三角形中的邊角關(guān)系和面積公式

1、三角形中的邊角關(guān)系和面積公式1.常用的三角形面積公式（1）（分別是ABC中a、b、c邊上的高）；（2）（三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半）.2.如圖所示，在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，分別為a、b、c邊上的高，R、r分別為ABC的外接圓、內(nèi)切圓的半徑，則ABC的面積公式如下：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.鞏固練習(xí)1在ABC中，A120，AC2，ABC的面積為23，則BC邊的長(zhǎng)為（）A27B7C23D3【解答】解：在ABC中，A120，AC2，且ABC的面積為23，可得12ABACsinA=122AC32=23，解得AB4由余弦定理可得：B

2、C=AB2+AC2-2ABACcos120=4+16+8=27故選：A2在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，B=23，b23，b2+c2a2=3bc若BAC的平分線與BC交于點(diǎn)E，則AE（）A6B7C22D3【解答】解：因?yàn)閎2+c2a2=3bc，所以cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，因?yàn)锳（0，），所以A=6，因?yàn)锽=23，b23，所以CAB=6，由正弦定理，可得asin6=csin6=23sin23，解得ac2，因?yàn)锽AC的平分線與BC交于點(diǎn)E，所以BECE=ABAC=223，即CE=3BE，所以由BE+CEBE+3BE2，可得BE=23+1=3-1，在A

3、BE中，由余弦定理可得AE=AB2+BE2-2ABBEcosB=22+(3-1)2-22(3-1)cos23=6故選：A 3三角形ABC中，B=4，BC邊上的高等于14BC，則tanBAC（）A12B-12C2D2【解答】解：如圖所示，設(shè)ADx，則BDx，DC3x，所以AB=2x，AC=10 x，在ABC中，由余弦定理可得cosBAC=AB2+AC2-BC22ABAC=2x2+10 x2-16x222x10 x=-55，則sinBAC=1-cos2BAC=1-(-55)2=255，所以tanBAC=sinBACcosBAC=255-55=-2故選：D4在ABC中，B=34，BC邊上的高為BC長(zhǎng)

4、度的一半，則cosA（）A255B55C23D53【解答】解：如圖，BC邊上的高AD恰為BC邊長(zhǎng)的一半，即ADBD=a2AB=22a，在ABC中，由余弦定理得AC2AB2+BC22ABBCcosABC=52a2在ABC中，由正弦定理得：BCsinA=ACsinB，可得：sinA=15，A（0，4），可得：cosA=255故選：A5在ABC中，若sinA（sinB+cosB）sinC0，sinB+cos2C0，a4，則ABC的面積為（）A2+43B4+3C6+23D8+43【解答】解：由sinA（sinB+cosB）sinC0，sinAsinB+sinAcosBsin（A+B）0sinAsinB

5、+sinAcosBsinAcosBcosAsinB0sinB（sinAcosA）0B（0，），sinB0，從而cosAsinA由A（0，），知A=4，從而B+C=34由sinB+cos2C0，得sinB+cos2（34-B）0即sinBsin2B0可得sinB2sinBcosB0由此得cosB=12，B=3，C=512，a4，由正弦定理可得422=b32，可得b26，SABC=12absinC=12426sin512=46sin（6+4）6+23故選：C62020年新型冠狀病毒肺炎蔓延全國(guó)，作為主要戰(zhàn)場(chǎng)的武漢，僅用了十余天就建成了“小湯山”模式的火神山醫(yī)院和雷神山醫(yī)院，再次體現(xiàn)了中國(guó)速度隨著疫

