2022年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)和二輪專題復(fù)習(xí)講座中考二輪專題復(fù)習(xí)第11課時(shí)歸納猜想型問題

1、20XX年中考復(fù)習(xí)二輪材料歸納猜想型問題 一專題詮釋 歸納猜想型問題在中考中越來越被命題者所注意；這類題要求依據(jù)題目中的 圖形或者數(shù)字,分析歸納,直觀地發(fā)覺共同特點(diǎn),或者進(jìn)展變化的趨勢,據(jù)此去 猜測估量它的規(guī)律或者其他相關(guān)結(jié)論,使帶有猜想性質(zhì)的推斷盡可能與現(xiàn)實(shí)情形 相吻合,必要時(shí)可以進(jìn)行驗(yàn)證或者證明,依此表達(dá)出猜想的實(shí)際意義；解題策略和解法精講 二歸納猜想型問題對考生的觀看分析才能要求較高,常常以填空等形式顯現(xiàn),解題時(shí)要善于從所供應(yīng)的數(shù)字或圖形信息中,查找其共同之處,這個(gè)存在于個(gè)例 中的共性,就是規(guī)律；其中包蘊(yùn)著“ 特別一般特別” 的常用模式,表達(dá) 了總結(jié)歸納的數(shù)學(xué)思想,這也正是人類熟識新生事

2、物的一般過程；相對而言,猜 想結(jié)論型問題的難度較大些,詳細(xì)題目往往是直觀猜想與科學(xué)論證、詳細(xì)應(yīng)用的 結(jié)合,解題的方法也更為敏捷多樣：運(yùn)算、驗(yàn)證、類比、比較、測量、繪圖、移 動(dòng)等等,都能用到；由于猜想本身就是一種重要的數(shù)學(xué)方法,也是人們探究發(fā)覺新知的重要手段,特別有利于培育制造性思維才能,所以備受命題專家的青睞,逐步成為中考的持 續(xù)熱點(diǎn)；三考點(diǎn)精講 考點(diǎn)一： 猜想數(shù)式規(guī)律 通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或者不等式,然后猜想其中包蘊(yùn)的規(guī)律；一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu),然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的 數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特點(diǎn),改寫成要求的格式；

3、例 1（2022 云南曲靖）將一列整式按某種規(guī)律排成 就排在第六個(gè)位置的整式為x, 2x 2,4x 3, 8x 4,16x 5【分析】符號的規(guī)律： n 為奇數(shù)時(shí),單項(xiàng)式為正號, n 為偶數(shù)時(shí),符號為負(fù)號；系數(shù)的肯定值的規(guī)律：第 n 個(gè)對應(yīng)的系數(shù)的肯定值是 2 n 1指數(shù)的規(guī)律：第 n 個(gè)對應(yīng)的指數(shù)是 n【解答】依據(jù)分析的規(guī)律,得：第六個(gè)位置的整式為：2 6x 6= 32x 6故答案為：32x 6【評注】此題考查的學(xué)問點(diǎn)是單項(xiàng)式,確定單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)時(shí),把一個(gè)單項(xiàng)式分解成數(shù)字因數(shù)和字母因式的積,是找準(zhǔn)單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的關(guān)鍵分別找出單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律也是解決此類問題的關(guān)鍵例 2（2022

4、 山東濟(jì)寧）觀看下面的變形規(guī)律：11211 2；2131 21 ；3311 31 ； 4；4解答下面的問題：1（1）如 n 為正整數(shù),請你猜想n1 n（2）證明你猜想的結(jié)論；a 23（3）求和：112213314 20221 . a 526,a 537就有2022【分析】（1）依據(jù)a 的定義規(guī)章,可知a 234,a 223,a 22a 52a 530（2） 觀看數(shù)表可知, 第 1 問中的 a 22, a 23, a 52, a 53, 恰是 a np , a nk , a mp , a mk , 的詳細(xì)形式,如將 a np , a nk , a mp , a mk , 賦值于不同的行與列,我們

