中考復(fù)習(xí)二次函數(shù)與相似三角形

1、二次函數(shù)與相似三角形突破口：尋找比例關(guān)系以及特殊角1.綜合與探究如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（在右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為過(guò)點(diǎn)分別作直線的垂線段，垂足分別為和，連接（1）求拋物線及直線（2）求出四邊形（3）請(qǐng)直接寫出的函數(shù)關(guān)系式；是平行四邊形時(shí)的與相似時(shí)的值；值【答案】（1）拋物線的關(guān)系式為，直線的關(guān)系式為；（2）四邊形，是平行四邊形時(shí)的，值為或3；（3）【解析】【分析】（1）由題意易得的值，進(jìn)而得到二次函數(shù)的解析式，則點(diǎn)C、B坐標(biāo)可得，最后求解直線BC解析式即可；（2）由題意易得形為等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)作，則軸于點(diǎn)，交，于點(diǎn)為等腰

2、直角三角，進(jìn)而可證，然后可得，設(shè)，最后建立方程進(jìn)行求解即可；（3）由題意可分以下幾種情況進(jìn)行分類求解：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，存在與相似，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D下方時(shí)，相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】與相似，然后根據(jù)解:（1）把得解得代入中，拋物線的關(guān)系式為，當(dāng)當(dāng)時(shí)，得時(shí)，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，解得設(shè)直線，點(diǎn)的關(guān)系式為在點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，把點(diǎn)得和，代入上式，解得，直線的關(guān)系式為；（2）由點(diǎn)坐標(biāo)可知:，為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，如答圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在和中，為等腰直角三角形，四邊形是平行四邊形，又的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為直線，上的點(diǎn)，點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為，設(shè)，點(diǎn)為拋物線上，解，得，四邊形，是平行四邊形時(shí)的，值

3、為或3；（3），由（1）（2）可得ADB為等腰直角三角形，AB=6，過(guò)點(diǎn)D作DEx軸交于點(diǎn)E，DE=3，易得點(diǎn)D坐標(biāo)為設(shè)直線AC的解析式為，把，代入得：，解得，直線AC的解析式為由與相似，可得：，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，且PDE=ACD，如圖所示：PDAC，則有直線AC的斜率與直線PD的斜率相等，設(shè)直線PD的解析式為：，把點(diǎn)D代入得：b=-7，設(shè)直線PD的解析式為：，聯(lián)立直線PC與二次函數(shù)的解析式得：，解得：（不符合題意，舍去），；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，且EPD=ACD，取AC的中點(diǎn)F，連接DF，如圖所示：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式易得點(diǎn)FDP=90，F(xiàn)DDP，設(shè)直線FD的解析式為：，ADBC，CF=FD，F(xiàn)C

4、D=FDC，把點(diǎn)，點(diǎn)D代入解得：，即直線FD的解析式為：，設(shè)直線DP的解析式為：，把點(diǎn)D代入得：b=13，直線DP的解析式為：，聯(lián)立直線PD與二次函數(shù)解析式得：，解得，；當(dāng)當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D下方時(shí)，且PDE=ACD時(shí)，延長(zhǎng)PD交AC于點(diǎn)F，如圖所示：PDE=FDC，F(xiàn)CD=FDC，F(xiàn)C=FD，ADBC，易得FDA=FAD，CF=AF=FD，由可直接得出直線PD的解析式為，聯(lián)立直線PD與二次函數(shù)的解析式得：，解得：，；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D下方，且PDE=CAD時(shí)，延長(zhǎng)PD，交AC于點(diǎn)H，如圖所示：PDE=HDC，HDC+HCD=90，PHAC，直線AC與直線PD的斜率之積為-1，設(shè)直線PD的解析式為：式為：，

