一，就是加強(qiáng)概念間相互關(guān)系的梳理，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上理解概 念，避免死記硬背。例如，因數(shù)和倍數(shù)是兩個(gè)最基本的概念，理解了因數(shù)和倍數(shù)的含義，就容易 理解一個(gè)數(shù)的最小因數(shù)是1,最大因數(shù)是它本身，所以一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)一定是 有限的；一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是它本身，乘 1,乘2,乘3可以無限進(jìn)行下去， 所以一個(gè)數(shù)的倍數(shù)個(gè)數(shù)必然是無限的，因此沒有最大的倍數(shù)。又如，偶數(shù)、奇數(shù)概念是由倍數(shù)概念引出的，質(zhì)數(shù)、合數(shù)概念是由因數(shù)概念 引出的，這些概念之間有著直接的關(guān)聯(lián)。 以是否是2的倍數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，可以將自然 數(shù)分為偶數(shù)、奇數(shù)兩類；以所含因數(shù)的個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，可以將大于0的自然數(shù)分為 1、質(zhì)數(shù)、合數(shù)三類。這些認(rèn)識(shí)，能夠有效地幫助學(xué)生將所學(xué)概念串聯(lián)起來，形 成概念鏈，從而依靠理解來促進(jìn)記憶。