5、不難發(fā)覺 a np a nk a mk a mp 0【解答】（1）1 1n n 1（2）證明：1 1n 1nn 1 n1n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 （3）原式 1111 1 1 111 1 20222 2 3 3 4 2022 2022 2022 2022【評注】歸納猜想題,供應(yīng)的信息是一種規(guī)律,但它隱含在題目中,有待挖掘和開發(fā),一般只要注意觀看數(shù)字（式）變化規(guī)律,經(jīng)歸納便可猜想出結(jié)論本題屬于典型的開放性探究題,其中的分?jǐn)?shù)形式、分母中相鄰兩數(shù)相差 1,都給答案探究供應(yīng)了蛛絲馬跡； 問題設(shè)置層次感較強(qiáng), 遵循了從特別到一般的熟識規(guī)律從培育同學(xué)不完全歸納才能的角度看

6、,不失為一道訓(xùn)練思維的好題考點(diǎn)二： 猜想圖形規(guī)律依據(jù)一組相關(guān)圖形的變化規(guī)律,從中總結(jié)通過圖形的變化所反映的規(guī)律；其中,以圖形為載體的數(shù)字規(guī)律最為常見；猜想這種規(guī)律,需要把圖形中的有關(guān)數(shù)量關(guān)系列式表達(dá)出來,再對所列式進(jìn)行對比,仿照猜想數(shù)式規(guī)律的方法得到最終結(jié)論；例 1（2022 重慶）以下圖形都是由同樣大小的平行四邊形按肯定的規(guī)律組成,其中,第個(gè)圖形中一共有 1 個(gè)平行四邊形,第個(gè)圖形中一共有 5 個(gè)平行四邊形,第個(gè)圖形中一共有 11 個(gè)平行四邊形, 就第個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)為（）A、55 B、42 C、41 D、29 【分析】規(guī)律的歸納：通過觀看圖形可以看到每轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)循環(huán), 10 4 2

7、2,所以應(yīng)和圖相同【解答】圖平行四邊形有 5 個(gè)=1+2+2,圖平行四邊形有 11 個(gè)=1+2+3+2+3,圖平行四邊形有 19=1+2+3+4+2+3+4,4 次后便可重合,即 4 次圖的平行四邊形的個(gè)數(shù)為 1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41應(yīng)選 C【評注】此題是規(guī)律的歸納題,解決此題的關(guān)鍵是讀懂題意,理清題歸納出規(guī)律,然后套用題目供應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系解決問題,具有肯定的區(qū)分度依據(jù)圖形進(jìn)行數(shù)字猜想的問題,關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié),得到其中的規(guī)律,然后利用規(guī)律解決一般問題例 2（2022 浙江舟山）一個(gè)紙環(huán)鏈,紙環(huán)按紅黃綠藍(lán)紫的次序重復(fù)排列,截去其中的一部分,剩下部分如下列圖,就被截去部分

8、紙環(huán)的個(gè)數(shù)可能是（）A、2022 B、2022 C、2022 D、2022 【分析】該紙鏈?zhǔn)?5 的倍數(shù),中間截去的是剩下 3+5n,從選項(xiàng)中數(shù)減 3 為 5的倍數(shù)即得到答案【解答】由題意設(shè)被截去部分為 5n+2+1=5n+3,從其選項(xiàng)中看,應(yīng)選 D【評注】此題考查了圖形的變化規(guī)律,從整體是 截去部分去 3 后為 5 的倍數(shù),從而得到答案考點(diǎn)三： 猜想數(shù)量關(guān)系5 個(gè)不同顏色環(huán)的整數(shù)倍數(shù),數(shù)量關(guān)系的表現(xiàn)形式多種多樣,這些關(guān)系不肯定就是我們目前所學(xué)習(xí)的函數(shù)關(guān)系式；在猜想這種問題時(shí),通常也是依據(jù)題目給出的關(guān)系式進(jìn)行類比,仿照猜 想數(shù)式規(guī)律的方法解答；例 1（2022 江西南昌, 25,10 分）某數(shù)

9、學(xué)愛好小組開展了一次活動(dòng),過程如下：設(shè)BAC=（0 90 ） . 現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線 AB,AC之間,并使小 棒兩端分別落在兩射線上 . 活動(dòng)一：如圖甲所示,從點(diǎn) A1 開頭,依次向右擺放小棒,使小棒與小棒在兩端點(diǎn)處相互垂 直,A1A2為第 1 根小棒 . 數(shù)學(xué)摸索：（1）小棒能無限擺下去嗎？答： .（填“ 能” 或“ 不能” ）（2）設(shè) AA1=A1A2=A2A3=1. = 度；如記小棒 A2n-1A2n的長度為 an（n 為正整數(shù),如的值,并直接寫出 an（用含 n 的式子表示） . 圖甲活動(dòng)二：A1A2=a1, A3A4=a2, ）, 求此時(shí) a2,a3如圖乙所示,從點(diǎn)A1 開頭,

