高中數(shù)學(xué)選修1-1配北師版-課后習(xí)題第二章測(cè)評(píng)

1、第二章測(cè)評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)分別過(guò)點(diǎn)A(2,0)和B(0,-1),則該橢圓的焦距為()A.3B.23C.5D.25答案B解析由題意可得a=2,b=1,所以a2=4,b2=1,所以c=a2-b2=4-1=3,所以2c=23.故選B.2.平面上有兩個(gè)定點(diǎn)A,B及動(dòng)點(diǎn)P,命題甲:“|PA|-|PB|是定值”,命題乙:“點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線”,則甲是乙的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析當(dāng)|PA|-|PB|=|AB|時(shí),點(diǎn)P的

2、軌跡是一條射線,故甲乙,而乙甲,故選B.3.已知橢圓與雙曲線x23y22=1有共同的焦點(diǎn),且離心率為15,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x220+y225=1B.x225+y220=1C.x225+y25=1D.x25+y225=1答案B解析雙曲線x23y22=1中,a12=3,b12=2,則c1=a12+b12=5,故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-5,0),(5,0),故所求橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的c=5,又橢圓的離心率e=ca=15,則a=5,a2=25,b2=a2-c2=20,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x225+y220=1.4.已知雙曲線C:x2a2y2b2=1的焦距為10,點(diǎn)P(2,1)在雙曲線C

3、的漸近線上,則雙曲線C的方程為()A.x220y25=1B.x25y220=1C.x280y220=1D.x220y280=1答案A解析根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中系數(shù)之間的關(guān)系求解.x2a2y2b2=1的焦距為10,c=5=a2+b2.又雙曲線漸近線方程為y=bax,且P(2,1)在漸近線上,2ba=1,即a=2b.由解得a=25,b=5,故選A.5.雙曲線C:x2-y23=1的一條漸近線與拋物線M:y2=4x的一個(gè)交點(diǎn)為P(異于坐標(biāo)原點(diǎn)O),拋物線M的焦點(diǎn)為F,則OFP的面積為()A.233B.433C.23D.43答案A解析雙曲線C:x2-y23=1的一條漸近線方程為y=3x,與拋物線M:y2=

4、4x的一個(gè)交點(diǎn)為P,將y=3x代入拋物線方程,可得3x2=4x,解得x=0(舍)或x=43,所以P43,433,又拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),則OFP的面積為S=121433=233.故選A.6.已知雙曲線x2a2y2b2=1(a0,b0)的一條漸近線方程是y=3x,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=24x的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為()A.x236y2108=1B.x29y227=1C.x2108y236=1D.x227y29=1答案B解析拋物線y2=24x的準(zhǔn)線方程為x=-6,故雙曲線中c=6.由雙曲線x2a2y2b2=1的一條漸近線方程為y=3x,知ba=3,且c2=a2+b2.由解得a2

5、=9,b2=27.故雙曲線的方程為x29y227=1,故選B.7.P是長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓x2a2+y2b2=1上的點(diǎn),F1,F2分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),橢圓的半焦距為c,則|PF1|PF2|的最大值與最小值之差一定是()A.1B.a2C.b2D.c2答案D解析由橢圓的幾何性質(zhì)得|PF1|a-c,a+c,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|PF2|PF1|+|PF2|22=a2,當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時(shí)取等號(hào).|PF1|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2-c2+a2=b2,所以|PF1|PF2|的最大值與最小值之差

6、為a2-b2=c2.8.已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),交拋物線C的準(zhǔn)線于點(diǎn)Q,若|QF|2=2|AF|BF|,則直線l斜率的絕對(duì)值為()A.2B.3C.2D.33答案C解析由題意得F(2,0),直線l的斜率存在且不為0,設(shè)l的方程為y=k(x-1),代入拋物線方程得k2x2-(2k2+8)x+k2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=1,x1+x2=2+8k2,由拋物線定義得|AF|BF|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=9+16k2,又因?yàn)镼(-2,-3k),所以|QF|2=42+(-3k)2=