5、把點(diǎn)D代入得：，直線PD的解析聯(lián)立直線PD與二次函數(shù)的解析式得：，解得，綜上所示：當(dāng)與；相似時(shí)，【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線在點(diǎn)B的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為C的坐標(biāo)為，（1）求拋物線的解析式；（2）M為第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作點(diǎn)H，當(dāng)線段時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)為點(diǎn)軸于點(diǎn)G，交于（3）在（2）的條件下，將線段繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)線段與拋物線交于點(diǎn)N，在射線上是否存在點(diǎn)P，使得以P，N，G為頂點(diǎn)的

6、三角形與相似?如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果）；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），拋物線的對(duì)稱軸是直線x帶入即可求解拋物線的解析式；（2）由題意，連接CM，過(guò)C點(diǎn)作CEMH于點(diǎn)E，求解AC直線方程，M作MGx軸于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，表示出M和H的坐標(biāo)，利用線段CMCH相等，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）首先確定ABC是什么三角形，由題意可知ABC是直角三角形根據(jù)相似三角形邊長(zhǎng)的比例關(guān)系建立關(guān)系式，求解邊長(zhǎng)是否有解，有解即表示存在P點(diǎn)，解出即為坐標(biāo)；【詳解】（1）設(shè)拋物線的解析式為把代入則則所以（2）如圖1，連接CM

7、，過(guò)C點(diǎn)作CEMH于點(diǎn)E，設(shè)直線AC解析式為ykx+b（k0），把A（4，0）、C（0，2）代入ykx+b，可得直線AC解析式為，點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)H在AC上，MGx軸，設(shè)，解得：，則MHCMCH，OCGE2，MH2EH，解得（舍），所以（3）存在點(diǎn)P，使以P，N，G為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，理由為：拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A（4，0），A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x成軸對(duì)稱，B（1，0），AC，BC，AB5，AC2+BC225，AB25225，AC2+BC2AB2eqoac(,，)ABC為直角三角形，ACB90，線段MG繞G點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，旋轉(zhuǎn)角分PNG90或GPN90兩種情況討論，每種情況下又根

8、據(jù)直角邊不同再分類討論當(dāng)GPN90時(shí)即NPx軸設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（n，0），則N點(diǎn)坐標(biāo)為P在射線GA上此時(shí)eqoac(,當(dāng))NPGACB時(shí)解得：（不符合題意，舍去），的坐標(biāo)為（3，0）；eqoac(,當(dāng))NPGBCA時(shí)解得：（不符合題意，舍去），的坐標(biāo)為（，0）；當(dāng)PNG90時(shí)作NPx軸于K，此時(shí)由射影定理可得KPNKNGNGP當(dāng)K分別為、似KPNKNGeqoac(,時(shí))KNGeqoac(,與)NGeqoac(,、)NG重合此時(shí)NGPeqoac(,與)ABC相當(dāng)K與此時(shí)（3，0）重合時(shí)KG=1當(dāng)K與（，0）重合時(shí)KG=此時(shí)綜上所述存在以P，N，G為頂點(diǎn)的三角形與相似的P點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】題考查了

9、二次函數(shù)和三角形的相似的綜合運(yùn)用熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，屬于難題3.已知二次函數(shù)（為常數(shù)，且）的頂點(diǎn)為，圖象與軸交點(diǎn)為，且點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)（1）求（2）當(dāng)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，求的值（3）在（2）的情況下，將軸下方的圖象沿x軸向上翻折，與軸交于點(diǎn)，連接，記上方（含點(diǎn)，）的拋物線為為上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)設(shè)點(diǎn)取最大值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)在，使以點(diǎn)，上是否存在點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)【答案】（1），見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）令y=0，根據(jù)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，；（2）；（3）；不存在點(diǎn)可得出，求解即可；（2）由題意可知：點(diǎn)坐標(biāo)為（3）先求出直線BC的解析式，根據(jù)三角形的面積計(jì)算