10、用等長的小棒依次向右擺放,其中A1A2 為第 1 根小棒,且 A1A2= AA1. 數(shù)學(xué)摸索：（3）如已經(jīng)向右擺放了 3 根小棒,就1= , 2= , 3 = ；（用含的式子表示）（4）如只能擺放 4 根小棒,求的范疇 . 圖乙【分析】（1）顯而易見,能；（2）22.5 方法一：AA1=A1A2=A2A3=1, A 1A2A2A3,A 1A3= 2 ,AA3=1+ 2 . 又A2A3A3A4,A1A2 A3A4. 同理： A3A4 A5A6, A=AA2A1=AA4A3=AA6A5,AA3=A3A4,AA5=A5A6,a2= A3A4=AA3=1+2 ,a 3=AA3+A3A5=a2+A3A5

11、. A3A5=2 a2, a3=A5A6=AA5=a2+ 2 a2=2 +12. 2 ,AA3=1+ 2 . 方法二：AA1=A1A2=A2A3=1, A 1A2A2A3,A 1A3=又A2A3A3A4,A1A2 A3A4. 同理： A3A4 A5A6, A=AA2A1=AA4A3=AA6A5,a2=A3A4=AA3=1+2,又A2A3A4=A4A5A6=90,A2A4A3=A4A6A5, A2A3A4 A 4A5A6,1a2,a3=2 a =12 +12. a2a3an=2 +1n-1. 312,23,344 由題意得590,15 18 .690【解答】（1）能（2）22.5 an= 2 +

12、1 n-1. 3 1 2,2 3,3 45 904 由題意得 6 90,15 18 .【評注】這是一道典型的歸納猜想型問題,以物理學(xué)中反射的學(xué)問作為命題載體,而三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和,是解決問題的主干數(shù)學(xué)學(xué)問；例 2（2022 浙江衢州）ABC是一張等腰直角三角形紙板,CRt,ACBC2. 1）,比要在這張紙板中剪出一個(gè)盡可能大的正方形,有甲、乙兩種剪法（如圖較甲、乙兩種剪法,哪種剪法所得的正方形面積更大？請說明理由. AAME DQ NC F B C P B（圖 1）（圖 2）圖 1 中甲種剪法稱為第 1 次剪取,記所得的正方形面積為 S ；依據(jù)甲種剪法,在余下的 ADE 和 BD

13、F 中,分別剪取正方形,得到兩個(gè)相同的正方形,稱為第 2 次剪取,并記這兩個(gè)正方形面積和為 S 如圖 2 ,就 S 2=；再在余下的四個(gè)三角形中,用同樣的方法分別剪取正方形,得到四個(gè)相同的正方形,稱為第 3 次剪取,并記這四個(gè)正方形的面積和為 S 如圖 3 ；連續(xù)操作下去 就第 10 次剪取時(shí),S 10 . 求第 10 次剪取后,余下的全部小三角形的面積和 . 【分析】解決問題的關(guān)鍵看內(nèi)接正方形的一邊與三角形重合的邊落在三角形的哪條邊上,通過對例題的分析,直角三角形的內(nèi)接正方形有兩種,比較兩者的大小,可知,直角邊上的內(nèi)接正方形的邊長比斜邊上的內(nèi)接正方形的邊長大；CFDE1.【解答】 1 解法

14、1：如圖甲,由題意得AEDEEC,即EC1,S正方形如圖乙,設(shè) MNx ,就由題意,得AMMQPNNBMNx,3x2 2,解得x2 23S正方形PNMQ2 22839又Q189甲種剪法所得的正方形的面積更大說明：圖甲可另解為：由題意得點(diǎn)1D、E、F 分別為 AB、AC、BC的中點(diǎn),S 正方形CFDE1SVABC1EC,即 EC=1x2解法 2：如圖甲,由題意得AEDE如圖乙,設(shè)MNx ,就由題意得AMMQQPPNNBMN3x2 2,解得x2 2113又Q12 2,即ECMN3甲種剪法所得的正方形的面積更大2S 2123S 1019 23 解法 1：探究規(guī)律可知：S n21nLS 102111L

