一類可壓縮超彈性圓柱體軸線上的空穴現(xiàn)象-

1、一類可壓縮超彈性圓柱體軸線上的空穴現(xiàn)象*論文導(dǎo)讀:：對(duì)于由一類均勻各向同性可壓縮的廣義Varga材料組成的實(shí)心圓柱體，研究其在給定的外外表拉伸和軸向拉伸或壓縮共同作用下的軸對(duì)稱變形問(wèn)題利用能量變分原理得到了問(wèn)題的控制方程和邊界條件，并求得了描述柱體徑向?qū)ΨQ變形的參數(shù)型解析解和描述圓柱體軸線上空穴生成和增長(zhǎng)的空穴分岔解給出了與泊松比和軸向伸長(zhǎng)相關(guān)的徑向臨界伸長(zhǎng)的表達(dá)式和空穴生成后的應(yīng)力表達(dá)式；并通過(guò)數(shù)值算例討論了這些參數(shù)對(duì)圓柱體軸線上空穴生成和增長(zhǎng)、圓柱體的徑向位移以及應(yīng)力的集中和突變的影響，同時(shí)給出了相應(yīng)的數(shù)值模擬論文關(guān)鍵詞：可壓縮超彈性材料，軸對(duì)稱變形，軸向伸長(zhǎng)，應(yīng)力的集中和突變，空穴分岔0

2、 引言橡膠和類橡膠材料在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用是有目共睹的由于這些材料的制品都是在一定環(huán)境和載荷下使用的，因此它們都會(huì)遇到變形、失穩(wěn)、使用壽命有限以及破壞等問(wèn)題從力學(xué)性能上講，橡膠和類橡膠材料具有復(fù)雜的分子特性以及材料和幾何的雙重非線性性質(zhì)，這些材料同時(shí)又稱為超彈性材料或Green彈性材料，它們的本構(gòu)關(guān)系可完全由其應(yīng)變能函數(shù)表示【1】在涉及超彈性領(lǐng)域的眾多問(wèn)題中，材料和結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性一直是人們關(guān)注的焦點(diǎn)，而材料中空穴的生成、增長(zhǎng)以及相鄰空穴的貫穿是材料局部損傷和破壞的重要機(jī)理在實(shí)驗(yàn)方面，文獻(xiàn)【2】早在1958年便證實(shí)了硫化橡膠材料內(nèi)部有空穴突然生成的現(xiàn)象但是在理論研究方面，直到1982年才由文獻(xiàn)【3

3、】將空穴的生成與增長(zhǎng)歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)模型的分岔問(wèn)題文獻(xiàn)【4】和【5】對(duì)近些年來(lái)關(guān)于橡膠和類橡膠材料中空穴現(xiàn)象在理論方面的研究進(jìn)展進(jìn)行了綜述特別地，文獻(xiàn)研究了幾類可壓縮超彈性球體中的空穴現(xiàn)象，并且給出了軸對(duì)稱變形問(wèn)題的解析解以及空穴分岔解然而，對(duì)于不同類型的可壓縮超彈性材料，由于其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能函數(shù)形式有所不同，從而導(dǎo)致研究方法有很大的差異，所研究的問(wèn)題是否存在解析解也是不可預(yù)知的本文的目的是研究可壓縮的超彈性圓柱體在徑向拉伸和軸向拉伸或壓縮的共同作用下，圓柱體軸線上的空穴現(xiàn)象，其中圓柱體是由一類可壓縮的廣義Varga材料組成的首先建立了軸對(duì)稱變形問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型；然后求得了問(wèn)題的參數(shù)型解析解和空穴分

4、岔解，以及徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力的表達(dá)式；最后通過(guò)數(shù)值算例討論了軸向伸長(zhǎng)對(duì)圓柱體軸線上空穴的伸長(zhǎng)和增長(zhǎng)的影響，并且對(duì)圓柱體內(nèi)部的徑向位移、應(yīng)力的集中和突變進(jìn)行了相應(yīng)的數(shù)值模擬1 問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述1.1 控制方程和邊界條件假設(shè)半徑為的無(wú)限長(zhǎng)實(shí)心圓柱體由均勻各向同性的可壓縮超彈性材料組成，考察圓柱體在外外表均布的徑向拉伸和軸向拉伸或壓縮共同作用下的有限變形問(wèn)題如圖1所示在柱坐標(biāo)系下，變形前后的柱體中的點(diǎn)分別表示為和，并且取坐標(biāo)系的原點(diǎn)在圓柱體橫截面的中心處在徑向?qū)ΨQ變形的假設(shè)下雜志網(wǎng)，變形分量和主伸長(zhǎng)分別表示為(1)(2)其中是待求的徑向變形函數(shù)，是預(yù)先給定的軸向伸長(zhǎng)，表示關(guān)于自變量的導(dǎo)數(shù)容易看到，假設(shè)

