量子力學(xué)入門

1、量子力學(xué)入門維爾納海森堡和埃爾溫薛定諤，量子力學(xué)的兩位奠基人。量子力學(xué)（英語：Quantum Mechanics，或稱量子論）是描述微觀物質(zhì)（原子，亞原子粒子）行為的物理學(xué)理論，量子力學(xué)是我們理解除萬有引力之外的所有基本力（強(qiáng)相互作用，電磁相互作用，弱相互作用，引力相互作用）的基礎(chǔ)（關(guān)于引力的量子力學(xué)理論請參見“量子引力”）。量子力學(xué)是許多物理學(xué)分支的基礎(chǔ)，包括電磁學(xué)，粒子物理，凝聚態(tài)物理，以及宇宙學(xué)的部分內(nèi)容。量子力學(xué)也是化學(xué)鍵理論（因此也是整個化學(xué)的基礎(chǔ)），結(jié)構(gòu)生物學(xué)以及電子學(xué)，信息技術(shù)，納米技術(shù)等學(xué)科的基礎(chǔ)。一個世紀(jì)以來的實驗和實際應(yīng)用已經(jīng)充分證明了量子力學(xué)的成功和實用價值。量子力學(xué)始于

2、20世紀(jì)初馬克斯普朗克和尼爾斯玻爾的開創(chuàng)性工作，馬克斯玻恩于1924年創(chuàng)造了“量子力學(xué)”一詞。因其成功的解釋了經(jīng)典力學(xué)無法解釋的實驗現(xiàn)象，并精確地預(yù)言了此后的一些發(fā)現(xiàn)，物理學(xué)界開始廣泛接受這個新理論。量子力學(xué)早期的一個主要成就是成功地解釋了波粒二象性，此術(shù)語源于亞原子粒子同時表現(xiàn)出粒子和波的特性。量子力學(xué)已經(jīng)滲透到了比廣義相對論更廣泛的應(yīng)用范圍，來源請求比如微觀領(lǐng)域（原子或亞原子），高能或低能狀態(tài)以及超低溫狀態(tài)。1第一個量子理論普朗克和黑體輻射 鐵匠房里的高溫金屬加工品。橘黃色的光芒是物體因高溫而發(fā)射出的熱輻射之中看得見的那一部分。圖片中每一樣物品同樣以熱輻射形式散發(fā)著光芒，但亮度不足，且肉眼

3、看不見較長的波長。遠(yuǎn)紅外線攝影機(jī)可捕捉到這些輻射。熱輻射即物體因其自身溫度而從物體表面發(fā)射出來的電磁輻射。如果有一個物體經(jīng)過充分加熱以后，會開始發(fā)射出光譜中紅色端的光線而變得火紅。再進(jìn)一步加熱物體時會使顏色發(fā)生變化，發(fā)射出波長較短（頻率較高）的光線。而且這個物體既可以是完美的發(fā)射體，同時也可以是完美的吸收體。當(dāng)物體處于冰冷狀態(tài)時，看起來是純粹的黑色，此時物體幾乎不會發(fā)射出可見光，而且還會吸納落在物體上的光線。這個理想的熱發(fā)射體就被視為黑體，而黑體發(fā)出的輻射就稱為黑體輻射。2在19世紀(jì)末期，熱輻射在實驗上已有相當(dāng)清晰的描述。維恩位移定律指出輻射最強(qiáng)處的波長，斯特藩-玻爾茲曼定律指出每一單位面積發(fā)

4、射出的總能量。當(dāng)溫度逐步遞增時，光的顏色會從紅色轉(zhuǎn)成黃色，再轉(zhuǎn)成白色、藍(lán)色。當(dāng)峰值波長移向紫外線時，藍(lán)色波長中仍有足夠的輻射會發(fā)射出來，使物體持續(xù)顯現(xiàn)成藍(lán)色。物體絕對不會變得看不見，可見光的輻射會以單調(diào)形式逐步增強(qiáng)。1所有頻率段所發(fā)射的輻射量都會增強(qiáng)，但較短波長處的增強(qiáng)幅度相對要大的多，因此在強(qiáng)度分布里的峰值就會移向較短的波長。 不同溫度下的黑體所輻射出的總能量和峰值波長。經(jīng)典電磁理論過份高估增強(qiáng)幅度，特別是短波長的部分。瑞利金斯定律符合實驗數(shù)據(jù)中的長波長部分。但在短波長部分，經(jīng)典物理預(yù)測熾熱物體所發(fā)射出的能量會趨于無窮大。這個被稱為紫外災(zāi)難的結(jié)果顯然是錯的。3第一個能夠完整解釋熱輻射光譜的模