10、即可；，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)向軸作垂線，交于點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積計(jì)算即可；分兩種情況進(jìn)行判斷，當(dāng)時(shí)，證明也是等腰直角三角形，根據(jù)條件計(jì)算即可；當(dāng)，證得三角形相似的性質(zhì)與二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可；【詳解】解：（1），再根據(jù)，解得，；，；（2）由題意可知：點(diǎn)坐標(biāo)為，.（3）如圖2，由（2）可知，點(diǎn)坐標(biāo)為.直線的解析式為.由翻折可知，的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)向軸作垂線，交于點(diǎn)，有最大值.當(dāng)時(shí)，不存在.詳細(xì)解答過(guò)程：取最大值，此時(shí).第一種情況，如圖3，當(dāng)時(shí)，.是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，點(diǎn)縱坐標(biāo)為6，設(shè)，則時(shí)，代入的解析式得，不存在點(diǎn)；第二種情況，如圖4，當(dāng)，若，則，設(shè)，則，解得，（舍去）

11、，的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，由圖易知，舍去，不存在點(diǎn)；【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，結(jié)合三角形相似和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵4.如圖，拋物線yax2bxc（a0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），并且與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于兩點(diǎn)A，B（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)D，連接AC、ADeqoac(,，求)ACD的面積；（3）點(diǎn)E為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線EF，與拋物線交于點(diǎn)F問(wèn)是否存在點(diǎn)E，使得以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與BCO相似若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）y=x24x3；（2）=2；（3）存在符合條件的點(diǎn)E，

12、且坐標(biāo)為：、【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可設(shè)函數(shù)解析式為，然后把點(diǎn)C代入解析式求解即可；（2）由（1）及題意可設(shè)直線BC的解析式為y=kx3，然后求解，進(jìn)而可求證ACD為直角三角形，然后利用面積計(jì)算公式求解即可；（3）由題意知：EFy軸，則FED=OCBeqoac(,，若)OCBeqoac(,與)FED相似，則有當(dāng)DFE=90，即DFx軸和當(dāng)EDF=90，然后進(jìn)行分類討論求解即可【詳解】解：（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式為，代入C（0，3）后，得：，解得：a=1，拋物線的解析式：；（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；設(shè)直線BC的解析式為：y=kx3，代入點(diǎn)B的坐標(biāo)后，得：3k3=0

13、，k=1，直線BC：y=x3；由（1）知：拋物線的對(duì)稱軸：x=2，則D（2，1）；即：，eqoac(,，)ACD是直角三角形，且ADCD；=AD?CD=2；（3）由題意知：EFy軸，則FED=OCBeqoac(,，若)OCBeqoac(,與)FED相似，則有：DFE=90，即DFx軸；將點(diǎn)D縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得：，解得當(dāng)x=2+當(dāng)x=2時(shí)，y=x+3=1時(shí)，y=x+3=1+；EDF=90，、；易知，直線AD：y=x1，聯(lián)立拋物線的解析式有：，解得；當(dāng)x=1時(shí)，y=-x+3=2；當(dāng)x=4時(shí)，y=-x+3=-1；、；、綜上，存在符合條件的點(diǎn)E，且坐標(biāo)為：、【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜

14、合及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形存在性的討論是解題的關(guān)鍵5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，批物線yx24xa（a0）與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)），頂點(diǎn)為M直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，與直線AM交于點(diǎn)D（1）求拋物線的對(duì)稱軸；（2）在y軸右側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、A、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求a的值；（3）如圖，過(guò)拋物線頂點(diǎn)M作MNx軸于N，連接ME，點(diǎn)Q為拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QGx軸于G，連接QE當(dāng)a5時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得以Q、E、G為頂點(diǎn)的三角形與MNE相似（不含全等）？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不

15、存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）直線x2；（2）；（3）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，27）或（，）或（，）【解析】【分析】（1）yx24xa（x2）2a4，即可求解；（2）求出直線AM的解析式為y2xa，聯(lián)立方程組可解得點(diǎn)D的坐標(biāo)（a，a）；AC是以P、A、C、D為頂點(diǎn)的平行四邊形的對(duì)角線，則點(diǎn)P與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即P（a，a），將點(diǎn)P（a，a）代入拋物線yx24xa，即可求解；（3）分、兩種情況，分別求解即可【詳解】解：（1）yx24xa（x2）2a4，拋物線的對(duì)稱軸為直線x2；（2）由y（x2）2a4得：A（0，a），M（2，a4），由yxa得C（0，a），設(shè)直線AM的解析式為ykxa，將M（