5、，那么圓柱體在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中仍是實(shí)心的；假設(shè)，那么在圓柱體的軸線上有半徑為的圓柱形空穴生成，此時(shí)假設(shè)空穴外表是無(wú)約束的此外，為了確保變形是徑向?qū)ΨQ的，在上必須有，于是由式(2)得到(3)圓柱體變形后的總勢(shì)能為(4)其中是組成圓柱體的 圖1 實(shí)心圓柱體受徑向拉伸和軸向伸長(zhǎng)作用的示意圖可壓縮超彈性材料的應(yīng)變能函數(shù)由式(2) Fig.1 Sketch map of solid cylinder under radialtension and可知，總勢(shì)能(4)是關(guān)于的函數(shù) axial stretch由能量變分原理并結(jié)合式(2)，可得如下的Euler-Lagrange方程(5)對(duì)應(yīng)于徑向?qū)ΨQ變形的Cauch

6、y應(yīng)力張量的主元素為， (6)假定在圓柱體的外外表上給定徑向伸長(zhǎng) ，于是有邊界條件(7)在圓柱體中心滿足的邊界條件為(8)式(8)表示：假設(shè)圓柱體內(nèi)部沒(méi)有空穴生成，那么；假設(shè)在圓柱體中心有空穴生成，即，那么對(duì)不受約束的空穴外表，有1.2 應(yīng)變能函數(shù)眾所周知，各向同性超彈性材料的本構(gòu)關(guān)系可以完全由其應(yīng)變能函數(shù)(9)來(lái)描述，其中是應(yīng)變張量的主值，是的對(duì)稱函數(shù)在自然狀態(tài)下，為了保證各向同性的超彈性材料對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能函數(shù)的線性化與經(jīng)典的線性理論一致，應(yīng)變能函數(shù)應(yīng)滿足的如下的約束條件【1】，(10)這里和分別為材料的剪切模量和泊松比，此外，將應(yīng)變能函數(shù)表示為應(yīng)變張量的主不變量和的函數(shù)，即，(11)其中,

7、(12)和分別是主不變量和的非線性函數(shù)，且均為二次連續(xù)可微的；本文中，考慮如下一類特殊的可壓縮超彈性材料模型，其應(yīng)變能函數(shù)的形式為(13)其中是材料常數(shù)，是二次連續(xù)可微的非線性函數(shù)特別地，當(dāng)是的線性函數(shù)時(shí)，式(13)稱為可壓縮的Varga材料模型，因此稱式(13)為可壓縮的廣義Varga材料模型由正規(guī)化條件(10)，有，(14)其中表示對(duì)宗量的導(dǎo)數(shù)另一方面，為了確保材料的力學(xué)行為的合理性，應(yīng)變能函數(shù)還必須滿足強(qiáng)凸性條件【1】，從而有(15)至此，由各向同性可壓縮的廣義Varga材料模型(13)組成的圓柱體在給定的外表徑向伸長(zhǎng) 和軸向拉伸壓縮共同作用下的軸對(duì)稱變形問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型由根本控制方程(5

8、)、應(yīng)變能函數(shù)(13)，邊界條件(7)和(8)組成2 控制方程的解及其定性分析2.1 參數(shù)型解析解和空穴分岔解顯然雜志網(wǎng)，對(duì)任意給定的，控制方程的一個(gè)平凡解稱為均勻變形解為(16)它對(duì)應(yīng)于柱體內(nèi)部的徑向位移將式(13)代入到方程(5)，那么有(17)其中由式(12)3給出由式(2)可知，且根據(jù)式(15)，從而得到 (18) 其中是一個(gè)積分常數(shù)由式(18)不難得到徑向變形函數(shù)的通解形式為(19)其中也是一個(gè)積分常數(shù)下面利用邊界條件(7)和(8)確定積分常數(shù)和由外邊界條件(7)得(20)進(jìn)一步地，將式(13)代入到式(6)1，得到 (21) 由式(19)可得由式(21)和內(nèi)邊界條件(8)得(22)

