三角函數(shù)與解三角形

1、文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助支持。第四章三角函數(shù)與解三角形一基礎(chǔ)題組1.【2016高考上海理數(shù)】方程3sinx1cos2x在區(qū)間0,2上的解為_.5【答案】，66【考點(diǎn)】二倍角公式及三角函數(shù)求值【名師點(diǎn)睛】已知三角函數(shù)值求角，基本思路是通過化簡，得到角的某種三角函數(shù)值，結(jié)合角的范圍求解.本題難度不大，能較好地考查考生的邏輯推理能力、基本計(jì)算能力等.【2016高考上海理數(shù)】已知ABC的三邊長分別為3,5,7，則該三角形的外接圓半徑等于_【答案】733【解析】試題分析：由已知可設(shè)a3,b5,c7，a2b2c21cosC2ab，2sinC3，Rc7322sinC

2、3【考點(diǎn)】正弦、余弦定理【名師點(diǎn)睛】此類題目是解三角形問題中的典型題目.解答此類試題時，往往要利用三角公式化簡三角恒等式，利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，達(dá)到解題目的；三角形中的求角問題，往往要利用余弦定理用邊表示角.本題較易，主要考查考生的基本運(yùn)算求解能力等.3.【2016高考上海理數(shù)】設(shè)a,bR,c0,2.若對任意實(shí)數(shù)都有2sin3xasinbxc，3則滿足條件的有序?qū)崝?shù)組a,b,c的組數(shù)為.【答案】4【解析】試題分析：1word格式支持編輯，如有幫助支持。文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助支持。當(dāng)a2時，sin(3x2)5，(b,c)5)sin(3xsin(3x

3、)(3,)，又33433sin(3xsin(3xsin(3x40,2)，所以只)，(b,c)(3,)，注意到c3333有2組：，5,42時，同理可得出滿足題意的a,b,c也有2組：(23,)(2，3,)滿足題意；當(dāng)a323(2，3,(2，3,),)，故共有4組.33【考點(diǎn)】三角函數(shù)【名師點(diǎn)睛】本題根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，首先確定得到的可能取值，利用分類討論的方法，進(jìn)一步得到b,c的值，從而根據(jù)具體的組合情況，使問題得解.本題主要考查考生的邏輯思維能力、基本運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等.4.【2016高考上海文數(shù)】若函數(shù)f(x)4sinxacosx的最大值為5

4、，則常數(shù)a_.【答案】3【考點(diǎn)】三角函數(shù)yAsin(x)的圖象和性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】解決三角函數(shù)性質(zhì)問題的基本思路是通過化簡得到y(tǒng)Asin(x)，結(jié)合角的范圍求解.本題難度不大，能較好地考查考生的邏輯推理能力、基本計(jì)算能力等.5.【2016高考上海文數(shù)】設(shè)aR，b0,2.若對任意實(shí)數(shù)x都有sin(3x)=sin(axb)，則滿足3條件的有序?qū)崝?shù)對(a,b)的對數(shù)為（）.(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】B【解析】試題分析：sin(3x2)sin(3x5(3,5)sin(3x3)，(a,b)，33443又sin(3xsin(3xsin(3x(3,)，(a,b)，3333注意到b0,2)，只有

5、這兩組故選B【考點(diǎn)】三角函數(shù)【名師點(diǎn)睛】本題根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，利用分類討論的方法，確定2word格式支持編輯，如有幫助支持。文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助支持。得到a,b的可能取值.本題主要考查考生的邏輯思維能力、基本運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等.6.【2015高考上海理數(shù)】已知函數(shù)fxsinx若存在x1，x2，xm滿足0 x1x2xm6，且fx1fx2fx2fx3fxn1fxn12（m2，m），則m的最小值為【答案】【解析】因?yàn)閒xsinx，所以fxmfxnf(x)maxf(x)min2，因此要使得滿足條件fx1f