16、2，a4）代人ykxa中，得2kaa4，解得k2，直線AM的解析式為y2xa，聯(lián)立方程組得，解得，D（a，a），a0，點(diǎn)D在第二象限，又點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，AC是以P、A、C、D為頂點(diǎn)的平行四邊形的對(duì)角線，則點(diǎn)P與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即P（a，a），將點(diǎn)P（a，a）代入拋物線yx24xa，解得a或a0（舍去），a；（3）存在，理由如下：當(dāng)a5時(shí)，yx24x5（x2）29，此時(shí)M（2，9），令y0，即（x2）290，解得x11，x25，點(diǎn)F（1，0）E（5，0），ENFN3MN9，設(shè)點(diǎn)Q（m，m24m5），則G（m，0），EG|m5|QG|m24m5|，eqoac(,又)QEGeqoac(,與

17、)MNE都是直角三角形，且MNEQGE90，如圖所示，需分兩種情況進(jìn)行討論：i）當(dāng)時(shí)，即，解得m2或m4或m5（舍去）；當(dāng)m2時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合，不符合題意，舍去，當(dāng)m4時(shí)，此時(shí)Q坐標(biāo)為點(diǎn)Q1（4，27）；ii）當(dāng)解得m或m時(shí)，即，或m5（舍去），當(dāng)m當(dāng)m時(shí)，Q坐標(biāo)為點(diǎn)Q2（，Q坐標(biāo)為點(diǎn)Q3（，），），綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，27）或（，）或（，）【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判斷，相似三角形的判斷和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，能力要求高，注意“分類討論”、“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用6.如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線y=x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸于C、D兩點(diǎn)，連接AC、

18、BC，已知A（0，3），C（3，0）（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線對(duì)稱軸l上找一點(diǎn)M，使|MBMD|的值最大，并求出這個(gè)最大值；（3）點(diǎn)P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過(guò)點(diǎn)P作PQPA交y軸于點(diǎn)Q，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）拋物線的解析式是y=；（3）存在點(diǎn)P（1，6）x2+x+3；（2）|MBMD|取最大值為【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)對(duì)稱性，可得MC=MD，根據(jù)解方程組，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，可得B，C，M共線，根據(jù)勾

19、股定理，可得答案；（3）根據(jù)等腰直角三角形的判定，可得BCE，ACO，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得x，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案【詳解】解：（1）將A（0，3），C（3，0）代入函數(shù)解析式，得，解得，拋物線的解析式是y=x2+x+3；（2）由拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，對(duì)l上任意一點(diǎn)有MD=MC，聯(lián)立方程組，解得（不符合題意，舍），B（4，1），當(dāng)點(diǎn)B，C，M共線時(shí)，|MBMD|取最大值，即為BC的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)B作BEx軸于點(diǎn)E，在RtBEC中，由勾股定理，得BC=，|MBMD|取最大值為；（3）存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形

20、與ABC相似，在RtBEC中，BE=CE=1，BCE=45，在RtACO中，AO=CO=3，ACO=45，ACB=1804545=90，過(guò)點(diǎn)P作PGy軸于G點(diǎn)，PGA=90，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+x+3）（x0）當(dāng)PAQ=BAC時(shí)，PAQCAB，PGA=ACB=90，PAQ=CAB，PGABCA，即，解得x1=1，x2=0（舍去），P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為12+1+3=6，P（1，6），當(dāng)PAQ=ABC時(shí)，PAQCBA，PGA=ACB=90，PAQ=ABC，PGAACB，即，=3，解得x1=（舍去），x2=0（舍去）此時(shí)無(wú)符合條件的點(diǎn)P，綜上所述，存在點(diǎn)P（1，6）【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解