6、情發(fā)展，某地也需要參照“小湯山”模式建設(shè)臨時(shí)醫(yī)院，其占地是由一個(gè)正方形和四個(gè)以正方形的邊為底邊、腰長(zhǎng)為400m的等腰三角形組成的圖形（如圖所示），為使占地面積最大，則等腰三角形的底角為（）A3B4C6D8【解答】解：設(shè)頂角為；由正弦定理可得4個(gè)等腰三角形的面積和為：412400400sin320000sin由余弦定理可得正方形邊長(zhǎng)為：4002+4002-2400400cos=4002-2cos；故正方形面積為：160000（22cos）320000（1cos）所以所求占地的面積為：320000（sincos+1）320000（2sin（-4）+1；當(dāng)-4=2=34時(shí)，占地面積最大，此時(shí)底角為：

7、-342=8故選：D7在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且BC邊上的高為36a，若sinCksinB，則當(dāng)k取最小值時(shí)，內(nèi)角A的大小為（）A2B6C3D23【解答】解：因?yàn)閟inCksinB，所以k=cb，不妨設(shè)cb，則k1，因?yàn)锽C邊上的高為36a，所以1236aa=12bcsinA，即a223bcsinA，由余弦定理a2b2+c22bccosA，所以b2+c223bcsinA+2bccosA，即bc+cb=23sinA+2cosA4sin（A+6），令t=bc+cb=k+1k，則t1-1k2，當(dāng)k1時(shí)，t0，所以t在1，+）上是增函數(shù)，當(dāng)k1時(shí)，t2，即4sin（A+6）2

8、，所以A+6=56，可得A=23故選：D8菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，A60，如果點(diǎn)P是菱形內(nèi)一點(diǎn)，且PB=PD=23，則線段AP的長(zhǎng)為（）A23B22C22或42D23或43【解答】解：當(dāng)P與A在BD的異側(cè)時(shí)：連接AP交BD于M，ADAB，DPBP，APBD（到線段兩端距離相等的點(diǎn)在垂直平分線上），在直角ABM中，BAM30，AMABcos3033，BMABsin303，PM=PB2-BM2=3，APAM+PM43；當(dāng)P與A在BD的同側(cè)時(shí)：連接AP并延長(zhǎng)AP交BD于點(diǎn)APAMPM23；當(dāng)P與M重合時(shí)，PDPB3，與PBPD23矛盾，舍去AP的長(zhǎng)為43或23故選：D9已知a，b，c分別為ABC內(nèi)角

9、A，B，C的對(duì)邊，bsinC22ccosB，b=3，則當(dāng)ABC的周長(zhǎng)最大時(shí)，ABC的面積為（）A324B334C934D32【分析】利用正弦定理將bsinC22ccosB中的邊化角，可得tanB，sinB和cosB的值，再結(jié)合余弦定理和基本不等式求得ac=94，而S=12acsinB，進(jìn)而得解【解答】解：由正弦定理，知bsinB=csinC，bsinC22ccosB，sinBsinC22sinCcosB，sinC0，sinB22cosB，即tanB22，sinB=223，cosB=13，由余弦定理知，b23a2+c22accosB（a+c）2-83ac（a+c）2-83(a+c2)2=13（a

10、+c）2，當(dāng)且僅當(dāng)ac=32時(shí)，等號(hào)成立，a+c3，此時(shí)ac=94，ABC的面積S=12acsinB=1294223=324故選：A10（多選）如圖，ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c若ab，且3（acosC+ccosA）2bsinB，D是ABC外一點(diǎn)，DC1，DA3，則下列說法正確的是（）AABC 是等邊三角形B若AC23，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓C四邊形ABCD面積最大值為532+3D四邊形ABCD面積最小值為532-3利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知等式可求sinB，再利用ab，可知ABC為等邊三角形，從而判斷A；利用四點(diǎn)A，B，C，D共圓，四邊形對(duì)角互補(bǔ)，從而判斷B；設(shè)ACx，

