（二項式定理）人教版高中數(shù)學選修2-3教學課件（第1.3.1課時）

1、講解人：精品課件 時間：2020.6.1PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3 1.3.1 二項式定理第1章 計數(shù)原理人教版高中數(shù)學選修2-3第一頁，共二十五頁。先看下面的問題 若今天是星期一，再過810天后的那一天是星期幾？課前導入第二頁，共二十五頁。在初中，我們已經(jīng)學過了 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3(a+b)2(a+b)a3+3a2b+3ab2+b3觀察 對于(a+b)4，(a+b)5 如何展開?課前導入(a+b)100又怎么辦？ (a+b)n (nN+)呢？我們知道，事物之間或多或少存在

2、著規(guī)律. 這節(jié)課，我們就來研究(a+b)n的二項展開式的規(guī)律性.第三頁，共二十五頁。規(guī)律：(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b) =a3+3a2b+ 3ab2+b3 (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b) =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4新知探究第四頁，共二十五頁。 如何從組合知識得到(a+b)4展開式中各項的系數(shù)? (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(1)若每個括號都不取b，只有一種取法

3、得到a4；(2)若只有一個括號取b，共有種取法得到a3b；(3)若只有兩個括號取b，共有種取法得到a2b2；(4)若只有三個括號取b，共有種取法得到ab3；(5)若每個括號都取b，共有種取法得b4.新知探究第五頁，共二十五頁。1 二項式定理 新知探究知識要點第六頁，共二十五頁。 如何證明上述猜想呢？證明：由于(a+b)n是（a+b）相乘，每個（a+b）在相乘時有兩種選擇，選a或b，而且每個（a+b）中的a或b都選定后，才能得到展開式的一項.因此，由分步乘法計數(shù)原理可知，在合并同類項之前， (a+b)n的展開式共有2n項，其中每一項都是an-kbk（k=0，1，n）的形式.新知探究對于某個k（

4、），對應的項an-kbk是由n-k個（a+b）中選a，k個（a+b）中選b得到的. 由于b選定后，a的選法也隨之確定. 因此， an-kbk出現(xiàn)的次數(shù)相當于從n個(a+b)中取k個b的組合數(shù) . 這樣，(a+b)n的展開式中， an-kbk共有 個，將它們合并同類項，就可以得到二項展開式：第七頁，共二十五頁。對二項式定理的理解 （1）它有n+1項; （2）各項的次數(shù)都等于二項式的次數(shù)n; （3）字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0;字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n.新知探究第八頁，共二十五頁。2 二項式系數(shù) 我們看到的二項展開式共有n+1項，其中各項的系數(shù) ( )叫做二項式系數(shù)（binomia

5、l coefficient）.新知探究知識要點3 通項 式中的 叫做二項展開式的通項，用 Tk+1 表示，即通項為展開式的第k+1項：第九頁，共二十五頁。對通項的理解 （1）它是(a+b)n的展開式的第k+1項，這里k=0，1，2，n; （2）字母a，b是一種“符號”，實際上它們可以是數(shù)、式及其它什么的，只要具備二項式的形式就可以用定理寫出展開式; （3）展開式是對(a+b)n這個標準形式而言的，還可以對等式進行變形.新知探究第十頁，共二十五頁。例題1用二項式定理展開下列各式：思考（1）如何求展開式中的第三項？ （2）如何求展開式中第三項的系數(shù)？方法（1）用定理展開，再找指定項； （2）用通項

6、公式.新知探究第十一頁，共二十五頁。解:新知探究（2）先將原式化簡，再展開，得第十二頁，共二十五頁。例題21. 的展開式中，第五項是（ ） A. B. C. D.2. 的展開式中，不含a的項是第（ ） A.7 項 B.8 項 C.9 項 D.6項 新知探究答案： (1) B (2) A第十三頁，共二十五頁。例題3求近似值（精確到0.001）（1）(0.997)3 （2）(1.002)6分析：（1）(0.997)3=(1-0.003)3（2）(1.002)6=(1+0.002)6 類似這樣的近似計算轉(zhuǎn)化為二項式定理求展開式，按精確度展開到一定項.新知探究第十四頁，共二十五頁。例題4 4.求二項式

7、 的展開式中的有理項.分析：方法一用通項公式（適用于任意次冪） 方法二用定理展開（次數(shù)較小時使用）答案：新知探究第十五頁，共二十五頁。 1. 在 的展開式中，常數(shù)項是_. A.14 B.14 C.42 D. 42 課堂練習解析： 則k=6，故展開式中的常數(shù)項是,選答案A.令第十六頁，共二十五頁。 2.在(x-a)10的展開式中，x7的系數(shù)是15，則實數(shù)a的值為_.-1/2解析：課堂練習第十七頁，共二十五頁。1.填空 （1）(x+2)10(x2-1)的展開式中x10的系數(shù)為_. （2）在(x-1)11的展開式中，x的偶次冪的所有項的系數(shù)的和為_ .1.179-210課堂練習第十八頁，共二十五頁。

8、 2.選擇 （1）( i)12展開式中所有奇數(shù)項的和是( ) A.-1B.1 C.0 D.i （2） 數(shù)11100-1的末尾連續(xù)的零的個數(shù)是( ) A.0B.3 C.5 D.7課堂練習第十九頁，共二十五頁。)rC12r3.解答題（1）求( + )12展開式中所有的有理數(shù)項.解： 通項為Tr+1C12r()12-r(r0,1,2，12)，為得有理數(shù)項，只需r是6的倍數(shù)，即r0,6,12，即有理數(shù)項為T1C1202416，T7C126223399792，T13C121236729.課堂練習第二十頁，共二十五頁。 （2）二項式 的展開式中第三項系數(shù)比第二項系數(shù)大44，求第4項的系數(shù). 分析：由第三項

9、系數(shù)比第二項系數(shù)大44先求n， 再由通項求第四項系數(shù).答案：165課堂練習第二十一頁，共二十五頁。(3) 某班有男、女學生各n人，現(xiàn)在按照男生至少一人，女生至多n人選法，將選出的學生編成社會實踐小組，試證明：這樣的小組的選法共有2n(2n-1)種.證：依題意，這些小組中女生人數(shù)分別是Cn0，Cn1,Cn2,Cnn個.對于上述女生人數(shù)的每種情況，男生人數(shù)可以有Cn0，Cn1,Cn2,Cnn個。課堂練習第二十二頁，共二十五頁。根據(jù)乘法原理和加法原理可得 Cn0Cn1+Cn0Cn2+Cn0Cnn+Cn1Cn1+Cn1Cn2+Cn2Cn1+Cn2Cn2+Cn2Cnn+CnnCn1+ Cnn Cn2+

10、Cnn Cnn Cn0(Cn1+Cn2+ Cnn)+Cn1 (Cn1+Cn2+ Cnn)+Cn2(Cn1+Cn2+Cnn)+Cnn(Cn1+Cn2+ Cnn) (Cn1+Cn2+ Cnn)(Cn0 +Cn1+Cn2+ Cnn) (2n-1)2n 依題意所編成的小組共有2n(2n-1)個.課堂練習第二十三頁，共二十五頁。1.二項式定理二項式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnran-rbr+Cnnbn是通過不完全歸納法，并結(jié)合組合的概念得到展開式的規(guī)律性，然后用數(shù)學歸納法加以證明. 課堂小結(jié)2.二項式定理的特點 (1)項數(shù)：共n+1項,是關于a與b的齊次多項式 (2)系數(shù) (3)指數(shù) ：a的指數(shù)從n逐項遞減到0