21、（1）的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；解（2）的關(guān)鍵是利用兩邊只差小于第三邊得出M，B，C共線；解（3）的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出關(guān)于x的方程，要分類討論，以防遺漏7.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn).點(diǎn)在軸的正半軸上，交軸于點(diǎn)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)恰好旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，連接.（1）求點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）求證：四邊形是平行四邊形；作軸于點(diǎn)（3）如圖2，過(guò)頂點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，點(diǎn)為垂足，使得與相似（不含全等）.求出一個(gè)滿足以上條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；直接回答這樣的點(diǎn)共有幾個(gè)？【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析；（3）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)

22、P共有3個(gè).【解析】【分析】(1)令y=0，可得關(guān)于x的方程，解方程求得x的值即可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)解析式配方可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)由，COAF，可得OF=OA=1，如圖2，易得，由此可得，繼而證明為等邊三角形，推導(dǎo)可得，再由，可得(3)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，問(wèn)題得證；，分三種情況：點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)在由的結(jié)果即可得.之間，分別討論即可得；【詳解】(1)令，解得或，故，配方得(2)，COAF，OF=OA=1，故；如圖，DD1軸，DD1/CO，即，CF=2，即為等邊三角形，AFC=ACF=60，ECF=ACF，CF：DF=OF：FD1=1：2，DF=4，CD=6，又，四邊形是平行四邊形；

23、(3)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，()當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，因?yàn)榕c相似，則1)，即，2)(舍)，x2=-11；，即(舍)，；，()當(dāng)點(diǎn)在因?yàn)榕c點(diǎn)右側(cè)時(shí)，相似，則3)，即，4)(舍)，(舍)；即(舍)，(舍)；，()當(dāng)點(diǎn)在之間時(shí)，與相似，則5)，即，6)(舍)，(舍)；即，(舍)，；綜上所述，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，；由可得這樣的點(diǎn)P共有3個(gè).【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)與幾何綜合題，涉及了等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解一元二次方程等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，正確進(jìn)行分類討論并畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵.8.如圖，拋物線點(diǎn)的左、右兩側(cè)，與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，分別位于原，

24、過(guò)點(diǎn)的直線與軸正半軸和拋物線的交點(diǎn)分別為，（1）求，的值；（2）求直線的函數(shù)解析式；（3）點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上且在軸下方，點(diǎn)在射線上，當(dāng)與相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）；（2）（3），【解析】【分析】（1）根據(jù)，得出，將A，B代入得出關(guān)于b，c的二元一次方程組求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)是，得出為：的橫坐標(biāo)為，代入拋物線解析式求出，設(shè)得解析式，將B，D代入求解即可；（3）由題意得tanABD=，tanADB=1，由題意得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為M，P（1，n）且n0，Q（x，0）且x3，分當(dāng)PBQABD時(shí)，eqoac(,當(dāng))PQBABD時(shí)，eqo

25、ac(,當(dāng))PQBDAB時(shí)，當(dāng)PQBABD時(shí)四種情況討論即可【詳解】解：（1），將A，B代入得，解得，；（2）二次函數(shù)是，的橫坐標(biāo)為，代入拋物線解析式得，設(shè)得解析式為：將B，D代入得，解得直線，的解析式為；（3）由題意得tanABD=，tanADB=1，由題意得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為M，P（1，n）且n0，Q（x，0）且x3，eqoac(,當(dāng))PBQABD時(shí)，tanPBQ=tanABD即解得n=，=，tanPQB=tanADB即，解得x=1-，此時(shí)Q的坐標(biāo)為（1-，0）；eqoac(,當(dāng))PQBABD時(shí)，tanPBQ=tanADB即解得n=-2，=1，tanQPB=t