11、x0，在ADC中，由余弦定理可得x2106cosD，利用三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的，可求S四邊形ABCD，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出最值，判斷CD【解答】解：3（acosC+ccosA）2bsinB，3（sinAcosC+sinCcosA）2sinBsinB，即3sin（A+C）=3sinB2sinBsinB，由sinB0，可得sinB=32，B=3或23又abBCABACB=3，故A正確；若四點(diǎn)A，B，C，D共圓，則四邊形對(duì)角互補(bǔ)，由A正確知D=23，在ADC中，DC1，DA3，AC=DC2+DA2-2DCDAcos23=1323，故B錯(cuò)；等邊ABC中，設(shè)ACx，x0，在ADC中，由

12、余弦定理，得AC2AD2+CD22ADCDcosD，由于AD3，DC1，代入上式，得x2106cosD，S四邊形ABCDSABC+SACD=12xxsin3+123sinD=34x2+32sinD3sin（D-3）+532，D（0，），-32sin(D-3)1，四邊形ABCD面積的最大值為532+3，無最小值，故C正確，D錯(cuò)誤，故選：AC11已知ABC的內(nèi)角為A，B，C滿足sin（B+CA）+sin（A+CB）+sin（A+BC）=12，且ABC的面積為2，則ABC外接圓面積等于（）A2B4C8D16【解答】解：sin（B+CA）+sin（A+CB）+sin（A+BC）=12，且A+B+C，s

13、in2A+sin2B+sin2C=12，2sinAcosA+2sin（B+C）cos（BC）=12，2sinA（cos（BC）cos（B+C）=12，化為2sinA2sinBsin（C）=12，sinAsinBsinC=18設(shè)外接圓的半徑為R，由正弦定理可得：asinA=bsinB=csinC=2R，由S=12absinC，及正弦定理得：sinAsinBsinC=S2R2=18，由于S2，可得：R24S8，可得R22，ABC外接圓面積SR28故選：C12（多選）已知ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c且a6，4sinB5sinC，有以下四個(gè)命題中正確命題有 （）AABC的面積的最大值

14、為40B滿足條件的ABC不可能是直角三角形C當(dāng)A2C時(shí)，ABC的周長(zhǎng)為15D當(dāng)A2C時(shí)，若O為ABC的內(nèi)心，則AOB的面積為7對(duì)于A，運(yùn)用圓的方程和三角形的面積公式，即可得到所求最大值；對(duì)于B，考慮勾股定理的逆定理，即可判斷；對(duì)于C，運(yùn)用正弦定理可得4b5c，運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換，即可得到所求周長(zhǎng)；對(duì)于D，運(yùn)用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換、三角形的面積公式和等積法，即可得到所求面積【解答】解：以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，可得B（3，0），C（3，0），4sinB5sinC，可得4b5c，設(shè)A（m，n），可得4(m-3)2+n2=5(m+3)2+n2，平方可得16（m2+n26

15、m+9）25（m2+n2+6m+9），即有m2+n2+823m+90，化為（m+413）2+n2（403）2，則A的軌跡為以（-413，0），半徑為403的圓，可得ABC的面積的最大值為126403=40，故A對(duì)；a6，4sinB5sinC即4b5c，設(shè)b5t，c4t，由36+16t225t2，可得t=43，滿足條件的ABC可能是直角三角形，故B錯(cuò)誤；a6，4sinB5sinC，A2C，可得B3C，由正弦定理可得4b5c，可得b=5c4，由bsinB=csinC，可得5c4sin(-3C)=csinC=5c4sinC(4cos2C-1)，由sinC0，可得：4cos2C1=54，解得：cosC

16、=34，或-34（舍去），sinC=1-cos2C=74，可得sinA2sinCcosC23474=378，6378=c74，可得：c4，b5，則a+b+c15，故C對(duì)；a6，4sinB5sinC，A2C，可得B3C，由正弦定理可得4b5c，可得b=5c4，由bsinB=csinC，可得5c4sin(-3C)=csinC=5c4sinC(4cos2C-1)，由sinC0，可得：4cos2C1=54，解得：cosC=34，或-34（舍去），sinC=1-cos2C=74，可得：sinA2sinCcosC23474=378，6378=c74，可得：c4，b5，SABC=12bcsinA=12543