5、型是由馬克斯普朗克于1900年提出的普朗克把熱輻射建立成一群處于平衡狀態(tài)的諧振子模型。為了符合實驗結(jié)果，普朗克不得不假設(shè)每一個諧振子必定以自身的特征頻率為能量單位的整數(shù)倍，而不能隨意發(fā)射出任意量的能量。也就是說，每一個諧振子的能量都經(jīng)過“量子化”。每一個諧振子的能量量子與諧振子的頻率成一比例，這個比例常數(shù)就稱為普朗克常數(shù)。普朗克常數(shù)的符號為h，其值為 6.631034 J s，頻率f的諧振子能量E為 此處普朗克定律是物理學(xué)中第一個量子理論，也使普朗克榮獲1918年的諾貝爾獎“為表揚(yáng)普朗克對于能量量子的發(fā)現(xiàn)和促使物理學(xué)進(jìn)步的貢獻(xiàn)”。但當(dāng)時普朗克認(rèn)為量子化純粹只是一種數(shù)學(xué)把戲，而非（我們今日所知的

6、）改變了我們對世界的理解的基本原理。41690年，惠更斯提出了光的波動學(xué)說用以解釋干涉和折射現(xiàn)象，7而艾薩克牛頓堅信光是由極其微小的粒子構(gòu)成的，他把這種粒子叫作“光子（corpuscles）”。由于牛頓本人的高度權(quán)威，微粒說在很長的一段時間占據(jù)著上風(fēng)，1827年，托馬斯楊和奧古斯丁菲涅耳用實驗證明了光存在干涉現(xiàn)象，這是和“微粒說”不相容的。隨著波動學(xué)說的數(shù)學(xué)理論逐漸完善，到19世紀(jì)末，無論是實驗還是理論上，牛頓的理論都失去了以往的地位。1874年，喬治強(qiáng)斯頓史東尼 首次提出了電荷的概念，它是帶電體的基本量，不能再被拆分成更小的部分。電荷也就成為了第一個被量子化的物理量。1873年，詹姆斯克拉克

7、麥克斯韋給出了著名的麥克斯韋方程，在理論上證明振蕩的電路能夠產(chǎn)生電磁波，這使得純粹的通過電磁測量手段來測量電磁波的速度成為了可能。而測量結(jié)果顯示電磁波的速度非常的接近于光速。也就是說，光也是一種電磁波。亨里克赫茲制作了一個能夠產(chǎn)生低于可見光頻率的電磁波（現(xiàn)在我們稱之為微波）的儀器。早期研究的爭議在于如何解釋電磁輻射的本質(zhì)，一些人認(rèn)為這是因為其的粒子性，而另一些人宣稱這是一種波動現(xiàn)象。在經(jīng)典物理里，這兩種思想是完全相悖的。5不久之后的一些實驗現(xiàn)象如光電效應(yīng)，只能把光看作“一份一份”的或是將其量子化才能得到合理的解釋。當(dāng)光照射在金屬表面，電子會離開初始位置逸出。這種現(xiàn)象的一些特點(diǎn)只能在光的能量不連

8、續(xù)的假設(shè)下才能被合理解釋。在一個光電設(shè)備（照相機(jī)的曝光表等），光照射在金屬感應(yīng)器表面使得電子逸出。增加光的強(qiáng)度（同一頻率的光）能夠讓更多的電子逸出。而如果想要使電子的速度更快也就是動能更大，必須增加光的頻率。因此，光強(qiáng)只決定了光電流的大小，也可以說是電路中電壓的大小。這個現(xiàn)象和傳統(tǒng)的波動模型相悖，因為傳統(tǒng)模型是源自對聲波和海洋波的研究，這個模型的結(jié)論是，振動源的初相位也就是強(qiáng)度大小決定了所產(chǎn)生波的能量大小。同時，如何讓表現(xiàn)出光的粒子性和波動性的實驗現(xiàn)象和諧共處的問題，也擺在了物理學(xué)家的面前。6從光譜學(xué)開始的突破當(dāng)一束白光通過光學(xué)棱鏡，光柵，錐面鏡或者是雨后的彩虹時，它就被分解成了各種顏色的光。

