2022年人教A版選修1-1教案：232拋物線的幾何性質(zhì)

1、 2.3. 拋物線的幾何性質(zhì)（）【學(xué)情分析】：由于同學(xué)具備了曲線與方程的部分學(xué)問,把握了討論解析幾何的基本方法,因而利用已有橢圓與雙曲 線的學(xué)問,引導(dǎo)同學(xué)獨(dú)立發(fā)覺、歸納學(xué)問,指導(dǎo)同學(xué)在實(shí)踐和創(chuàng)新意識上下工夫,訓(xùn)練基本技能；【教學(xué)目標(biāo)】：（ 1 ） 學(xué)問與技能：嫻熟把握拋物線的范疇,對稱性,頂點(diǎn),準(zhǔn)線,離心率等幾何性質(zhì)；把握直線與拋物線位置關(guān)系等相 關(guān)概念及公式；（ 2 ） 過程與方法：重視基礎(chǔ)學(xué)問的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練和才能的培育；啟示同學(xué)能夠發(fā)覺問題和提出問題,善于獨(dú)立摸索；（ 3 ） 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：培育嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí),實(shí)事求是的個(gè)性品質(zhì)和數(shù)學(xué)溝通合作才能,以及勇于探究,勇于創(chuàng)新的求知意識,

2、激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好與熱忱；【教學(xué)重點(diǎn)】：拋物線的幾何性質(zhì)及其運(yùn)用；【教學(xué)難點(diǎn)】：拋物線幾何性質(zhì)的運(yùn)用；【課前預(yù)備】：Powerpoint 或投影片【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖回憶拋物線的幾何性質(zhì)：一、復(fù)習(xí)引入曲線y2=2px 拋物線x2=-2py 將基本公式方程y2=-2px x2=2py 圖形Ly y Ly Fy L o o Fx Fo x o LF焦點(diǎn)Fp/2,0 F-p/2,0 F0,p/2 F0,-p/2 范圍x 0 x0 y0 y 0 用填空的形對稱軸x 軸x 軸y 軸y 軸式鞏固；頂點(diǎn)O0,0 O0,0 O0,0 O0,0 離心率e=1 e=1 e=1 e=1 準(zhǔn)

3、線x=-p/2 x=p/2 y=-p/2 y=p/2 漸近線無無無無設(shè)圓錐曲線 Cfx ,y=0 與直線 ly=kx+b 相交于 Ax 1,y 1、Bx 2,y2兩點(diǎn),就弦長 |AB|為：二、學(xué)問預(yù)備AB11y 1y 211y 1y224y y2或k2k2AB1k2x 1x 21k2x 1x 224 x x 2例 1正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn),另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y22px p0 上,求這個(gè)正三角形的邊長x分析：觀看圖,正三角形及拋物線都是軸對稱圖形,假如能證明軸是它們公共的對稱軸,就簡單求出三角形邊長解：如圖,設(shè)正三角形OAB的頂點(diǎn) A、B 在拋物線上,且坐標(biāo)分別二、例題講解為x 1y

4、1、x2y2,就y 122 px 1,y 222 px 2圓錐曲線的又|OA| |OB| ,所以x 12y 12x22y22yA即x 122px 1x222px 2Oxx 12x 222p x 1x 20Bx 1x22p x 1x 20 x 1,0 x20 , 2p0,x 1x2由此可得|y 1|y2|,即線段 AB關(guān)于 x 軸對稱由于 x 軸垂直于 AB,且 AOx30 ,所以y 1tan3003x 13所以y 12px 1123p,|AB|2y 143py1例 2過拋物線 y12 x 的焦點(diǎn)作傾斜角為 的直線 l 與拋物線交4于 A、 B 兩點(diǎn),且 |AB|=8 ,求傾斜角 弦長求法解：

5、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 4y,就焦點(diǎn) F（0,-1） 當(dāng) 90 時(shí),就直線l：x0（不合題意,舍去） 當(dāng) 90 時(shí),設(shè) ktan ,就直線 l：y+1 kx；即 y=kx-1 與x2 4y 聯(lián)立,消去y 得： x24kx-4=0 2164（1+k2） 8 就 x 1+x 2= 4k；x 1x 2= 4；x 1x 216 k216 AB =1k2|x 1x2|1k216 kk 1 45 或 135二、例題講解例 3已知拋物線方程為y22px1 p0,直線l:xym過拋物線的焦點(diǎn)F 且被拋物線截得的弦長為3,求 p 的值圓錐曲線的解：設(shè) l 與拋物線交于A x y 1 ,B x 2,y 2,就|AB