6、x2fx2fx3fxn1fxn12的m最小，須取x10,x2,x33,x4579116,即m8.22,x5,x6,x7,x82222【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)最值與絕對值的綜合，可結(jié)合數(shù)形結(jié)合解決.極端位置的考慮方法是解決非常規(guī)題的一個行之有效的方法.7.【2015高考上海文數(shù)】已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(43,1)，將OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)至OB，3則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為（）.A.33B.5322C.11D.1322【答案】D3word格式支持編輯，如有幫助支持。文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助支持?！究键c(diǎn)定位】三角函數(shù)的定義，和角的正切公式，兩點(diǎn)間距

7、離公式.【名師點(diǎn)睛】設(shè)直線OA的傾斜角為，B(m,n)(m0,n0)，則kOAtan，kOBtan()，3再利用三角函數(shù)定義、兩點(diǎn)間的距離公式找關(guān)于m、的等式求解結(jié)論.數(shù)學(xué)解題離不開計(jì)算，應(yīng)仔細(xì)，保證不出錯.8.【2014上海，理1】函數(shù)y12cos2(2x)的最小正周期是.【答案】22【解析】由題意ycos4x，T42【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期.9.【2014上海,文7】若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與底面角的大小為（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.【答案】arccos1.3【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，由題意rl3r2，即l3r，母線與底面夾角為，則cosr1為，arccos1.l3

8、3【考點(diǎn)】圓錐的性質(zhì)，圓錐的母線與底面所成的角，反三角函數(shù).10.【2014上海,文12】方程sinx3cosx1在區(qū)間0,2上的所有解的和等于.【答案】73【考點(diǎn)】解三角方程.11.【2013上海,理4】已知ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.若3a22ab3b23c20，則角C的大小是_(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)【答案】arccos13【解析】3a22ab3b23c20c2a2b22ab，故cosC1，Carccos1.33312.【2013上海,理11】若cosxcosysinxsiny1，sin2xsin2y2，則sin(xy)_.234word格式支持編輯，如有幫助支持。

9、文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助支持。【答案】23【解析】cos(xy)1，sin2xsin2y2sin(xy)cos(xy)2，故sin(xy)2.23313.【2013上海,文5】已知ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.若a2abb2c20，則角C的大小是_【答案】23222cosCa2b2c21C2.【解析】aabbc02ab2314.【2013上海,文9】若coscossinxsiny1，則cos(2x2)_.xy3y【答案】79【解析】cosxcosysinxsinycos(xy)1cos2(xy)2cos2(xy)17.3915.【20

10、12上海,理16】在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，則ABC的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定【答案】C【解析】由正弦定理可知a2b2c2，a2b2c2從而cosC2ab0，C為鈍角，故該三角形為鈍角三角形16.【2012上海,文4】若d(2,1)是直線l的一個方向向量，則l的傾斜角的大小為_(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)1【答案】arctan2【解析】設(shè)直線l的傾斜角為，則tan1，2所以arctan1.217.【2011上海,理6】在相距2千米的A、B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)C，若CAB75，CBA60，則A、C兩點(diǎn)之間的距離為_千米【答案】65word格式支持編輯

11、，如有幫助支持。文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助支持?！窘馕觥俊?011上海,理7】若圓錐的側(cè)面積為2，底面面積為，則該圓錐的體積為_3【答案】3【解析】19.【2011上海,文4】函數(shù)y2sinxcosx的最大值為_【答案】5【解析】20.【2010上海,理18】某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別為1，1，1，則13115此人能答（）（A）不能作出這樣的三角形.（B）作出一個銳角三角形.（C）作出一個直角三角形.(D)作出一個鈍角三角形.【答案】D【點(diǎn)評】本題考查余弦定理在解斜三角形中的應(yīng)用，即判斷三角形的形狀，由于條件中是三角形三條高的長度，則

12、需轉(zhuǎn)化為三邊長度，從而考查運(yùn)動變化觀、數(shù)形結(jié)合思想.21.【2010上海,文18】若ABC的三個內(nèi)角滿足sinAsinBsinC51113，則ABC()A一定是銳角三角形B一定是直角三角形C一定是鈍角三角形D可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形6word格式支持編輯，如有幫助支持。文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助支持?！敬鸢浮緾【解析】設(shè)三角形的三邊長分別為a，b，c，由正弦定理知，abc51113，設(shè)a5t，b11t，c13t.a2b2(5t)2(11t)2146t2，而c2(13t)2169t2，a2b2c2，C為鈍角，即ABC為鈍角三角形22.(2009