9、這樣的光譜說明了，白光是由所有頻率的有色光組成的。在受熱或者是受某種能量激發(fā)時，由單一元素組成的樣品能夠輻射出可見光，它的光譜被稱為放射光譜。光譜和元素的種類以及外界加熱的溫度有關(guān)。和白光的光譜不同，這種光譜是間斷的，并不是從紫色到紅色連續(xù)出現(xiàn)每種顏色，而是分別形成了一些具有不同顏色的窄帶（亮線），窄帶與窄帶之間存在黑色暗帶，這就是所謂的“線狀光譜”。放射光譜的譜線能夠超出可見光的范圍，我們能使用特殊的照相設(shè)備和電子設(shè)備檢測到它們。7最初，人們認(rèn)為原子電磁輻射的模式是類似于小提琴的一根弦“輻射”出聲波那樣的-不僅僅只有一種基本頻率（整個弦一起在最低頻率振動，同時向一個方向運(yùn)動），還應(yīng)該有高頻諧

10、波（頻率是基頻的整數(shù)倍，弦上不同的地方位移可能相反，類似于正弦波）的成分。但如何用數(shù)學(xué)語言簡潔合理的描述某種元素的譜線分布一直困擾著人們，直到1885年，才由約翰雅各布巴耳末給出了一個簡單的公式來描述氫原子的譜線，如下： 表示波長, R是里德伯常量，而n 是大于2的整數(shù) 這個公式還能推廣到適用于別的一些元素的原子光譜，但這不是關(guān)鍵的，我們感興趣的是，為何第一個分?jǐn)?shù)的分母是一個整數(shù)的平方？8進(jìn)一步的發(fā)展便是彼得塞曼發(fā)現(xiàn)了塞曼效應(yīng)，隨后亨得里克洛侖茲給出了其物理解釋（兩人一起獲得了1902年諾貝爾物理學(xué)獎）。洛倫茲假設(shè)氫原子的譜線是由電子躍遷產(chǎn)生的，這很容易由對原子本身的分析得到。由于運(yùn)動的電子會

11、產(chǎn)生電磁場，因此電子的行為就能夠被外磁場所影響，就像磁鐵之間互相吸引一樣。若假設(shè)電子在特定的不同的軌道上躍遷時向外輻射電磁波而形成譜線，賽曼效應(yīng)就得到了合理的解釋。但經(jīng)典物理做不到這些，它不能告訴我們電子為何不螺線狀墜入原子核，不能告訴我們?yōu)楹卧拥能壍烙休椛渥V線需要的性質(zhì)來描述巴爾末公式，不能告訴我們?yōu)槭裁措娮拥墓庾V都不是連續(xù)的。而這一切，都預(yù)示著，變革即將到來。9普朗克常數(shù)經(jīng)典物理有一個關(guān)于黑體輻射問題的推論：當(dāng)頻率增大時，黑體輻射將會釋放出無限大的能量（瑞利-金斯定律）。這個結(jié)論當(dāng)然是荒謬的，可觀測到的實驗現(xiàn)象也是讓人無法理解：黑體的輻射光譜的能量密度隨著頻率從零開始遞增達(dá)到一個峰值（峰

12、值頻率和輻射源的溫度有關(guān)）后再逐漸衰減至零。1900年，馬克斯普朗克給出了一個能夠解釋黑體光譜實驗現(xiàn)象的經(jīng)驗公式（利用數(shù)學(xué)插值法），但他不能使之和經(jīng)典物理相協(xié)調(diào)。 他得出的結(jié)論是，和從前大家所普遍相信的不一樣，經(jīng)典物理并不適用于微觀世界。10普朗克的公式適用于任意的波長和頻率的情況下，同時限制了發(fā)散的能量傳輸?！霸诮?jīng)典物理里，.振動的能量僅僅取決于其振幅，而振幅的大小是沒有任何限制的?！?9 他的理論導(dǎo)出了一個重要推論，輻射的能量和輻射的頻率成正比關(guān)系，頻率越高，能量越大。為了解釋這個推論，他做了這樣的假設(shè)：宏觀的輻射源（如黑體）是由數(shù)量巨大的基本諧振子構(gòu)成的，振子的頻率在零到無窮大之間分布（

