概率論與數(shù)理統(tǒng)計第14講

1、1概率論與數(shù)理統(tǒng)計第14講本文件可從網(wǎng)址 上下載(單擊ppt講義后選擇概率論子目錄)23.3 條件期望3例1 兩封信隨機投向1,2,3,4四個信箱, x1,x2代表頭兩個信箱里的信數(shù)目, 求在第2個郵箱里有一封信條件下第一個郵箱內(nèi)信數(shù)的平均數(shù).解 因已經(jīng)計算出4對于二元離散型隨機變量(x,h), 在x取某一個定值, 比如x=xi的條件下, 求h的數(shù)學期望, 稱此期望為給定x=xi時h的條件期望, 記作Eh|x=xi, 有5對于二元連續(xù)型隨機變量, 定義其中j(y|x)及j(x|y)分別是在x=x條件下關于h的條件概率密度和在h=y條件下關于x的條件概率密度. 當然這個定義假定各式都是有意義的.

2、63.4 方差、協(xié)方差(一) 方差的概念7先看兩個例子設甲,乙兩炮射擊彈著點與目標的距離分別為x1,x2(為簡便起見, 假定它們只取離散值), 并有如下分布律.則兩炮有相同的期望值(Exi=90,i=1,2), 但比較兩組數(shù)據(jù)可知乙炮較甲炮準確.彈著點集中.x180859095100P0.20.20.20.20.2x28587.59092.595P0.20.20.20.20.28圖示比較:909095958585801009又如有兩批鋼筋, 每批各10根, 它們的抗拉強度指標如下:第一批: 110, 120, 120, 125, 125, 125, 130, 130, 135, 140第二批:

3、 90 100 120 125 130 130 135 140 145 145它們的平均抗拉強度指標都是126, 但是, 使用鋼筋時, 一般要求抗拉強度指標不低于一個指定數(shù)值(如115). 那么, 第二批鋼筋的抗拉強度指標與平均值偏差較大, 即取值較分散, 不合格的多, 可以認為第二批比第一批質(zhì)量差.10可見在實際問題中, 僅靠期望值(或平均值)不能完善地說明隨機變量的分布特征, 還必須研究其離散程度. 通常人們關心的是隨機變量x對期望值Ex的離散程度.定義3.3 如果隨機變量x的數(shù)學期望Ex存在, 稱x-Ex為隨機變量的離差.顯然, 隨機變量離差的期望是零, 即E(x-Ex)=0不論正偏差大

4、還是負偏差大, 同樣都是離散程度大, 為了消除離差x-Ex的符號, 用(x-Ex)2來衡量x與Ex的偏差.11定義3.412如果x是離散型隨機變量, 并且Px=xk=pk (k=1,2,.), 則可見隨機變量的方差是非負數(shù), Dx0, 常量的方差是零. 當x的可能值密集在它的期望值Ex附近時, 方差較小, 反之則方差較大.因此方差的大小可以表示隨機變量分布的離散程度13在數(shù)學推導中喜歡用方差Dx, 而在實際應用中則更喜歡用標準差sx ,這是因為標準差的量綱和隨機變量的量綱一樣, 隨機變量的單位是元, 則標準差的單位也是元, 隨機變量的單位是公斤, 則標準差的單位也是公斤. 對于一些測量工具的誤

5、差通常用標準差來描述, 而這是有國家標準的. 一個經(jīng)驗之談, 任何隨機變量在實際實驗中和它的數(shù)學期望之差超過3到5倍的標準差是實際不可能的, 但數(shù)學上不承認這一點. 例如, 假設一個秤的標準差為一克, 它稱一公斤的東西可能不會正好一公斤, 但決無可能是0.994公斤, 也無可能是1.006公斤.14圖示, 方差大和方差小的情況方差小方差大j1(x)j2(x)xx15例1 計算參數(shù)為p的0-1分布的方差解 根據(jù)x的概率函數(shù)Px=1=pPx=0=1-p=q則Ex=0q+1p=pDx=(0-p)2q+(1-p)2p=p(pq+q2)=pq(p+q)=pq=p(1-p)Ex=pDx=pq16例2 計算