13、上海,理6)函數(shù)y=2cos2x+sin2x的最小值是_.【答案】12【解析】因y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin(2x)1,4所以y的最小值為12.23.(2009上海,文13)已知函數(shù)f(x)=sinx+tanx,項(xiàng)數(shù)為27的等差數(shù)列an滿足an(,),22且公差d0.若f(a1)+f(a2)+f(a27)=0,則當(dāng)k=_時,f(ak)=0.【答案】14【解析】函數(shù)f(x)=sinx+tanx,x(,)是奇函數(shù),且在給定的定義域上單調(diào)遞增.在等差數(shù)列22an中,若滿足a1+a27=0(d0),則f(a1)+f(a27)=0.由等差數(shù)列的性質(zhì)易得f(a1)+f

14、(a27)=f(a2)+f(a26)=f(a13)+f(a15)=0,所以f(a14)=0,此時k=14.24.【2008上海,理6】函數(shù)f(x)3sinx+sin(2+x)的最大值是.【2008上海,理10】某海域內(nèi)有一孤島，島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區(qū)（含邊界），其邊界是長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓，已知島上甲、乙導(dǎo)航燈的海拔高度分別為h1、h2，且兩個導(dǎo)航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個焦點(diǎn)上，現(xiàn)有船只經(jīng)過該海域（船只的大小忽略不計(jì)），在船上測得甲、乙導(dǎo)航燈的仰角分別為1、2，那么船只已進(jìn)入該淺水區(qū)的判別條件是.7word格式支持編輯，如有幫助支持。文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，

15、已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助支持。26.【2007上海,理6】函數(shù)fxsinxsinx的最小正周期是T_3227.【2007上海,理11】已知圓的方程x22.直線y11，P為圓上任意一點(diǎn)（不包括原點(diǎn)）OP的傾斜角為弧度，OPd，則df的圖象大致為_28.【2007上海,理17】在三角形ABC中，a2,C,cosB25，求三角形ABC的面積S。4258word格式支持編輯，如有幫助支持。文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助支持。29.【2007上海,文4】函數(shù)ysecx?cosx的最小正周期T.2【答案】【解析】30.【2006上海,理6】如果co

16、s1，且是第四象限的角，那么cos()52【答案】265【解析】如果cos1，且是第四象限的角，sin26)sin=，那么cos(5526531.【2006上海,理8】在極坐標(biāo)系中，O是極點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A（4，），B（5，5），則OAB的面36積是【答案】5【解析】在極坐標(biāo)系中，O是極點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A（4，），B（5，5），AOB=27=5，所以145sin53666OAB的面積是S52632.【2006上海,理17】（本題滿分12分）求函數(shù)y2cos(x)cos(x)3sin2x的值域和最小正周期44【答案】2,2,9word格式支持編輯，如有幫助支持。文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支

17、持編輯，如有幫助支持。33.【2006上海,文6】函數(shù)ysinxcosx的最小正周期是_.【答案】【解析】函數(shù)ysinxcosx=1sin2x，它的最小正周期是.234.【2005上海,理9】在ABC中，若A120，AB=5，BC=7，則ABC的面積S=_.【答案】1534【解析】由余弦定理AB2BC2AC22BCACcos120解的AC=3，因此ABC的面積S1AC153ABsin1202435.【2005上海,文5】函數(shù)ycos2xsinxcosx的最小正周期T=_.【答案】【解析】ycos2xsinxcosxcos2x1sin2x5sin(2x)，得最小正周期為22【解后反思】三角函數(shù)的