6、| 3.中點(diǎn)弦問題由弦長公式|AB|=x 1x 22y 1y 22=11|y 1y 2|.2 |y 1y 2|=3 k2就有y 1y 229.9p2.2由xy1p, 消去x,得y22pyp20.2y22px1 .2p24p20.y 1y22p,y1y2從而y 1y22y1y224y 1y 2,即2p24p2由于 p0,解得2p3 4y2=4x 上,求此1如正三角形一頂點(diǎn)在原點(diǎn),另外兩點(diǎn)在拋物線正三角形的邊長；（答案： 邊長為 8 3 ）2正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn),另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線三、鞏固練習(xí)2 y2pxp0上,求正三角形外接圓的方程分析： 依題意可知圓心在x 軸上,且過原點(diǎn),故可設(shè)圓

7、的方程為：2 x2 yDx0,又 圓過點(diǎn)A6p,23, 所求圓的方程為x2y28px03已知拋物線y26 x,過點(diǎn) 4, 1引一弦 ,使它恰在這點(diǎn)被平分,就此弦所在直線方程為3xy110解析 : 設(shè)直線與拋物線交點(diǎn)為A x 1,y 1,Bx 2,y2就2 y 16x 1y26x 222 y 1y26 x 1x2, 2y中k,6k324已知直線yxb與拋物線y22pxp0相交于 A 、B 兩點(diǎn),如 OA OB,（ O 為原點(diǎn)）且 S AOB 2 5,求拋物線的方程（答案 ：y 2 2 x）5頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在 x 軸上的拋物線被直線 y 2x 1 截得的弦長為 15,求拋物線的方程（答案 ：

8、y 2 12 x 或 y 24 x）1斜率為 1 的直線經(jīng)過拋物線 y 2=4x 的焦點(diǎn),與拋物線相交于兩點(diǎn) A、 B,求線段 AB 的長解：如圖,由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 F1,0 ,所以直線 AB 的方程為 y=x-1 與 y2=4x聯(lián)立,解得：將 x1、x2 的值代入方程中,得即 A、 B 的坐標(biāo)分別為四、課后練習(xí)322,222 、 322,222AB4 224 2282已知拋物線y22pxp0與直線yx1相交于A、B兩點(diǎn),以弦長AB 為直徑的圓恰好過原點(diǎn),求此拋物線的方程（答案 ：y2x）3. 已 知ABC 的 三 個(gè) 頂 點(diǎn) 是 圓x2y29x0與 拋 物 線2 y

9、2pxp0的交點(diǎn), 且ABC 的垂心恰好是拋物線的焦點(diǎn),求拋物線的方程（答案：y24 x）4 已知直角OAB 的直角頂點(diǎn)O 為原點(diǎn),A 、 B 在拋物線2 y2pxp0上,（1）分別求 A 、 B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積,縱坐標(biāo)之積；（2）直線 AB 是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn),如經(jīng)過,求出該定點(diǎn)坐標(biāo),如不經(jīng)過, 說明理由；（3）求 O 點(diǎn)在線段 AB 上的射影 M 的軌跡方程答案 ：（1）y 1y24p2；x 1x24 p2；（2）直線 AB 過定點(diǎn)2p,02 yp2x0（3）點(diǎn) M 的軌跡方程為xp25 已知直角OAB 的直角頂點(diǎn)O 為原點(diǎn),A 、 B 在拋物線2 y2pxp0上,原點(diǎn)在直線AB 上的射影

10、為D2,1,求拋物線的方程（ 答案 ：y25x）2練習(xí)與測試：1頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y 軸上,且過點(diǎn)P（4,2）的拋物線方程是（）（2,4,就 aAB,求A x28y B x24y C x 2 2y D x21y22拋物線 y28x 上一點(diǎn) P 到頂點(diǎn)的距離等于它們到準(zhǔn)線的距離,這點(diǎn)坐標(biāo)是A （ 2,4） B 4） C （1,22） D （1,22）3 直線 l 過拋物線y2a x1 a0的焦點(diǎn) ,并且與 x 軸垂直 ,如 l 被拋物線截得的線段長為 A. 4 B. 2 C. 1D. 1424拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對稱軸,過焦點(diǎn)且與y 軸垂直的弦長等于8,就拋物線方程為5拋物線 y2 6x,以此拋物線的焦點(diǎn)為圓心,且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程是6以雙曲線x2y21的右準(zhǔn)線為準(zhǔn)線,以坐標(biāo)原點(diǎn)O 為頂點(diǎn)的拋物線截雙曲線的左準(zhǔn)線得弦169 OAB的面積7已知拋物線y2x與直線ykx1 相交于 A、B 兩點(diǎn), 求證 ; OA OB ; 當(dāng) OAB 的面積等于 10 時(shí) ,求 k 的值 . 測試題答案：1A 2D 3 A 4x 2 8y 5x32y29 65122257解析 證明 :設(shè)A y 1 2,y 1,By2,y2; N,