6、本節(jié)開始所舉甲乙兩炮射擊中Dx1, 及Dx2解 Ex1=Ex2=90, 則Dx1=1020.2+520.2+020.2+520.2+1020.2=50Dx2=520.2+2.520.2+020.2+2.520.2+520.2=12.5x180859095100P0.20.20.20.20.2x28587.59092.595P0.20.20.20.20.217方差的性質(zhì)常量的方差等于零證 D(c)=E(c-Ec)2=E(c-c)2=0(2) 隨機變量與常量之和的方差就等于這個隨機變量的方差本身證 D(x+c)=Ex+c-E(x+c)2=Ex+c-Ex-c)2=E(x-Ex)2=Dx(3) 常量與

7、隨機變量乘積的方差, 等于這常量的平方與隨機變量方差的乘積.證 D(cx)=Ecx-E(cx)2=Ec(x-Ex)2=Ec2(x-Ex)2=c2Dx 18圖示性質(zhì)cx+c的概率密度x的概率密度x的概率密度cx的概率密度19(4) 兩個獨立隨機變量之和的方差, 等于這兩個隨機變量方差的和證 D(x+h)=Ex+h-E(x+h)2=Ex-Ex+h-Eh2=E(x-Ex)2+(h-Eh)2+2(x-Ex)(h-Eh)=E(x-Ex)2+E(h-Eh)2+2E(x-Ex)(h-Eh)=Dx+Dh這是因為x與h獨立, 則x-Ex與h-Eh也獨立, 因此E(x-Ex)(h-Eh)=E(x-Ex)E(h-E

8、h)=020性質(zhì)4可以推廣到任意有限個隨機變量即, 若x1,x2,.,xn相互獨立, 則有D(x1+x2+.+xn)=Dx1+Dx2+.+Dxn進一步可得: n個相互獨立的隨機變量的算術平均數(shù)的方差等于其方差算術平均數(shù)的1/n倍.21(5) 任意隨機變量的方差等于這個隨機變量平方的期望與其期望平方之差, 即Dx=Ex2-(Ex)2證 Dx=E(x-Ex)2=Ex2-2xEx+(Ex)2=Ex2-2ExEx+(Ex)2=Ex2-(Ex)2這個公式很重要, 實際上計算一個隨機變量的方差用的是這個公式.22計算Ex2的辦法:23例3 計算在區(qū)間a,b上服從均勻分布的隨機變量x的方差.解 已知x的概率

9、密度為在3.1例4中已算出Ex=(a+b)/224上面的解法太麻煩, 另一種簡單的解法是,先求出在0,1區(qū)間均勻分布的隨機變量的方差, 再乘上(b-a)2, 就是在a,b區(qū)間均勻分布的隨機變量的方差.25例1 兩相互獨立的隨機變量x,h的分布如下面兩表所示, 計算D(x-h)解 Ex=90.3+100.5+110.2=9.9 Eh=60.4+70.6=6.6Ex2=810.3+1000.5+1210.2=98.5Dx=Ex2-(Ex)2=98.5-98.01=0.49Eh2=620.4+720.6=43.8Dh=Eh2-(Eh)2=43.8-43.56=0.24D(x-h)=Dx+Dh=0.4

10、9+0.24=0.73x91011P0.30.50.2h67P0.40.626例5 若連續(xù)型隨機變量的概率密度是27也即從28求方差的統(tǒng)計學辦法求方差的統(tǒng)計學辦法即是通過反復地試驗來獲得方差. 假設經(jīng)過了n次試驗,獲得了n個隨機變量x的數(shù)據(jù)a1,a2,.,an, 29如果有n個相互獨立的隨機變量x1,x2,.,xn, 它們的方差都相同, 為s2, 則它們的和x1+x2+.+xn的方差就是Dx1+Dx2+.+Dxn=ns2, 因此它們的標準差就是例如, 假設100個同方差的相互獨立的隨機變量相加, 和的方差是每一個方差的一100倍, 而標準差只是每一個的標準差的10倍.30例 假設在會計計數(shù)時, 每個數(shù)都四舍五入到角, 則四舍五入的誤差是一個隨機變量, 在-5分到5分之間均勻分布, 因