高中數(shù)學(xué)必修5配北師版-課后習(xí)題Word版-第一章　數(shù)列§3　3.2　等比數(shù)列的前n項和

1、3.2等比數(shù)列的前n項和A組1.已知等比數(shù)列an的公比為q,前n項和為Sn.若q=2,S2=6,則S3=()A.8B.12C.14D.16解析由題意S2=a1+2a1=6,所以a1=2,所以a3=222=8,S3=S2+a3=6+8=14.故選C.答案C2.設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,則公比q等于()A.3B.4C.5D.6解析由題意知,3S3=a4-2,3S2=a3-2,兩式相減,得3a3=a4-a3,即4a3=a4,則q=a4a3=4.答案B3.若數(shù)列an的前n項和Sn=an-1(aR,且a0),則此數(shù)列是()A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.等差數(shù)列

2、或等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列解析當n=1時,a1=S1=a-1;當n2時,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)=an-an-1=an-1(a-1).當a-1=0,即a=1時,該數(shù)列為等差數(shù)列,當a1時,該數(shù)列為等比數(shù)列.答案C4.公比q-1的等比數(shù)列的前3項,前6項,前9項的和分別為S3,S6,S9,則下面等式成立的是()A.S3+S6=S9B.S62=S3S9C.S3+S6-S9=S62D.S32+S62=S3(S6+S9)解析由題意知S3,S6-S3,S9-S6也成等比數(shù)列.(S6-S3)2=S3(S9-S6),整理得S32+S62=S3(S6+S9).答案

3、D5.設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項和,若S3=4,a4+a5+a6=6,則S9S6=()A.32B.1910C.53D.196解析S3=4,a4+a5+a6=6,S6=4+6=10.an為等比數(shù)列,且顯然Sn0,S3,S6-S3,S9-S6成等比數(shù)列,(S6-S3)2=S3(S9-S6),即(10-4)2=4(S9-10),解得S9=19,S9S6=1910.故選B.答案B6.設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若a1=1,S6=4S3,則a4=.解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,很明顯q1,則1-q61-q=41-q31-q,解得q3=3,所以a4=a1q3=3.答案37.已知lg x+lg x2+

4、lg x10=110,則lg x+lg2x+lg10 x=.答案2 0468.已知在等比數(shù)列an中,a2=2,a5=14,則a1a2+a2a3+anan+1=.解析設(shè)數(shù)列an的公比為q,由a2=2,a5=a2q3=14,得q=12,a1=a2q=4.anan+1an-1an=an+1an-1=an-1q2an-1=q2=14為常數(shù)(n2),數(shù)列anan+1是以a1a2=42=8為首項,以14為公比的等比數(shù)列,a1a2+a2a3+anan+1=81-14n1-14=323(1-4-n).答案323(1-4-n)9.已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5

5、.(1)求an的通項公式;(2)求b1+b3+b5+b2n-1.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因為a2+a4=10,所以2a1+4d=10,解得d=2,所以an=2n-1.(2)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q.因為b2b4=a5,所以b1qb1q3=9,解得q2=3,所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.從而b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1=3n-12.10.設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和,已知a3=7,an=2an-1+a2-2(n2且nN+).(1)證明:an+1為等比數(shù)列;(2)求an的通項公式,并判斷n,an,Sn是否成等差數(shù)列.(1)證明a3=7,a3=3a2-2,

6、a2=3,an=2an-1+1,a1=1,an+1an-1+1=2an-1+2an-1+1=2(n2,且nN+),an+1是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.(2)解由(1)知,an+1=2n,an=2n-1,Sn=2-2n+11-2-n=2n+1-n-2,n+Sn-2an=n+2n+1-n-2-2(2n-1)=0,n+Sn=2an,即n,an,Sn成等差數(shù)列.B組1.已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,則下列一定成立的是()A.若a30,則a2 0210,則a2 0200,則S2 0210D.若a40,則S2 0200解析若a30,則a3=a1q20,因此a10,當公比q0時,任意nN+,an0,

7、故有S2 0210,當公比q0時,q2 0210,故答案為C.答案C2.已知數(shù)列an的通項公式an=log(n+1)(n+2)(nN+),我們把使a1a2a3an為整數(shù)的n叫作優(yōu)數(shù),則在(0,2 021)內(nèi)所有優(yōu)數(shù)的和為()A.1 024B.2 012C.2 026D.2 036解析由題意,因為an=log(n+1)(n+2)(nN+),所以a1a2a3an=log23log34logn+1(n+2)=lg3lg2lg4lg3lg(n+2)lg(n+1)=lg(n+2)lg2=log2(n+2).若要使得log2(n+2)為整數(shù),則n+2=2k,即n=2k-2,kN+,所以在(0,2 021內(nèi)

8、所有的整數(shù)為22-2,23-2,210-2,所以所有“優(yōu)數(shù)”的和為22-2+23-2+210-2=22+23+210-29=4(1-29)1-2-29=2 026.故選C.答案C3.正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為1,它的6條對角線又圍成了一個正六邊形A2B2C2D2E2F2,如此繼續(xù)下去,則n個正六邊形的面積和Tn是.解析如圖,A1B1=1,A1B1C1=120,B2C2=13A1C1=33,即每進行一次,正六邊形的邊長為原來的33倍.第一個正六邊形的面積為S1=332,第n個正六邊形的面積為Sn=S113n-1,所以n個正六邊形的面積和Tn=S11-(13)n1-13=9341-1

9、3n.答案9341-13n4.設(shè)數(shù)列xn滿足lg xn+1=1+lg xn(nN+),且x1+x2+x100=100,則x101+x102+x200=.解析由lg xn+1=1+lg xn,得lg xn+1=lg(10 xn),即xn+1xn=10.故x101+x102+x200=q100(x1+x2+x100)=10100100=10102.答案101025.已知等比數(shù)列an是遞增數(shù)列,Sn是an的前n項和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個根,則S6=.解析x2-5x+4=0的兩根為1和4,又an為遞增數(shù)列,a1=1,a3=4,q=2.S6=1(1-26)1-2=63.答案636.

10、已知數(shù)列nan的前n項和為2n-1.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)求數(shù)列n2an的前n項和Sn.解(1)記數(shù)列nan的前n項和為Tn,則Tn=2n-1.當n2時,nan=Tn-Tn-1=2n-1,則an=2n-1n,又a1=T1=1也滿足an=2n-1n,所以an的通項公式為an=2n-1n(nN+).(2)由(1)知n2an=n2n-1,則Sn=1+22+322+n2n-1,2Sn=2+222+323+n2n,-得-Sn=1+2+22+2n-1-n2n,即-Sn=2n-1-n2n=(1-n)2n-1,故Sn=(n-1)2n+1.7.設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Sn,且bn=2-2Sn,數(shù)列an為等差數(shù)列,且a5=14,a7=20.(1)求數(shù)列bn的通項公式;(2)若cn=anbn(n=1,2,3),Tn為數(shù)列cn的前n項和,求Tn.解(1)由bn=2-2Sn,令n=1,則b1=2-2S1,又S1=b1,所以b1=23.當n2時,由bn=2-2Sn及bn-1=2-2Sn-1,可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn,即bnbn-1=13,所以bn是以23為首項,13為公比的等比數(shù)列,所以bn=23n.(2)由數(shù)列an為等差數(shù)列,公差d=12(a7-a5)=3,a1=a5-4d=2,可得an=3n-1.從而cn=anbn=2(3n-1)13n,所以Tn=