15、剩余三角形的面積和為：2S 1S 2292924解法 2：由題意可知,第一次剪取后剩余三角形面積和為2S 1=1= S 111S 2其次次剪取后剩余三角形面積和為S 1S 2122第三次剪取后剩余三角形面積和為S 2S 31 211S 344 第十次剪取后剩余三角形面積和為S 9S 10S 10=19 2【評注】類比思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不行缺少的一種數(shù)學(xué)方法,它可以使一些數(shù) 學(xué)問題簡潔化,也可以使我們的思維更加寬闊；數(shù)學(xué)思維出現(xiàn)形式是隱藏的,難 以從教材中獵取,這就要求在教學(xué)過程中,有目的地進(jìn)行思維訓(xùn)練,通過思維類 比,不斷在解決問題中深化引導(dǎo),同學(xué)的數(shù)學(xué)思維才能就會得到相應(yīng)的提高；考點(diǎn)四： 猜想

16、變化情形 隨著數(shù)字或圖形的變化,它原先的一些性質(zhì)有的不會轉(zhuǎn)變,有的就發(fā)生了變 化,而且這種變化是有肯定規(guī)律的；比如,在幾何圖形按特定要求變化后,只要 本質(zhì)不變,通常的規(guī)律是“ 位置關(guān)系不轉(zhuǎn)變,乘除乘方不轉(zhuǎn)變,減變加法加變減,正號負(fù)號要互換” ；這種規(guī)律可以作為猜想的一個(gè)參考依據(jù)；例 1（2022 河北）將正方體骰子（相對面上的點(diǎn)數(shù)分別為 1 和 6、 2 和 5、 3 6-1 在圖 6-2 中,將骰子向右翻動(dòng) 90 ,然后在 和 4）放置于水平桌面上,如圖 桌面上按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90 ,就完成一次變換如骰子的初始位置為圖 6-1 所示的狀態(tài),那么按上述規(guī)章連續(xù)完成10 次變換后,骰子朝上一面

17、的點(diǎn)數(shù)是向右翻動(dòng) 90逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90圖 6-1 B5 C3 圖 6-2 D2 A6 【分析】 不妨把立體圖形用平面的形式表現(xiàn)出來；如右圖所示；前三次變換過程為下圖所示：可以發(fā)覺,三次變換可仍原成初始狀態(tài)；十次意味著三輪仍原后又變換了一 次,所以狀態(tài)為上圖所示,骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)是 5 ；【解答】 B；【評注】 歷年以“ 骰子” 形式顯現(xiàn)的中考題不在少數(shù)；此題以考查同學(xué)空間 想象才能為動(dòng)身點(diǎn),將空間轉(zhuǎn)化融入到正方體的旋轉(zhuǎn)中；正方體表面綻開圖識別 對面本不難,但這樣一來難度陡然上升；三次變換循環(huán)的規(guī)律也要煞費(fèi)周折；有 點(diǎn)動(dòng)手操作題的味道；題目出現(xiàn)方式敏捷,考查形式新奇,使日常熟識的東西平中見奇；要

18、求考生有很強(qiáng)的空間感,給平?？克烙浻脖车梅值耐瑢W(xué)一個(gè)下馬威,也給教學(xué)中不重視動(dòng)手探究的老師敲響了警鐘；例 2. （2022 湖南邵陽）數(shù)學(xué)課堂上,徐老師出示了一道試題：如圖（十）所示,在正三角形ABC中,M是 BC邊（不含端點(diǎn) B,C）上任意一點(diǎn),P是 BC延長線上一點(diǎn),N是ACP的平分線上一點(diǎn),如 AMN=60 ,求證：AM=MN（1）經(jīng)過摸索,小明展現(xiàn)了一種正確的證明過程,請你將證明過程補(bǔ)充完整；證明：在 AB上截取 EA=MC,連結(jié) EM,得 AEM；1=180 - AMB-AMN,2=180 - AMB -B, AMN=B=60 ,1=2. 又CN、平分 ACP, 4=1ACP=60

