利用矩陣?yán)碚撛敿?xì)推導(dǎo)MIMO信道容量

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè) MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 2 Section 2 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 2 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap r 2 h * MERGEFORMAT 利用矩陣?yán)碚撛敿?xì)推導(dǎo)MIMO信道容量摘要 多輸入多輸出(MIMO)技術(shù)被認(rèn)為是現(xiàn)代通信技術(shù)中的重大突破之一，以其能極大增加系統(tǒng)容量與改善無(wú)線(xiàn)鏈路質(zhì)量的優(yōu)點(diǎn)而受到了越來(lái)

2、越多的重視與關(guān)注。通信信道容量是信道進(jìn)行無(wú)失真?zhèn)鬏斔俾实纳辖?，因此研究MIMO的信道容量具有巨大的指導(dǎo)意義。本文把矩陣?yán)碚撝R(shí)與MIMO技術(shù)信道容量中的應(yīng)用緊密結(jié)合，首先建立了MIMO信道模型，利用信息論理論和矩陣?yán)碚撛敿?xì)推導(dǎo)出MIMO信道容量。并得出重要結(jié)論。關(guān)鍵詞： MIMO；信道容量；奇異值分解引言MIMO Multiple Input-Multiple Output)是指在通信鏈路的發(fā)送端與接收端均使用多個(gè)天線(xiàn)元的傳輸系統(tǒng),它能夠?qū)鹘y(tǒng)通信系統(tǒng)中存在的多徑因素變成對(duì)用戶(hù)通信性能有利的因素,從而成倍地提高業(yè)務(wù)傳輸速率。矩陣?yán)碚撛谕ㄐ牛詣?dòng)控制等工程領(lǐng)域里應(yīng)用廣泛，而通信的難點(diǎn)在于信道的處

3、理，因此，矩陣?yán)碚撆c無(wú)線(xiàn)信道的研究是一個(gè)很好的切入點(diǎn)。目前，MIMO技術(shù)的信道容量和空時(shí)編碼，空時(shí)復(fù)用等技術(shù)都離不開(kāi)矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用。利用矩陣?yán)碚撛敿?xì)推導(dǎo)MIMO信道容量MIMO信道介紹MIMO是多輸入多輸出系統(tǒng)，當(dāng)發(fā)送信號(hào)所占用的帶寬足夠小的時(shí)候，信道可以被認(rèn)為是平坦的，這樣，MIMO系統(tǒng)的信道用一個(gè)的復(fù)數(shù)矩陣描述，的子元素表示從第根發(fā)射天線(xiàn)到第根接收天線(xiàn)之間的空間信道衰落系數(shù)1。如下圖所示： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2

4、. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)每個(gè)符號(hào)周期內(nèi)，發(fā)送信號(hào)可以用一個(gè)的列向量表示，其中表示在第i個(gè)天線(xiàn)上發(fā)送的數(shù)據(jù)。同時(shí)，用一個(gè)的列向量表示，其中表示在第i個(gè)天線(xiàn)上發(fā)送的數(shù)據(jù)。對(duì)于高斯信道,發(fā)射信號(hào)的最佳分布也是高斯分布1。因此,的元素是零均值獨(dú)立同分布的高斯變量。發(fā)送信號(hào)的協(xié)方差可以表示為： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERG

5、EFORMAT 2)發(fā)送信號(hào)的功率可以表示為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 3)接收信號(hào)和噪聲可以分別用兩個(gè)的列向量y和n表示。其中信道噪聲是加性噪聲，服從循環(huán)對(duì)稱(chēng)復(fù)高斯分布，并且與發(fā)射信號(hào)不相關(guān)，假設(shè)n均值為0，功率為。噪聲的協(xié)方差為： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEF

6、ORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 4)通過(guò)這樣一個(gè)線(xiàn)性模型，接收信號(hào)可以表示為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 5)?接收信號(hào)的協(xié)方差可表示為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ M

7、TEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 6)因?yàn)閤與噪聲n不相關(guān)，所以。MIMO信道容量一般公式推導(dǎo) 下面根據(jù)信息論知識(shí)，我們對(duì)MIMO信道容量做一般性推導(dǎo)。在下面的推導(dǎo)過(guò)程中我們假設(shè)信道矩陣在接收端已經(jīng)完全已知，但是它是隨機(jī)的，因此我們可以得到瞬時(shí)信道容量為：1 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MER

8、GEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 7)其中，是在已知信道的情況下輸入與輸出之間的互信息量，有： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 8)其中，是y的信息熵（微分熵），定義：，其中是的概率（概率密度）。是的差分嫡，是給定條件下的差分嫡，由于發(fā)送信號(hào)與噪聲之間是獨(dú)立的，因此有1，所以上式可以重新寫(xiě)為：