9、綜合上面的分析可知，對(duì)于任意給定的，由式(19)和(22)知，即是方程(22)的一個(gè)解，它對(duì)應(yīng)于柱體內(nèi)部均勻變形解；假設(shè)存在，使得，那么可由求得，即滿足邊界條件的控制方程(5)有兩個(gè)解，除平凡解外，還有一個(gè)非平凡解(19)至此，對(duì)應(yīng)于由可壓縮的廣義Varga材料(13)組成的實(shí)心圓柱體，式(19)便為在給定的徑向拉伸和軸向伸長(zhǎng)共同作用下的軸對(duì)稱變形問(wèn)題的精確解在圓柱體軸線上，對(duì)于任意給定的，是方程(22)的一個(gè)解，稱之為方程(22)的平凡解；另一方面，可以求得圓柱體內(nèi)部有空穴生成時(shí)的臨界伸長(zhǎng)為 (23) 即方程(22)在臨界點(diǎn)處從平凡解處發(fā)生分岔，非平凡解代表空穴生成后的半徑，其中，且由方程確

10、定，從而稱(22)為空穴分岔方程另一方面，當(dāng)時(shí)，與均勻變形解相對(duì)應(yīng)的徑向位移為(24)當(dāng)時(shí)，與空穴生成后的解相對(duì)應(yīng)的徑向位移為(25)2.2 柱體內(nèi)部的應(yīng)力分布下面討論柱體內(nèi)部發(fā)生空穴分岔時(shí)的應(yīng)力分布當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于均勻變形解，有，因此柱體內(nèi)部的徑向應(yīng)力環(huán)向應(yīng)力相等，即(26)當(dāng)時(shí)，徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力分別為， (27)其中此外，易證空穴外表的徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力分別為， (28)2.3 數(shù)值算例為了進(jìn)一步說(shuō)明前面的結(jié)論，取，容易驗(yàn)證，滿足條件(15)再根據(jù)線性化約束條件(10)，得到雜志網(wǎng)， (29)為了保證均為正，由(30)容易求得此種材料組成的柱體內(nèi)部發(fā)生空穴分岔時(shí)的臨界伸長(zhǎng)為(31)圖1示出了

11、柱體內(nèi)部空穴的生成和增長(zhǎng)與給定的外表伸長(zhǎng)和軸向伸長(zhǎng)之間的關(guān)系即空穴分岔曲線；圖2示出了對(duì)于不同的外表伸長(zhǎng)的值，柱體內(nèi)部的徑向位移；圖3示出了當(dāng)外表伸長(zhǎng)超過(guò)臨界值時(shí)的應(yīng)力間斷；圖4示出了對(duì)于不同的外表伸長(zhǎng)的值，柱體內(nèi)部的應(yīng)力分布注：在圖14中，圖2 軸向伸長(zhǎng)對(duì)圓柱體軸線上空穴生成 圖3 對(duì)于不同的的值，圓柱體內(nèi)部的徑和增長(zhǎng)的影響向位移曲線Fig.2 Effect of axial stretch on cavity formationFig.3 Curves of radialdisplacement for variousand growth ofcylindervalues of圖4 空穴外

12、表的應(yīng)力間斷 圖5 柱體內(nèi)部的應(yīng)力分布Fig.4 Discontinuity of stresses at the surface ofthe cavity Fig.5 Distribution of stresses in the interior ofthecylinder3 結(jié)果分析本文研究了由各向同性可壓縮的廣義Varga材料組成的實(shí)心圓柱體在給定的外表徑向拉伸和軸向拉伸共同作用下的空穴分岔問(wèn)題給出了問(wèn)題的參數(shù)型解析解；證明了當(dāng)徑向伸長(zhǎng)超過(guò)某臨界值時(shí)，柱體內(nèi)部有空穴生成并快速增長(zhǎng)如圖2所示，并且臨界伸長(zhǎng)隨軸向伸長(zhǎng)的增大而減?。挥蓤D3可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，即在空穴生成之前，整個(gè)柱體的變形是膨脹的；

13、當(dāng)時(shí)，即空穴生成后，空穴附近的變形是收縮的，而圓柱體外表附近是擴(kuò)張的；由圖4和圖5可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力的分布都是均勻的；但是，當(dāng)時(shí)，柱體的均勻應(yīng)力狀態(tài)發(fā)生了突變，出現(xiàn)了應(yīng)力間斷現(xiàn)象，即從的均勻分布應(yīng)力狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)闀r(shí)的非均勻分布應(yīng)力狀態(tài)當(dāng)時(shí)，環(huán)向應(yīng)力隨著變量的增大而迅速地減少，并且在空穴外表附近出現(xiàn)了明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象，對(duì)于環(huán)向伸長(zhǎng)也有類似現(xiàn)象正因?yàn)榭昭ㄍ獗砀浇膽?yīng)力集中，才導(dǎo)致空穴的突然生成，這與實(shí)際的物理背景相吻合參考文獻(xiàn)【1】Ogden R W. Nonlinear Elastic Deformations. Ellis Horwood,Chichester, West Susse

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