17、78=1574設(shè)ABC的內(nèi)切圓半徑為R，則R=2Sa+b+c=215744+5+6=72，SABO=12cR=12472=7故D對(duì)故選：ACD13已知ABC，BAC120，BC=23，AD為BAC的角平分線，則（）ABC面積的取值范圍為(0，3（）AB+4ACAD的最小值為9【解答】解：（）可設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，可得a2b2+c22bccosAb2+c22bc（-12）2bc+bc3bc，即有bc13a2=13124，當(dāng)且僅當(dāng)bc2取得等號(hào)，則SABC=12bcsinA=12bc32344=3，所以ABC面積的取值范圍為（0，3；（）由SABCSABD+SDAC，

18、可得12bcsin120=12cADsin60+12bADsin60，化為32bc=32AD（b+c），即為AD=bcb+c，所以AB+4ACAD=c+4bAD=(b+c)(c+4b)bc=cb+4bc+52cb4bc+59，當(dāng)且僅當(dāng)c2b時(shí)，取得等號(hào)，則AB+4ACAD的最小值為9故答案為：（）（0，3，（）914伴隨著國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)的持續(xù)增長(zhǎng)，人民的生活水平也相應(yīng)有所提升，其中旅游業(yè)帶來的消費(fèi)是居民消費(fèi)領(lǐng)域增長(zhǎng)最快的，因此挖掘特色景區(qū)，營(yíng)造文化氛圍尤為重要某景區(qū)的部分道路如圖所示，AB30m，BC=402m，CD50m，ABCBCD45，要建設(shè)一條從點(diǎn)A到點(diǎn)D的空中長(zhǎng)廊，則AD402m【解答】解

19、：由題可知ABCBCD45，所以ABCD由AD=AB+BC+CD，則AD2=AB2+BC2+CD2+2ABBC+2ABCD+2BCCD，ABBC=|AB|BC|cos135=-1200，ABCD=|AB|CD|cos0=1500，BCCD=|BC|CD|cos135=-2000，所以AD2=900+3200+2500-2400+3000-4000=3200，則|AD|=402m故答案為：40215如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB1，BC2，ACD是以D為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則BCD面積的最大值為1+22【解答】解：在ABC中，設(shè)ABC，ACB，AB1，BC2，余弦定理得AC212+22

20、212cos54cos，ACD為等腰直角三角形，設(shè)CDADt，AC=2t，2t254cos，由正弦定理得：1sin=ACsin=2tsin，2tsinsin，則2t2sin2t22t2cos2sin21cos2，可得2t2cos22t21+cos254cos1+cos2（2cos）2，可得2tcos2cos，SBCD=122tsin（4+）tsin（4+）=22tcos+22tsin=12（2cos）+12sin=22sin（-4）+1，當(dāng)=34時(shí)，sin（-4）1，（SBCD）max1+22故答案為：1+2216四邊形ABCD中，AB1，BC5，CD5，DA7，且DABBCD90，則對(duì)角線A

21、C長(zhǎng)為42【解答】解：設(shè)|AC|=x，B=，由DABBCD90，則D180，ABC中，|AB|=1，|BC|=5，|AC|=x，則cos=12+52-x2215=26-x210；ACD中，|CD|=5，|DA|=7，|AC|=x，則cos(180-)=72+52-x2275=74-x270；cos（180）cos，74-x270=-26-x210 x=32=42故答案為：421717在2acosC+c2b，cos2B-C2-cosBcosC=34，（sinB+sinC）2sin2A+3sinBsinC，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，