13、不久以后證實了這種基本諧振子就是原子或分子），于是普朗克做了更進(jìn)一步的假設(shè)：任一振子的能量“E”和它的頻率“f”成正比，而且是某種整倍數(shù)關(guān)系。如下所示： 在此式里，n =1, 2, 3,.。“h”由普朗克首先引入的是基本物理學(xué)常數(shù)，為了紀(jì)念他的功績，被命名為“普朗克常數(shù)”。20 h 是一個非常小的量, 大約是 6.6260693 10-34 焦耳-秒。如果我們知道“h”和光子的頻率，就能用這個方程計算出光子的能量。 給出一個例子：如果一束光的頻率是540 1012 赫茲。那么這束光的每一個光子的能量就是“h” （5401012 hertz）。因此光子的能量就是3.58 10-19 焦, 就是大

14、約2.23 電子伏特。11在早期關(guān)于光的研究中，存在對光的兩種相互競爭的描述方式：作為波在真空中傳播，或是作為微小粒子沿直線傳播。普朗克表述了光的能量是量子化的，凸顯出了它的粒子性。這種表述讓我們明白了光是如何以量子化形式傳播能量的。但是，光的波動性又是我們理解衍射和干涉之類的現(xiàn)象所必須的。1905年，愛因斯坦引入普朗克常量來解釋光電效應(yīng)而獲得成功，他假設(shè)一束光是由大量的光量子（也就是后來的光子）組成的，21在這個前提下，一個光子具有的能量是不變的且和其頻率成正比關(guān)系（不同的光子具有不同的能量）。盡管這個建立在普朗克量子化假設(shè)上的理論聽起來類似于牛頓的微粒學(xué)說，但愛因斯坦的光子同時還具有頻率這

15、種性質(zhì)，其能量還和頻率成正比，這是和過去不一樣的，但無論如何，光的“粒子說”以一種折中的方式回來了。12粒子和波的概念都源自于我們?nèi)粘Ｉ钪械慕?jīng)驗。我們不看“看見”單獨(dú)的光子（事實上我們的觀測就是利用光子來進(jìn)行的），我們只能間接的觀察它們的一些性質(zhì)。比如我們從表面覆蓋著油膜的水坑里看見光反射出各種顏色。把光看做某種波，我們能解釋這種現(xiàn)象。23而對于其它一些現(xiàn)象，比如照相機(jī)中的曝光表的工作原理，我們又習(xí)慣把光看做某種和感光屏相撞的粒子。無論是哪種方式，我們都是在用日常生活中由經(jīng)驗得到的一些概念來描述那一個我們永遠(yuǎn)無法直接看到或者感知到的世界。當(dāng)然，無論是波動說或者粒子說都不能讓人完全滿意。總的來

16、說，任何一種模型都只是對實際情形的近似描述。每一種模型都有它適用的范圍，超出這個范圍后，該模型也許就不能作出精確的描述了。牛頓力學(xué)對于我們的宏觀世界來說仍是足夠?qū)嵱玫?。我們?yīng)該認(rèn)識到波和粒子的概念都是源自于我們的宏觀世界的，我們用它們來解釋微觀世界在一定程度上并不合理。有些物理學(xué)家，比如班尼旭霍夫曼使用了“波粒二象性”來描述這種微觀世界的“實在”，而在接下來的討論中，使用“波”還是“粒子”將取決于我們從哪個方向去研究量子力學(xué)的現(xiàn)象。13約化普朗克常數(shù)（狄拉克常數(shù)）普朗克常數(shù)最初只是連接光的能量和頻率的比例因子。波爾在他的理論中推廣了這個概念。波爾用原子的行星模型來描述電子的運(yùn)動，但起初他并不理解為何2和普朗克常數(shù)一起出現(xiàn)在了他推導(dǎo)出的數(shù)學(xué)表述中。不久之后，