9、MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 9)由于噪聲概率密度函數(shù)確定，所以為定值，當(dāng)信道為加性高斯信道時(shí)，信源服從高斯分布時(shí)此時(shí)接收信號(hào)也服從高斯分布，根據(jù)信息論理論，此時(shí)取最大，即為信道容量。此時(shí)和的信息熵分別為：1 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTS

10、ec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 10) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 11)所以我們可以得到信道瞬時(shí)交互信息，也即信息容量為： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT

11、( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 12)工程中一般定義信道容量為單位時(shí)間內(nèi)的平均互信息，故定義MIMO的信道容量：2 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 13)其中T為一個(gè)符號(hào)周期，根據(jù)采樣定理，其中B為信號(hào)帶寬，取，代入（2.13）式，得：2

12、 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 14)這即是MIMO的信道容量一般公式。奇異值分解計(jì)算MIMO信道容量對(duì)于MIMO無(wú)線(xiàn)信道，信道是極其復(fù)雜的。因此原始的信道矩陣也就顯得復(fù)雜，不便于分析，而且一般矩陣不經(jīng)過(guò)處理計(jì)算行列式很困難。這就自然想到在信源端對(duì)發(fā)射信號(hào)做某種預(yù)處理，使得經(jīng)過(guò)預(yù)處理的信號(hào)經(jīng)過(guò)的信道變得簡(jiǎn)單易分析，而且具體實(shí)現(xiàn)也變得簡(jiǎn)單。對(duì)于信道矩陣來(lái)

13、說(shuō)，對(duì)角矩陣是最簡(jiǎn)單的，所以自然就想到把信道矩陣分解，利用矩陣?yán)碚撝械钠娈愔捣纸饪梢赃_(dá)到這種目的。下面就矩陣的奇異值分解來(lái)計(jì)算MIMO的信道容量。由奇異值分解理論,任何一個(gè)的矩陣可以寫(xiě)成：3 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 15)式中，是的對(duì)角陣，其對(duì)角非零元素模值為的正奇異值，和分別為和的酉矩陣。把公式（2.15）代入公式（2.5），得： MACROB

14、UTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 16)公式（2.16）兩邊同時(shí)左乘酉矩陣，利用，同時(shí)令，即對(duì)信源信號(hào)進(jìn)行預(yù)編碼，得：3 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic

15、* MERGEFORMAT 17)根據(jù)矩陣?yán)碚?，矩陣的特征值為非?fù)數(shù)，非零特征值的個(gè)數(shù)等于矩陣的秩，用r表示，對(duì)于的矩陣，秩的最大值，用表示矩陣的奇異值，將代入公式（2.17）得： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 18) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SE

16、Q MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 19)式（2.19）顯示，接收元素并不依賴(lài)于發(fā)射信號(hào)，即信道增益為零。另一方面,接收元素僅僅取決于發(fā)射元素，因此,可以認(rèn)為,通過(guò)式（2.18）和（2.19）得到的等效MIMO信道是由個(gè)去耦平行子信道組成的4。其信道增益為矩陣的奇異值。可以進(jìn)一步推導(dǎo)出，和的協(xié)方差和跡： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEF

17、ORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 20) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 21)對(duì)于接收端已知信道參數(shù)，發(fā)射端未知，發(fā)射端平均分配功率的MIMO系統(tǒng)。設(shè)發(fā)射端發(fā)射總功率為，則每個(gè)天線(xiàn)發(fā)射功率為，此時(shí) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h *

18、MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 22)根據(jù)式（2.20）得： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 23)然后把根據(jù)（2.15）算出后和（2.23）代入MIMO信道一般公式（2.14）得： MACROBUTTON MTP

19、laceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 24)式（2.24）可以看出,MIMO鏈路的信道容量很大程度上取決于H的秩r。矩陣的秩越大，容量也越大。所以，MIMO正是利用無(wú)線(xiàn)信道的多徑效應(yīng)使相距超過(guò)半個(gè)波長(zhǎng)的天線(xiàn)盡量不相關(guān)，從而使信道矩陣秩越大，進(jìn)而在不增加帶寬和發(fā)射功率的情況下增加系統(tǒng)容量。4下面我們說(shuō)明信道容量是如何與信道矩陣H相關(guān)的。令為矩陣H的秩，定義： MACROBUTTON MTPl

20、aceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 25)設(shè)是Q的特征值，則： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 26)用代替（2.26）中的，得： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec