固體物理第一章1第五節(jié)

1、第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院3）微觀對稱類型本節(jié)重點1）基本的對稱操作；2）宏觀對稱類型；第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院1、對稱的概念對稱就是物體相同部分有規(guī)律的重復(fù)，即物體中相同的部分，通過一定的對稱操作(如旋轉(zhuǎn)、反映、鏡面)可以發(fā)生重復(fù)；也就是說相同的部分通過一定操作彼此可以重合起來，使圖形恢復(fù)原來的形象第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院對稱操作是指憑借對稱要素能夠使對稱物體中的各個相同部分，作有規(guī)律重復(fù)的變換動作。對稱要素則是指在進(jìn)行對稱操作時所憑借的幾何要素點、線、面等。2、晶體對稱性的判定由于晶體的自限性，使得晶體內(nèi)部的原子的

2、規(guī)則排列反映在晶體的宏觀形態(tài)上，晶體表現(xiàn)出宏觀對稱性。對于外表面具有很多晶面的晶體，往往不能直接判別它的對稱特征，必須經(jīng)過測角和投影以后，才可對晶體的對稱規(guī)律進(jìn)行分析研究。第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院通過對大量晶體進(jìn)行測角和投影，歸納成32種典型的宏觀對稱類型。由于在宏觀對稱類型，全部對稱要素相交于一點(晶體中心)，在進(jìn)行對稱操作時至少有一點不移動，因此稱之為點群。該點群中的對稱操作中不包括平移。而若對稱操作中包括平移，共構(gòu)成了230中微觀的對稱類型。所有以上的對稱類型都源于以下基本對稱操作的組合。3、基本的對稱操作1）線性變換和剛體一樣，晶格中任何兩點間的距離，在操作前

3、后應(yīng)保持不變，在數(shù)學(xué)上表示，這些操作就是熟知的線性交換。第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院 經(jīng)過某一對稱操作，把晶體中任一點 變?yōu)?可以用線性變換來表示。 x1x3x2（x1,x2,x3)（x1,x2,x3)若采用矩陣表示線性變換：第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院由于操作前后，兩點間的距離保持不變，即而同理又第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院其中I是單位矩陣，所以得出A為正交矩陣。如令 代表矩陣A的行列式，則又2）簡單對稱操作的變換關(guān)系轉(zhuǎn)動將某一圖形繞X1轉(zhuǎn)過角，該圖形中任一點（x1,x2,x3)變?yōu)榱硪稽c（x1,x2,x3)，則變換關(guān)系有：(

4、x1,x2,x3)(x1,x2,x3)第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)則正交變換第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院正交矩陣A為中心反演 取中心為原點，經(jīng)過中心反演后，圖形中任一點（x1,x2,x3) 變?yōu)榱硪稽c（ -x1,-x2,-x3)，則變換關(guān)系如下第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院正交矩陣A為鏡像X1X3X2(x1 , x2 , x3)(x1,x2,x3)鏡像對稱操作是將圖形的任一點(x1,x2,x3) 變?yōu)榱硪稽c(x1 ,x2, x3)，變換關(guān)系如下：即以x3=0面作為鏡面。第六節(jié) 晶體的對稱性聊

5、城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院則正交變換正交矩陣A為第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院3）基本的對稱操作n度旋轉(zhuǎn)對稱軸如果晶體繞某一對稱軸旋轉(zhuǎn)=2/n以后自身能重合，則稱該軸為n度旋轉(zhuǎn)對稱軸。由于晶體的對稱操作并不涉及到晶格的平移，在操作時應(yīng)至少保持一點不同，所以采用雙轉(zhuǎn)軸來推導(dǎo)晶體的旋轉(zhuǎn)對稱軸，存在一定的局限性，應(yīng)采用單轉(zhuǎn)軸推導(dǎo)方法。A1ABB1由于晶格周期性的限制，晶體可能的轉(zhuǎn)動討論如下。第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院OBAA1B1如圖A、O、B 是某一晶列上相鄰的三個格點，周期為a。如果繞過O 點垂直于晶列的轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)角，A轉(zhuǎn)到A1，晶體自身重合，則A

6、1點必為一格點。再繞過O 點的轉(zhuǎn)軸逆時針轉(zhuǎn)角，晶體恢復(fù)到未轉(zhuǎn)動時的狀態(tài)，但此時B處格點轉(zhuǎn)到B1點，則B1處必為一格點?？梢灾繟B/A1B1，平行晶列具有相同的周期，則有第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院OBAA1B1其中n為正整數(shù)或零因為順時(或逆時)針轉(zhuǎn)動 分別等價于逆時(或順時)針轉(zhuǎn)動 ，所以晶格轉(zhuǎn)動的獨(dú)立轉(zhuǎn)角為：第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院晶體中允許的旋轉(zhuǎn)對稱軸只能是1，2，3，4，6度軸。對稱軸的度數(shù)n2346符號對稱軸度數(shù)的符號表晶體中對稱軸的度數(shù)常用不同的符號代表，如下表所示第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院晶體中不存在5度或