19、；2MCN=3+4=120 ； 又BA=BC,EA=MC, BA-EA=BC-MC,即 BE=BM； BEM為等邊三角形, 6=60 ；5=10 - 6=120 ； 由得 MCN=5. 在 AEM和 MCN中,_,_,_, AEM MCN（ASA）；AM=MN. 2 如將試題中的 “ 正三角形 ABC” 改為“ 正方形 A1B1C1D1” 如圖 ,N1 是D1C1P1 的平分線上一點(diǎn),就當(dāng) A1M1N1=90 時(shí),結(jié)論 A1M1=M1N1是否仍成立？（直接給出答案,不需要證明）ABC” 改為“ 正多邊形AnBnCnDn Xn”,請你猜想：（3）如將題中的“ 正三角形當(dāng)AnMnNn=_ 時(shí),結(jié)論

20、 AnMn=MnNn 仍舊成立？（直接寫出答案,不需要證明）【分析】證明線段相等,三角形全等是一種重要的方法；依據(jù)題目條件,結(jié) 合圖形,對應(yīng)邊角仍是不難找的；關(guān)鍵是到正方形、正多邊形,哪些條件變了,哪些沒變；【解答】（1） 5=MCN,AE=MC,2=1；（2）結(jié)論成立；（3）n 2 180 0；n【評注】三角形全等的判定是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)學(xué)問,第一問明顯考查“ 角邊角” 方法的條件查找；而從三角形到正方形的變化,抓住不變的東西,透視問題的本質(zhì),也不難得到正確答案；再到正多邊形,是一個(gè)質(zhì)的飛躍；在這道題中,先探討簡潔情形下存在的某個(gè)結(jié)論,然后進(jìn)一步推廣到一般情形下,原先結(jié)論是否成立,此題題型新

21、奇是個(gè)不行多得的好題,有利于培育同學(xué)的思維才能,難度不算大,具有肯定的區(qū)分度四真題演練1. （ 2022 四 川 成 都 ） 設(shè) S 1 =1 12 12 , S 2 =1 12 12 , S 3 =1 12 12 , , 1 2 2 3 3 41 1S n =1 2 2n n 1設(shè) S S 1 S 2 . S ,就 S=_ 用含 n 的代數(shù)式表示,其中 n為正整數(shù) 2. （2022 內(nèi)蒙古烏蘭察布）將一些半徑相同的小圓按如下列圖的規(guī)律擺放,請仔細(xì)觀看,第 n 個(gè)圖形 有 個(gè)小圓 . （用含 n 的代數(shù)式表示）第 1 個(gè)圖形 第 2 個(gè)圖形 第 3 個(gè)圖形 第 4 個(gè)圖形第 1 個(gè)圖形 第 1

22、8 題圖3（2022 河北）如圖 9,給正五邊形的頂點(diǎn)依次編號為1,2,3,4,5. 如從某一頂點(diǎn)開頭,沿正五邊形的邊順時(shí)針行走, 頂點(diǎn)編號的數(shù)字是幾, 就走幾個(gè)邊長,就稱這種走法為一次“ 移位”. 5 1 2 如：小宇在編號為 3 的頂點(diǎn)時(shí), 那么他應(yīng)走 3 個(gè)邊長,即從 3451 為第一次“ 移位” ,這時(shí)他到達(dá)編號為1 的頂點(diǎn)；然后從 12 為其次次“ 移位”. 如小宇從編號為 2 的頂點(diǎn)開頭,第10 次“ 移位” 后,就他所處頂點(diǎn)的編號是 _. 4 圖 9 3 4. （2022 四川內(nèi)江）閱讀懂得：我們知道,任意兩點(diǎn)關(guān)于它們所連線段的中點(diǎn)成中心對稱,在平面直角坐標(biāo)系中,任意兩點(diǎn) Px1