26、anABD即解得x=1-，此時(shí)Q的坐標(biāo)為（1-=，0）；eqoac(,當(dāng))PQBDAB時(shí)，tanPBQ=tanABD即解得n=，=，tanPQB=tanDAB即，解得x=-1，此時(shí)Q的坐標(biāo)為（-1，0）；eqoac(,當(dāng))PQBABD時(shí)，tanPBQ=tanABD即解得n=-2，=1，tanPQB=tanDAB即解得x=5-，Q的坐標(biāo)為（5-，0）；綜上：Q的坐標(biāo)可能為，【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，一次函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)的對(duì)稱軸為直線，其圖（1）直接寫出拋物線的解析式和的度數(shù)；

27、（2）動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以每秒3個(gè)單位的速度在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒個(gè)單位的速度在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，連接，再將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，若點(diǎn)恰好落在拋物線上，求的值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，設(shè)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)標(biāo)（每寫出一組正確的結(jié)果得1分，至多得4分）的坐【答案】（1），；（2）t=，D點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）；【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸以及點(diǎn)B坐標(biāo)可求出拋物線表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)N作于E，過(guò)點(diǎn)D作于F，證明，得到，從而得到點(diǎn)D坐標(biāo)，

28、代入拋物線表達(dá)式，求出t值即可；（3）設(shè)點(diǎn)P（m，），當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，點(diǎn)Q在y軸正半軸，過(guò)點(diǎn)P作PRy軸于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)D作DSx軸于點(diǎn)S，根據(jù)CPQMDB，得到，從而求出m值，再證明CPQMDB，求出CQ長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)Q坐標(biāo)，同理可求出其余點(diǎn)P和點(diǎn)Q坐標(biāo).【詳解】解：（1）拋物線，則b=-3a，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，0），16a+4b+1=0，將b=-3a代入，解得：a=，b=，的對(duì)稱軸為直線，拋物線的解析式為：令y=0，解得：x=4或-1，令x=0，則y=1，A（-1，0），C（0，1），tanCAO=；,（2）由（1）易知，過(guò)點(diǎn)N作于E，過(guò)點(diǎn)D作于F，DMN=90，NME+DMF=90，又

29、NME+ENM=90，DMF=ENM，（AAS），由題意得：，又，故可解得：t=或0（舍），經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)均未到達(dá)終點(diǎn)，符合題意，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）由（2）可知：D，t=時(shí)，M（，0），B（4，0），C（0，1），設(shè)點(diǎn)P（m，），如圖，當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，點(diǎn)Q在y軸正半軸，過(guò)點(diǎn)P作PRy軸于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)D作DSx軸于點(diǎn)S，則PR=m，DS=，eqoac(,若)CPQMDB，則，解得：m=0（舍）或1或5（舍），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，CPQMDB，當(dāng)點(diǎn)P時(shí)，解得：CQ=，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，），；同理可得：點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：；.【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)表

30、達(dá)式，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，難度較大，計(jì)算量較大，解題時(shí)注意結(jié)合函數(shù)圖像，找出符合條件的情形.10.如圖，拋物線y軸交于點(diǎn)C直線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），與經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與直線及x軸分別交于點(diǎn)D、M，垂足為N設(shè)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，若P、D、M三點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外）請(qǐng)直接寫出符合條件的m的值；當(dāng)點(diǎn)P在直線下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在一點(diǎn)P，使與相似若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線入拋物線；（2）-

31、2，1；（3）存在，（3，-2）經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將B、C坐標(biāo)代可得答案；（2）由題意得P（m，），D（m，）；根據(jù)P、D、M三點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)列式計(jì)算即可求得m的值；先證明，得出，再根據(jù)與相似得出，則，可得出，求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入拋物線【詳解】解：（1）由直線，即可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)得B（4，0），C（0，-2）將B、C坐標(biāo)代入拋物線得拋物線的解析式為：（2），垂足為N，解得；，P（m，），D（m，），分以下幾種情況：M是PD的中點(diǎn)時(shí)，MD=PM，即0-（）=解得，（舍去）；P是MD的中點(diǎn)時(shí)，MD=2MP，即=2（）解得，（舍去）；D是MP

