求軌跡方程的常用方法例題及變式

1、求軌跡方程的常用方法:題型一直接法此法是求軌跡方程最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件M |P(M)直接翻譯成x,y的形式f(x,y) 0 ,然后進(jìn)行等價(jià)變換，化簡(jiǎn)f(x,y) 0 ,要注意軌跡方程的純粹性和完備性，即曲線上沒(méi)有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)， 也就是說(shuō)曲線上所有的點(diǎn) 適合這個(gè)條件而毫無(wú)例外(純粹性)；反之，適合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫無(wú)遺漏(完備性)。例1過(guò)點(diǎn)A(2,3)任作互相垂直的兩直線 AM和AN ,分別交x, y軸于點(diǎn)M , N ,求線段MN中點(diǎn)P的軌跡方程。0 3 2y 32x 2 0 2解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及 M,N在軸上得M(0,2y)

2、, N(2x,0)(x,y R)1 (x 1),化簡(jiǎn)得 4x 6y 13 0 (x 1)3當(dāng)x 1時(shí)，M(0,3), N(2,0),止匕時(shí)MN的中點(diǎn)P(1,)它也滿足萬(wàn)程4x 6y 132以中點(diǎn)P的軌跡方程為4x 6y 13 0變式1已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線l:x 4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍。(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A, B兩點(diǎn)。若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的斜 率。題型二定義法圓錐曲線定義所包含的幾何意義十分重要，應(yīng)特別重視利用圓錐曲線的定義解題，包括用定義法求軌跡方程。例2 動(dòng)圓M過(guò)定點(diǎn)P( 4,0),且與圓C ：x2 y2 8

3、x 0相切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方 程。解：根據(jù)題意|MC| |MP| 4,說(shuō)明點(diǎn)M到定點(diǎn)C、P的距離之差的絕對(duì)值為定值，故點(diǎn)M的軌跡是雙曲線a 2, c 42匕1122故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為 4變式239,求 ABC的重心的軌跡方程.在ABC中，BC 24, AC, AB上的兩條中線長(zhǎng)度之和為解：以線段BC所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖1,M為重心，則有BM CM：M點(diǎn)的軌跡是以B, C為焦點(diǎn)的橢圓,其中c 12, a22:所求 ABC的重心的軌跡方程為 幺1(y 0) 169 25題型三相關(guān)點(diǎn)法 此法的特點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)M (x, y)的坐標(biāo)取決于已知曲線 C上的點(diǎn)(x

4、, y)的坐標(biāo)，可先用x, y 來(lái)表示x, y,再代入曲線C的方程f (x, y) 0 ,即得點(diǎn)M的軌跡方程。例3如圖，從雙曲線x2 y2 1上一點(diǎn)Q引直線x y 2的垂線，垂足為N ,求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程分析：從題意看動(dòng)點(diǎn)P的相關(guān)點(diǎn)是Q, Q在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，所以本題適合用相關(guān)點(diǎn)法。解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x1,y1)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2x Xi ,2y y)N在直線x y 2上,2x Xi 2y y1又 PQ垂直于直線x y2,j 1, x x1y1Xi由解得Xiy13-x21一 x212y32y又點(diǎn)Q在雙曲線x2 y21 上，Xi2 y,1 代入，得動(dòng)點(diǎn)P的軌

5、跡方程為2x2 2y22x 2y 1 0變式3已知 ABC勺頂點(diǎn)B( 3,0) C(1,0),頂點(diǎn)A在拋物線y X2上運(yùn)動(dòng)，求4ABC的重心G的軌跡方程.解：設(shè)G(x, y) , A(%, y0),由重心公式，得3 1 X03上,3x0V。3x 2,一 、又. A（x。，y。）3y.在拋物線y x2上，y x2 .將，代入，得3y (3x 2)2( y 0), 即所求曲線方程是y 3x2 4x 4(y 0).3題型四參數(shù)法選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，分別用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y,得出軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù),即得其普通方程，選參數(shù)時(shí)必須首先充分考慮到制約動(dòng)點(diǎn)的各種因素，然后在選取合 適的參數(shù)，因?yàn)閰?shù)不同

6、，會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算量的不同，常見(jiàn)的參數(shù)有截距、角度、斜率、 線段長(zhǎng)度等。例4已知線段AA 2a ,直線l垂直平分AA于O ,在l上取兩點(diǎn)巳P ,使有向線段群,OPu 滿足OP OPu 4,求直線AP與AP的交點(diǎn)M的軌跡方程.解：如圖2,以線段AA所在直線為x軸，以線段AA的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系. 設(shè)點(diǎn) P(0, t)(t 0),則由題意，得P Q4 .由點(diǎn)斜式得直線AP, AP的方程分別為y Lx a), y -(x a), ata兩式相乘，消去t ,得4x2 a2y2 4a2(y 0).這就是所求點(diǎn)M的軌跡方程.2變式4設(shè)橢圓方程為x2匕1,過(guò)點(diǎn)M (0,1)的直線l交橢圓于點(diǎn)A, B, O

7、是坐標(biāo)原 4點(diǎn)，l上的動(dòng)點(diǎn)P滿足OP joA OB),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1),當(dāng)l繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)時(shí)，求: (1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2) |NP|的最小值與最大值.分析：(1)設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出x1 x2,y1 y2 ,進(jìn)而表示出點(diǎn)Px的二次函數(shù)。設(shè)其斜率為k,則l的方程為坐標(biāo)，用消參法求軌跡方程；（2）將|NP|表示成變量 解：（1）法一：直線l過(guò)點(diǎn)M （0,1）,當(dāng)l的斜率存在時(shí),y kx 1。設(shè) A(xi, yi),B(x2,y2),由題設(shè)可列方程為y kx 1 d2y2x彳1將代入并化簡(jiǎn)得:(4 k2)x22kx 3 0,2kx1所以y1x248y24 kk2于是OP1 ,

8、 _(OA OB)2xx2 y2,上)(214 k2 ,4 k設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,則 消去參數(shù)k得4x2 y2 y當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),A, B的中點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)（0,0）,也滿足方程,所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2 y2法二:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x, y）,因慶漢* B（x2, y2）在橢圓上,所以2 xi2 x22 y42 y24一得:2xi所以(x1x2)(x121/2x2-(Y14 1(x2) 一(4v2)0y2)(yiV2)0當(dāng)x1x2時(shí)，有x x2 (y y2)y1y20 4x1 x2x22* 2yy2xx2將代入并整理得4x2 y2 y 0當(dāng)XiX2時(shí)，點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為（0,2）、(0, 2),這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,0）,也滿足，所以點(diǎn)P的軌跡方程為2 x 彳1