22、b，c，且_（1）求角A的大小；（2）若a=3，ABC的面積為32，求ABC的周長(zhǎng)【解答】解：（1）選，由正弦定理得2sinAcosC+sinC2sinB2sin（A+C）2（sinAcosC+cosAsinC），即sinC（2cosA1）0因?yàn)镃（0，），所以sinC0，所以cosA=12又A（0，），從而得A=3選，因?yàn)閏os2B-C2-cosBcosC=1+cos(B-C)2-cosBcosC=1-cosBcosC+sinBsinC2=1-cos(B+C)2=34，所以cos(B+C)=-12，cosA=-cos(B+C)=12又因?yàn)锳(0，2)，可得A=3選，因?yàn)椋╯inB+sinC）

23、2sin2A+3sinBsinC，所以sin2B+sin2C+2sinBsinCsin2A+3sinBsinC，即sin2B+sin2Csin2AsinBsinC，所以b2+c2a2bc，cosA=b2+c2-a22bc=12因?yàn)锳（0，），可得A=3，（2）由余弦定理a2b2+c22bccosA，得b2+c2bc3，由SABC=12bcsinA=12bc32=32，得bc2，所以b+c3，故a+b+c=3+318在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知a1，m=(1，-3)，n=（sinA，cosA），且mn（1）求角A的大??；（2）若ABC的面積為34，求b+c的值（3）求A

24、BC周長(zhǎng)的取值范圍【解答】解：（1）由m=(1，-3)，n=（sinA，cosA），且mn，得mn=sinA-3cosA0，tanA=3；又A（0，），A=3；（2）由余弦定理得a2b2+c22bccosA，即1b2+c22bccos3，b2+c2bc1；又ABC的面積為S=12bcsinA=12bcsin3=34，bc1，（b+c）2b2+c2+2bc2+214，b+c2（3）由（1）知A=3，a1，則bsinB=csinC=asinA=1sin3=23，b=23sinB，c=23sinC，CAB=23-B，B（0，23）；la+b+c1+23sinB+23sin（23-B）1+23（32s

25、inB+32cosB）1+2sin（B+6），又B（0，23），B+6（6，56），sin（B+6）（12，1，21+2sin（B+6）3，ABC周長(zhǎng)的取值范圍（2，319已知a，b，c分別是ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且滿足a(sinA-12sinB)=(sinC+sinB)(c-b)，c4（）求ABC的外接圓的半徑；（）求ABC的面積的最大值【解答】解：（）由題意及正弦定理得到a(a-12b)=(c+b)(c-b)，即a2+b2-c2=ab2，由余弦定理可得cosC=14，所以sinC=154設(shè)ABC的外接圓的半徑為R因?yàn)閏sinC=2R，即4154=2R，解得R=81515（）因?yàn)閏

26、2a2+b22abcosC，且c4，所以16=a2+b2-ab22ab-ab2=3ab2，即ab323，所以SABC=12absinC12323154=4153，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)故ABC的面積的最大值為415320在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若3asinBbcosBcosCccos2B（1）求角B的值；（2）若A=6，且ABC的面積為73，求BC邊上的中線AM的長(zhǎng)【解答】解：（1）因?yàn)?asinBbcosBcosCccos2B，所以由正弦定理可得3sinAsinBsinBcosBcosCsinCcos2B，可得3sinAsinBcosB（sinBcosC+sinCcos

27、B）cosBsinA，因?yàn)閟inA0，可得3sinBcosB，即tanB=33，由B（0，），可得B=6（2）由已知A=6，則ABC是等腰三角形，C=23，設(shè)ACBC2a，可得SABC=12ACBCsinACB=12（2a）2sin23=3a2，由已知ABC的面積為73，得a27，a=7，可得ACBC27，ACM中，由余弦定理，AM2CA2+CM22CACMcos23（27）2+（7）22277（-12）49，所以AM721在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知向量m=(3a-c，b)，n=(cosB，-cosC)，且mn（1）求cosB的值；（2）若b2，ABC的面積為64，求