32、的中點(diǎn)時(shí)，2MD=MP，即解得，（舍去）；=2（）符合條件的m的值有-2，1；拋物線的解析式為：，A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）AO=1，CO=2，BO=4，又=90，與，相似，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是-2，代入拋物線，得解得：（舍去），點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（3，-2）【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式；會(huì)利用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題11.如圖，拋物線交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸與拋物線的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)E（1）求拋物線的表達(dá)式；（

33、2）點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)N是對(duì)稱軸l右側(cè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在射線，當(dāng)時(shí)，求上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，；（2）；（3）在射線上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與相似，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：，或【解析】【分析】（1）直接將和點(diǎn)代入，解出a，b的值即可得出答案；（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線BC的解析式，再根據(jù)圖及題意得出三角形PBC的面積；過(guò)點(diǎn)P作PG軸，交軸于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，設(shè)，根據(jù)三角形PBC的面積列關(guān)于t的方程，解出t的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由題意得出三角形BO

34、C為等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三種情況討論結(jié)合圖形得出邊之間的關(guān)系，即可得出答案【詳解】（1）拋物線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)拋物線解析式為：（2）當(dāng)時(shí)，直線BC解析式為：過(guò)點(diǎn)P作PG設(shè)軸，交軸于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F即（3）為等腰直角三角形拋物線的對(duì)稱軸為點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3又點(diǎn)E在直線BC上點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5設(shè)當(dāng)MN=EM，解得或,時(shí)（舍去）此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為當(dāng)ME=EN，時(shí)解得：或（舍去）此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為當(dāng)MN=EN，時(shí)連接CM，易知當(dāng)N為C關(guān)于對(duì)稱軸l的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，此時(shí)四邊形CMNE為正方形，解得：此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（舍去）在射線上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與相似，點(diǎn)M的坐

35、標(biāo)為：，或【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，涉及到二次函數(shù)的綜合、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，解答類似題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式（2）如圖1，點(diǎn)為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，記，的面積為，求的面積為的最大值；（3）如圖2，連接，過(guò)點(diǎn)作直線，點(diǎn)，分別為直線和拋物線上的點(diǎn)試探究：在第一象限是否存在這樣的點(diǎn)，使若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，或【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解

36、即可；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則可得AEKDEF，繼而可得，先求出BC的解析式，繼而求得AK長(zhǎng)，由進(jìn)而可得即可求得答案；可得，從而可得，設(shè)點(diǎn)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)（3）先確定出ACB=90，再得出直線的表達(dá)式為設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后分點(diǎn)在直線即可【詳解】右側(cè)，點(diǎn)在直線左側(cè)兩種情況分別進(jìn)行討論（1）拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)；，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)則DG/AK，AEKDEF，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n，將、代入則有：，解得直線，的表達(dá)式為，當(dāng)x=-1時(shí)，即K（-1，），設(shè)點(diǎn)，則F點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），當(dāng)時(shí)，有最大值

37、（3），AC=，BC=，AB=5，AC2+BC2=25=52=AB2，ACB=90，過(guò)點(diǎn)作直線，直線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)點(diǎn)在直線右側(cè)時(shí)，如圖，BPQ=90，過(guò)點(diǎn)P作PNx軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)Q作QMPN于點(diǎn)M，M=PNB=90，BPN+PBN=90，QPM+BPN=180-QPB=180-90=90，QPM=PBN，又，NB=t-4，PN=，QM=，PM=，MN=+，點(diǎn)的坐標(biāo)為將點(diǎn)的坐標(biāo)為代入，得，解得：，t2=0（舍去），此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)點(diǎn)在直線左側(cè)時(shí)如圖，BPQ=90，過(guò)點(diǎn)P作PNx軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)Q作QMPN于點(diǎn)M，M=PNB=90，BPN+PBN=90，QPM+BPN=180-QPB=180-90=90，QPM=PBN，又，NB=4-t，PN=，QM=MN=，PM=+，點(diǎn)的坐標(biāo)為將點(diǎn)的坐標(biāo)為代入，得，解得：，0（舍去），此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等，