23、,y1 、Qx2,y2 的對稱中心的坐標(biāo)為（x1x2 2,y1y2 2）. 觀看應(yīng)用：（1）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,如點(diǎn) 就點(diǎn) A的坐標(biāo)為；P10,1 、P22,3 的對稱中心是點(diǎn) A,（2）另取兩點(diǎn) B1.6 ,2.1 、C1,0. 有一電子青蛙從點(diǎn) P1 處開頭依次關(guān)于點(diǎn) A、B、C作循環(huán)對稱跳動(dòng),即第一次跳到點(diǎn) P1關(guān)于點(diǎn) A 的對稱點(diǎn) P2 處,接著跳到點(diǎn) P2關(guān)于點(diǎn) B的對稱點(diǎn) P3處,第三次再跳到點(diǎn) P3 關(guān)于點(diǎn) C的對稱點(diǎn) P4處,第四次再跳到點(diǎn) P4 關(guān)于點(diǎn) A 的對稱點(diǎn) P5 處, 就 P3、P8 的坐標(biāo)分別為,; 拓展延長：（3）求出點(diǎn) P2022的坐標(biāo),并直接寫出在 形

24、的點(diǎn)的坐標(biāo) . yB P2x 軸上與點(diǎn) P2022、點(diǎn) C構(gòu)成等腰三角COxP1答案：1. n22n=11n112211=1 112. 211n1S n11n12 12. n2nn nn nn n=1112n n213+1314+ +111n22nS=11+11 2n nn111n11即可求和接下去利用拆項(xiàng)法n n1nn n14或n2n43. 依據(jù)“ 移位” 的特點(diǎn),然后依據(jù)例子查找規(guī)律,從而得出結(jié)論小宇在編號為 3 的頂點(diǎn)上時(shí),那么他應(yīng)走3 個(gè)邊長,即從 3451 為第一次“ 移位” ,這時(shí)他到達(dá)編號為 1 的頂點(diǎn)；然后從 12 為其次次“ 移位” ,34512 五個(gè)頂點(diǎn)五次移位為一個(gè)循環(huán)返

25、回頂點(diǎn) 3,同理可得：小宇從編號為 仍回到頂點(diǎn) 3故答案為： 32 的頂點(diǎn)開頭,第 10 次“ 移位” ,即連續(xù)循環(huán)兩次,故4. 設(shè) A、P3、P4、 、Pn點(diǎn)的坐標(biāo)依次為 x ,y 、x3 ,y3 、x4 ,y4 、 、xn ,ynn 3,且為正整數(shù) . （1）P10,1 、P22,3 ,x02 21,y131,A（1,1）（2）點(diǎn) P3與 P2關(guān)于點(diǎn) B成中心對稱,且2x3 2 1.6 ,3y3 22.1 ,解得 x3 5.2 ,y31.2 ,P35.2 ,1.2. B1.6 ,2.1, 點(diǎn) P4與 P3關(guān)于點(diǎn) C成中心對稱,且 C1,0, 5.2 x4 2 1,1.2 y3 20,解得

26、x43.2 ,y4 1.2 ,P43.2 , 1.2 . 同理可得 P51.2 ,3.2 P6 2,1 P70,1 P8 2, 3.（3）P10,1 P22,3 P3 5.2 ,1.2. P43.2 ,1.2 P5 1.2 ,3.2 P6 2,1 P70,1 P8 2, 3 6 為周期循P7 的坐標(biāo)和 P1 的坐標(biāo)相同, P8的坐標(biāo)和 P2 的坐標(biāo)相同,即坐標(biāo)以環(huán),2022 6335 2,P2022的坐標(biāo)與 P2 的坐標(biāo)相同,為 P2022 2 ,3; 在 x 軸上與點(diǎn) P2022、點(diǎn) C構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)為（321,0 ）,（2,0 ）,（321,0 ）,（5,0 ）其次部分 練習(xí)部分

27、1. （2022 湖南常德）先找規(guī)律,再填數(shù)：1111 1 ,2 3111 1,12 5111 1,30 7111,1242638456.就 1 + 1 _ 1 .2022 2022 2022 20222. （2022 四川內(nèi)江）同學(xué)們,我們曾經(jīng)討論過 n n 的正方形網(wǎng)格,得到了網(wǎng)格中正方形的總數(shù)的表達(dá)式為 1 2+2 2+3 2+ +n 2但 n 為 100 時(shí),應(yīng)如何運(yùn)算正方形的詳細(xì)個(gè)數(shù)呢 .下面我們就一起來探究并解決這個(gè)問題第一,通過探究我們已經(jīng)知道 0 1+1 2+2 3+ +n1 n=1 nn+1n 1 時(shí),我們可以這樣做：31 觀看并猜想：1 2+2 2=1+0 1+1+1 2=