7、16+9k2,由|QF|2=2|AF|BF|,得16+9k2=29+16k2,解得|k|=2,此時(shí)0,符合題意,所以|k|=2.故選C.9.設(shè)雙曲線x2a2y2b2=1的一條漸近線與拋物線y=x2+1只有一個(gè)公共點(diǎn),則雙曲線的離心率為()A.54B.5C.52D.5答案D解析雙曲線x2a2y2b2=1的一條漸近線方程為y=bax,由方程組y=bax,y=x2+1消去y,得x2-bax+1=0有唯一解,所以=ba2-4=0,所以ba=2,所以e=ca=a2+b2a=1+ba2=5,故選D.10.直線y=k(x-1)與橢圓C:x24+y22=1交于不同的兩點(diǎn)M,N,橢圓x24+y22=1的一個(gè)頂點(diǎn)

8、為A(2,0),當(dāng)AMN的面積為103時(shí),則k的值為()A.2B.3C.1D.5答案C解析直線y=k(x-1)與橢圓C聯(lián)立y=k(x-1),x24+y22=1消元可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-41+2k2,|MN|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2(1+k2)(4+6k2)1+2k2.A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離為d=|k|1+k2,AMN的面積S=12|MN|d=|k|4+6k21+2k2.AMN的面積為103,|k|4+6k21+2k2=103,k=1,故選C.1

9、1.如圖,南北方向的公路L,A地在公路正東2 km處,B地在A北偏東60方向23 km處,河流沿岸曲線PQ上任意一點(diǎn)到公路L和到A地距離相等.現(xiàn)要在曲線PQ上某處建一座碼頭,向A,B兩地運(yùn)貨物,經(jīng)測(cè)算,從M到A,B修建公路的費(fèi)用都為a萬(wàn)元/km,那么,修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是()A.(2+3)a萬(wàn)元B.(23+1)a萬(wàn)元C.5a萬(wàn)元D.6a萬(wàn)元答案C解析本題主要考查拋物線的實(shí)際應(yīng)用.依題意知曲線PQ是以A為焦點(diǎn)、L為準(zhǔn)線的拋物線,根據(jù)拋物線的定義知,欲求從M到A,B修建公路的費(fèi)用最低,只需求出B到直線L的距離即可.B地在A地北偏東60方向23 km處,B到點(diǎn)A的水平距離為3 km,B到直線

10、L的距離為3+2=5(km),那么,修建這兩條公路的總費(fèi)用最低為5a萬(wàn)元,故選C.12.設(shè)A,B是橢圓C:x23+y2m=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足AMB=120,則m的取值范圍是()A.(0,19,+)B.(0,39,+)C.(0,14,+)D.(0,34,+)答案A解析由題意,可知當(dāng)點(diǎn)M為短軸的端點(diǎn)時(shí),AMB最大.當(dāng)0m3時(shí),橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上,要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿足AMB=120,則abtan 60=3,即3m3,解得03時(shí),橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上,要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿足AMB=120,則abtan 60=3,即m33,解得m9,綜上m的取值范圍為(0,19,+),故選A.

11、二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.若雙曲線x2-y2m=1的離心率為3,則實(shí)數(shù)m=.答案2解析由題意知a=1,b=m,m0,c=a2+b2=1+m,則離心率e=ca=1+m=3,解得m=2.14.設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,線段F1F2被點(diǎn)b2,0分成31的兩段,則此橢圓的離心率為.答案22解析由題意,得b2+cc-b2=3,即b2+c=3c-32b,得b=c,因此e=ca=c2a2=c2b2+c2=12=22.15.已知雙曲線E:x2a2y2b2=1(a0,b0)與拋物線C:y2=2px(p0)有共同的一個(gè)焦點(diǎn),過(guò)雙曲線E的左焦點(diǎn)