28、ABC的周長(zhǎng)【解答】解：（1）根據(jù)題意，向量m=(3a-c，b)，n=(cosB，-cosC)，且mn則mn=（3ac）cosBbcosC0，又由正弦定理可得（3sinAsinC）cosBsinBcosC0，即3sinAcosBsinCcosBsinBcosC3sinAcosBsin（B+C）0；又sin（B+C）sinA，所以3sinAcosBsinA0，又A（0，），所以sinA0，則cosB=13（2）由（1）的結(jié)論，cosB=13，則b2a2+c22accosB，即4a2+c2-23ac（a+c）2-83ac，又由ABC的面積為64，即S=12acsinB=64，sinB=1-cos2

29、B=223，則有64=12ac223，則ac=334，則（a+c）24+83ac4+23=（3+1）2，則a+c=3+1，則有a+b+c=3+1+2=3+3，故ABC的周長(zhǎng)為3+322如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB2，CD5，ABC=23（1）若AC27，求梯形ABCD的面積；（2）若ACBD，求tanABD【解答】解：（1）設(shè)BCx，在ABC中，由余弦定理可得28x2+42x2（-12），整理可得：x2+2x240，解得x4，所以BC4，則SABC=122432=23，因?yàn)镃D=5AB2，所以SACD=5SABC2=53，所以S梯形ABCDSABC+SACD73；（2）設(shè)ABD，則B

30、DC，BAC=2-，DBC=23-，BCA-6，在ABC中，由正弦定理可得2sin(-6)=BCsin(2-)，在BCD中，由正弦定理可得5sin(23-)=BCsin，兩式相除可得2sin(23-)5sin(-6)=sinsin(2-)，展開可得2(32cos+12sin)5(32sin-12cos)=sincos，所以可得53sin27sincos23cos20，即53tan27tan23=0，解得tan=233或tan=-35，又因?yàn)椋?，2），所以tan=233，即tanABD=23323小明在東方明珠廣播電視塔底端的正東方向上的C處，沿著與電視塔（AB）垂直的水平馬路CD駕駛機(jī)動(dòng)車行

31、駛，以南偏西60的方向每小時(shí)60千米的速度開了15分鐘以后，在點(diǎn)D處望見電視塔的底端B在東北方向上，設(shè)沿途E處觀察電視塔的仰角AEB，的最大值為60（1）小明開車從C處出發(fā)到D處，幾小時(shí)后其所在位置觀察電視塔的仰角達(dá)到最大值60，約為多少分鐘？（分鐘保留兩位小數(shù)）（2）求東方明珠塔AB的高度約為多少米（保留兩位小數(shù)）【解答】解：（1）依題意知在DBC中BCD30，DBC18045135，CD600001601515000（m），D1801353015，由正弦定理得CDsinDBC=BCsinD，BC=CDsinDsinDBC=15000sin15sin135=150006-2422=7500（

32、3-1）（m），在RtABE中，tan=ABBE，AB為定長(zhǎng)，可得當(dāng)BE的長(zhǎng)最小時(shí)，取最大值60，這時(shí)BECD，當(dāng)BECD時(shí)，在RtBEC中，可得：ECBCcosBCE7500（3-1）32=3750（3-3）（m），設(shè)該人沿南偏西60的方向走到仰角最大時(shí)，走了t分鐘，則t=EC6060000=3750(3-3)60600004.75（分鐘），（2）由（1）知當(dāng)取得最大值60時(shí)，BECD，在RtBEC中，BEBCsinBCD，ABBEtan60BCsinBCDtan607500（3-1）123=3750（3-3）4754.81米（m）即所求塔高為4754.81米m24ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知2asinC=3csinB（1）若b=43，C120，求ABC的面積S；（2）若b：c2：3，求3sin2A-sinBsinC【解答】解：（1）由正弦定理知，csinBbsinC；由2asinC=3csinB，得2asinC=3bsinC，故2a=3b，b=43，a6