28、1+0 1+2+1 2=1+2+0 1+1 2 1 2+2 2+3 2=1+0 1+1+1 2+1+2 3 =1+0 1+2+1 2+3+2 3 =1+2+3+0 1+1 2+2 3 1 2+2 2+3 2+4 2=1+0 1+1+1 2+1+2 3+ =1+0 1+2+1 2+3+2 3+ =1+2+3+4+ 2 歸納結(jié)論：1 2+2 2+3 2+ +n 2=1+0 1+1+1 2+1+2 3+ +1+n 1n =1+0 1+2+1 2+3+2 3+ +n+n 一 1 n = + = + =163 實(shí)踐應(yīng)用：通過以上探究過程,我們就可以算出當(dāng)個(gè)數(shù)是n 為 100 時(shí),正方形網(wǎng)格中正方形的總3

29、. （2022 廣東肇慶）如下列圖,把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上,依據(jù)這樣的規(guī)律擺下去,就第 n （ n 是大于 0 的整數(shù)）個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是4. （2022 廣東東莞）如圖 1 ,將一個(gè)正六邊形各邊延長,構(gòu)成一個(gè)正六角星形 AFBDCE,它的面積為 1,取 ABC和 DEF各邊中點(diǎn),連接成正六角星形 A1F1B1D1C1E1,如圖2 中陰影部分；取A1B1C1和1D1E1F1各邊中點(diǎn),連接成正六 角星形 A2F2B2D2C2E 2F 2,如圖 3 中陰影部分；如此下去 ,就正六角星形 AnFnBnDnCnE nF n 的面積為 . 5（2022 廣東汕頭）如下數(shù)表是由從

30、 各題的解答 . 1 開頭的連續(xù)自然數(shù)組成,觀看規(guī)律并完成有（1）表中第 8 行的最終一個(gè)數(shù)是,它是自然數(shù)的平方,第 8 行共個(gè)數(shù)；是（2）用含n 的代數(shù)式表示：第n 行的第一個(gè)數(shù)是,最終一個(gè)數(shù),第 n 行共有個(gè)數(shù)；（3）求第 n 行各數(shù)之和6. （2022 四川涼山）我國古代數(shù)學(xué)的很多發(fā)覺都曾位居世界前列,其中“ 楊輝三角” 就是一例；如圖,這個(gè)三角形的構(gòu)造法就：兩腰上的數(shù)都是 1,其余每個(gè)n數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和,它給出了 a b（n 為正整數(shù)）的綻開式（按 a的次數(shù)由大到小的次序排列）的系數(shù)規(guī)律；例如,在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1,2,1,恰好對應(yīng)ab23a23 a2ab2 b 綻開式中

31、的系數(shù) ; 第四行的四個(gè)數(shù) 1,3,3,1,恰好對應(yīng)著ab2 3 a b2 3 ab2 b 綻開式中的系數(shù)等等；1 1 1 （a+b）1 1 2 1 （a+b）2 1 3 3 1 （a+b）3 5（1）依據(jù)上面的規(guī)律,寫出 a b 的綻開式；（2）利用上面的規(guī)律運(yùn)算：2 55 2 410 2 310 2 25 2 17. （2022 江蘇南通）如圖,三個(gè)半圓依次相外切,它們的圓心都在 x 軸上,并與3直線 y3 x 相切設(shè)三個(gè)半圓的半徑依次為 r 1、r 2、r 3,就當(dāng) r 11 時(shí),r 3yO O1O2O3x8.（20XX年湖北恩施） 1 運(yùn)算 : 如圖 10, 直徑為 a 的三等圓O 1

32、、O 2 、O3兩兩外切,切點(diǎn)分別為A、B、C ,求 O1A 的長（用含 a 的代數(shù)式表示） . 圖 10 （2）探究 : 如干個(gè)直徑為 a 的圓圈分別按如圖 10所示的方案一和如圖 10所 示的方案二的方式排放,探究并求出這兩種方案中 n 層圓圈的高度 h 和（用含 n 、 a的代數(shù)式表示） . （3）應(yīng)用: 現(xiàn)有長方體集裝箱,其內(nèi)空長為5 米,寬為 3.1 米,高為 3.1 米.用這樣的集裝箱裝運(yùn)長為 5 米,底面直徑（橫截面的外圓直徑）為 0.1 米的圓柱形鋼管, 你認(rèn)為采納 （2）中的哪種方案在該集裝箱中裝運(yùn)鋼管數(shù)最多？并求出一個(gè)這樣的集裝箱最多能裝運(yùn)多少根鋼管？（3 1.73 ）答案