12、且與拋物線C相切的直線恰與雙曲線E的一條漸近線平行,則E的離心率為.答案2解析因?yàn)閽佄锞€與雙曲線共焦點(diǎn),所以c=p2,p=2c,拋物線方程為y2=4cx,設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1,F1(-c,0),過(guò)F1與一條漸近線y=bax平行的直線方程為y=ba(x+c),由y2=4cx,y=ba(x+c)得by2-4acy+4bc2=0,所以=16a2c2-16b2c2=0,所以a=b,從而c=a2+b2=2a,離心率為e=ca=2.16.以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題:設(shè)A,B為兩個(gè)定點(diǎn),k為非零常數(shù),|PA|-|PB|=k,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線;過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OP=1

13、2(OA+OB),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓;方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;雙曲線x225y29=1與橢圓x235+y2=1有相同的焦點(diǎn).其中正確命題的序號(hào)是.答案解析雙曲線的定義是:平面上與兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)2a,且02a0,b0),又雙曲線過(guò)點(diǎn)(0,2),c=5,a=2,b2=c2-a2=25-4=21,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y24x221=1,實(shí)軸長(zhǎng)為4,焦距為10,離心率e=ca=52,漸近線方程是y=22121x.18.(本小題滿分12分)若已知橢圓x210+y2m=1與雙曲線x2-y2b=1有相同的焦點(diǎn),又橢圓與雙曲線交于點(diǎn)P103,y,求

14、橢圓及雙曲線的方程.解由橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn),得10-m=1+b,即m=9-b,由點(diǎn)P103,y在橢圓、雙曲線上,得y2=89m,y2=b9,解由組成的方程組得m=1,b=8,橢圓方程為x210+y2=1,雙曲線方程為x2-y28=1.19.(本小題滿分12分)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:x22+y2=1上,過(guò)M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足NP=2 NM.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上,且OPPQ=1.證明:過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.(1)解設(shè)P(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).由NP=

15、2 NM得x0=x,y0=22y.因?yàn)镸(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2.(2)證明由題意知F(-1,0).設(shè)Q(-3,t),P(m,n),則OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),OQPF=3+3m-tn,OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n).由OPPQ=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以O(shè)QPF=0,即OQPF.又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ,所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.20.(本小題滿分12分)已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-2,0),B(2,0),焦點(diǎn)在

16、x軸上,離心率為32.(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn),過(guò)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證:BDE與BDN的面積之比為45.(1)解設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(ab0).由題意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.所以橢圓C的方程為x24+y2=1.(2)證明設(shè)M(m,n),則D(m,0),N(m,-n).由題設(shè)知m2,且n0.直線AM的斜率kAM=nm+2,故直線DE的斜率kDE=-m+2n.所以直線DE的方程為y=-m+2n(x-m),直線BN的方程為y=n2-m(x-2).聯(lián)立y=-m+2n(x-m

17、),y=n2-m(x-2),解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE=-n(4-m2)4-m2+n2.由點(diǎn)M在橢圓C上,得4-m2=4n2.所以yE=-45n.又SBDE=12|BD|yE|=25|BD|n|,SBDN=12|BD|n|,所以BDE與BDN的面積之比為45.21.(本小題滿分12分)已知橢圓C1:x24+y2=1,橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸,且與C1有相同的離心率.(1)求橢圓C2的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在橢圓C1和C2上,OB=2OA,求直線AB的方程.解(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為y2a2+x24=1(a2),其離心率為32,故a2-4a=32,解得a=4.故橢圓C2的方

18、程為y216+x24=1.(2)設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xA,yA),(xB,yB),由OB=2OA及(1)知,O,A,B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A,B不在y軸上,因此可設(shè)直線AB的方程為y=kx.將y=kx代入x24+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以xA2=41+4k2.將y=kx代入y216+x24=1中,得(4+k2)x2=16,所以xB2=164+k2.又由OB=2OA,得xB2=4xA2,即164+k2=161+4k2,解得k=1.故直線AB的方程為y=x或y=-x.22.(本小題滿分12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短軸長(zhǎng)為2,離心率為22,直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的垂直平分線通過(guò)點(diǎn)0,-12.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求A