7、6度以上的轉(zhuǎn)軸。上述結(jié)果也可以直觀的理解為：長方形、正三邊形、正方形、正六邊形可以在平面內(nèi)周期性的重復(fù)排列，而不留空隙，但正五邊形卻不能相互緊密排列做重復(fù)排列而不留空隙，因此晶體中不存在5度的轉(zhuǎn)軸。第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院n度旋轉(zhuǎn)-反演軸若繞某一固定軸u旋轉(zhuǎn)2/n角度以后，再經(jīng)中心反演(即x-x，y-y，z-z)，晶體能夠自身重合，則稱u為n度旋轉(zhuǎn)-反演軸。這樣的對稱軸只有1，2，3，4，6度。為了區(qū)別于轉(zhuǎn)軸，在軸的度次上加“-”來表示旋轉(zhuǎn)-反演軸。即 。1212125436第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院6=3+m12345661234ABDCEF

8、GH正四面體既無四度軸也無對稱心， 是基本的對稱操作?？偵纤?，晶體的宏觀對稱性中有以下八種的基本對稱操作，即1，2，3，4，6，i，m， 。第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院所有點對稱操作都可由這8種操作或它們的組合來完成。一個晶體的全部對稱操作構(gòu)成一個群，每個操作都是群的一個元素。對稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、鏡象和旋轉(zhuǎn)-反演點對稱操作構(gòu)成的群，全部對稱要素相交于一點(晶體中心)，在進(jìn)行對稱操作時至少有一點不移動，稱之為點群。 理論證明，所有晶體只有32種點群，即只有32種不同的點對稱操作類型。這種對稱性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對稱及物理性質(zhì)在不同方向上的

9、對稱性。所以又稱宏觀對稱性。第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院如果考慮晶格平移，多出以下兩類微觀對稱操作類型： n度螺旋軸和滑移反映面。n度螺旋軸一個n度螺旋軸u表示繞軸每轉(zhuǎn)2/ n角度后，再沿該軸的方向平移T/n 的l倍，則晶體中的原子和相同的原子重合。其中， l為小于n 的整數(shù)，T為沿u軸方向上的周期矢量。晶體也只有1，2，3，4，6度螺旋軸。n=4，l=1。如圖4度螺旋軸，由A A4 。 1AA12A23A34A4Tu第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院滑移反映面一個滑移反映面表示經(jīng)過該面的鏡像操作后，再沿平行于該面的某個方向平移T/n 的距離，晶體中的原子

10、和相同的原子重合。其中，T是該方向上的周期矢量，n為2或4。如圖表示一滑移反映面MM。 n=2AAA1A1A2A2MM第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院32種點群對應(yīng)于晶體32種宏觀的對稱性，再加上n度螺旋軸和滑移反映面平移對稱操作，經(jīng)過不同組合就可以導(dǎo)出230種空間群。每種空間群對應(yīng)于一種特殊的晶體結(jié)構(gòu)。4、空間群空間群分為兩類：一類稱為簡單空間群或點空間群；一類稱為復(fù)雜空間群或非點空間群。 所謂點空間群是由一個點群和一個平移群對稱操作而成的。它的一般操作可以寫成第六節(jié) 晶體的對稱性聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院其中 表示點群對稱操作， 代表平移對稱操作。簡單晶格所具有的空間

11、群屬于點空間群。此外，一些復(fù)式晶格的空間群也屬于點空間群。共有73種點空間群。復(fù)雜空間群：復(fù)雜空間群的對稱操作可以有更一般的形式：其中 表示點群操作，但 代表不是整數(shù)晶格矢量平移對稱操作。第七節(jié) 晶格結(jié)構(gòu)的分類聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院分別為取 為晶胞的三個方向基矢， 間的夾角。按照基矢和基矢之間夾角的特點，晶體可以分為七大晶系；按照晶胞上格點的分布特點，晶體結(jié)構(gòu)又分為14種布喇菲格子。簡單三斜1、三斜晶系： 第七節(jié) 晶格結(jié)構(gòu)的分類聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院2、單斜晶系：3、三角晶系：簡單單斜底心單斜三角第七節(jié) 晶格結(jié)構(gòu)的分類聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院4、正交晶系：5、四方晶系簡單正交底心正交體心正交面心正交簡單四方體心四方第七節(jié) 晶格結(jié)構(gòu)的分類聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院6、六角晶系：7、立方晶系：簡單立方體心立方面心立方六角第七節(jié) 晶格結(jié)構(gòu)的分類聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院七個晶系分別屬于低、中、高級三個晶族。低級晶族的三斜晶系(無對稱軸和對稱面)、單斜晶系(二次軸和對稱面各不多于一個)和正交晶系(二次軸或?qū)ΨQ面多于一個)；屬于中級晶族的四方晶系(有一個四次軸)、三角晶系(有一個三次軸)和六角晶系(有一個六次軸)；屬于高級晶族的立方晶系(有四個三次軸)。根據(jù)是否有高次軸以及有一個或多個高次軸，把32個宏觀對稱型歸納為低、中、高級三個晶族。