33、：1. 1 10062. （1+3） 4 4+3 4 0 1+1 2+2 3+3 4 1+2+3+ +n 0 1+1 2+2 3+ +n-1 n 3.nn1 n n211 3nn+1n 1 nn+12n+12 4. 14n5. （1）64,8,15；（2）n121,2 n , 2 n1；（3）第 2 行各數(shù)之和等于 3 3；第 3 行各數(shù)之和等于2等于 7 7-13；類似的,第 n 行各數(shù)之和等于 2 n 1 n5 5 4 3 2 2 3 4 56. a b a 5 a b 10 a b 10 a b 5 ab b5 7；第 4 行各數(shù)之和3 2n 1 = 2 n 3 n 3 n 1 .原式

34、=5 25 24110 23122 10 213521415 =25 1 =1 3 7. 設(shè)直線 y3 x 與三個(gè)半圓分別切于 A,B,C,作 AE X軸于 E,就在 Rt.AEO 1中,易得 AOE=EAO 1=30 0,由 r 11 得 EO=1 2,AE=12 3,OE=3 2,OO 1=2；就；Q R t AOO 1R t BOO 2r r 12 OO OO 12 r 12 3 2r 2 r 2 3同理,Q R t AOO 1R t COO 3 r 1 OO 1 1 2 r 3 9；r 3 OO 3 r 3 9 r 38. 1 O 1、O 2 、O3 兩兩外切,O1O2 =O2 O3=

35、O1O3=a 又O 2 A= O3 A O1AO 2 O3O1A=a21a 24. =3a2（2）h = n a=3n1aa23方案二裝運(yùn)鋼管最多即：按圖10的方式排放鋼管,放置根數(shù)最多依據(jù)題意,第一層排放31 根,其次層排放30 根,設(shè)鋼管的放置層數(shù)為n, 可得3 n 210 .10 .131.解得n35 . 68 n為正整數(shù) n =35 鋼管放置的最多根數(shù)為： 31 18+30 17=1068（根）【答案】1. （1）1 2 2 3 3 4 10 11= 1 1 2 3 0 1 2 + 1 2 3 4 1 2 3 + + 1 10 11 12 9 10 11 3 3 3= 1 10 11

36、123=440（2）1n n 1 n 2 3（3）1 2 3 2 3 4 3 4 5 7 8 9= 1 1 2 3 4 0 1 2 3 + 1 2 3 4 5 1 2 3 4 4 4+ + 1 7 8 9 10 6 7 8 9 4= 1 7 8 9 104=1260 2. 依據(jù)如下列圖的運(yùn)算程序,分情形列出算式,當(dāng) x 為偶數(shù)時(shí),結(jié)果為 1 ；當(dāng) x x2為奇數(shù)時(shí),結(jié)果為 1 x 3,如開頭輸入的 x 值為 48,我們發(fā)覺第一次輸出的結(jié)果2為 24,其次次輸出的結(jié)果為 12,第三次輸出的結(jié)果為 6,第四次輸出的結(jié)果為 3,第五次輸出的結(jié)果為 3,以后每次輸出的結(jié)果都是 3所以挑選 B；3. 圖案是一圈一圈的；可以依據(jù)每圈中棋子的個(gè)數(shù)得出規(guī)律；第 1 個(gè)圖案需要 716 枚棋子,第 2 個(gè)圖案需要 191612 枚棋子,第 3 個(gè)圖案需要 37161218 枚棋子,由此規(guī)律可得第 6 個(gè)圖案需要 1612 3 （ 61）枚棋子,第 n 個(gè)圖案需要 1612 3 （n1）13 2 3 （n1）3 n 23 n 1 枚棋子；所以,擺第 6 個(gè)圖案需要 127 枚棋子,擺第 n 個(gè)圖案需要23 n 3 n 1 枚棋子4. 正 A1B