18、變換要注意變換的方向，消除差異，達(dá)到轉(zhuǎn)化.36.【2005上海,文6】若cos10,，則cos=_.，372【答案】1114【解析】0,，sin1(1)243，277coscoscossinsin11.33314【解后反思】在三角函數(shù)的公式運(yùn)用過程中取決于滿足運(yùn)用公式的條件，已知三角函數(shù)值求同角的其它三角函數(shù)值時必須注意符號，否則就無所謂解決三角函數(shù)問題.10word格式支持編輯，如有幫助支持。文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助支持。37.【2005上海,文10】在ABC中，若A120，AB=5，BC=7，則AC=_.【答案】153438.【2005上海,文11

19、】函數(shù)f(x)sinx2|sinx|,x0,2的圖象與直線yk有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是_.【答案】1k3【解析】f(x)3sinx,x0,sinx,x,2從圖象可以看出直線yk有且僅有兩個不同的交點(diǎn)時,1k3二能力題組39.【2017高考上海，11】設(shè)1,2112，則1012的R，且2sin2sin122最小值等于.【答案】4【解析】由1sin1可得12sin3，則：111sin21由1sin221可得12sin223，則：1sin222則1212,2，2sin1sin223結(jié)合題意可得：111，則：2sin2sin2121,1，3,1，sin11,12kkZ，且：sin221,

20、2kkZ，2411word格式支持編輯，如有幫助支持。文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助支持。據(jù)此有：1012102k12k24，其中k1,k2Z，整理可得：1012432k1k2k1,k2Z，4不妨取k12,k27，此時1012取得最小值4.注：k1,k2的取法不唯一，只要滿足2k1k211即可.40.【2013上海,理21】已知函數(shù)f(x)2sin()，其中常數(shù)0.x(1)若yf(x)在4,2上單調(diào)遞增，求的取值范圍；3(2)令2，將函數(shù)yf(x)的圖像向左平移6個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)yg(x)的圖像區(qū)間a，(，R，且a)滿足：y(x)在a，上

21、至少含有30個零點(diǎn)在所有滿足babbgb上述條件的a，b中，求ba的最小值【答案】(1)03;(2)4343【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)在,2上單調(diào)遞增，且0，43所以2，且，2324所以03.4(2)f(x)2sin2x，將yf(x)的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位后得到y(tǒng)2sin2(x)1的圖像，所66以g(x)2sin2(x)1.6令g(x)0，得xk5或xk3(kZ)，12412word格式支持編輯，如有幫助支持。文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助支持。所以兩個相鄰零點(diǎn)之間的距離為或2.3若ba最小，則a和b都是零點(diǎn)，此時在區(qū)間a，a，a,2

22、a，a，ma(mN*)上分別恰有3,5，2m1個零點(diǎn)，所以在區(qū)間a,14a上恰有29個零點(diǎn)，從而在區(qū)間(14a，b上至少有一零點(diǎn)，所以ba14.3另一方面，在區(qū)間5,1435上恰有30個零點(diǎn)，1212因此，ba的最小值為1443.3341.【2010上海,理19】（本題滿分12分）已知0 x，化簡：2x)lglg(cosxtanx12sin22cos(x)lg(1sin2x).24【答案】0【解析】cosxtanx12sin2xcosxsinxcos(2x)sinxcosx，2cosx22cos(x)2(2cosx2sinx)sinxcosx，1sin2x(sinxcosx)2，422原式lg

23、(sinxcosx)(sinxcosx)lg10.(sinxcosx)2【點(diǎn)評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦、兩角差的余弦、對數(shù)的概念和運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，同時考查基本運(yùn)算能力.42.(2009上海,文20)已知ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,設(shè)向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).若mn,求證:ABC為等腰三角形;(2)若mp,邊長c=2,C=,求ABC的面積.3【答案】(1)參考解析;(2)313word格式支持編輯，如有幫助支持。文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助支持。解:由題意可知

24、mp=0,即a(b-2)+b(a-2)=0.a+b=ab.由余弦定理,可知4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,ab=4(ab=-1舍去).S1absinC14sin3.22343.【2008上海,理17】(13)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB，小區(qū)的兩個出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，且小區(qū)里有一條平行于BO的小路CD，已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘，若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長（精確到1米）14word格式支持編輯，如有幫助支持。文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支

25、持編輯，如有幫助支持?！?008上海,文18】（本題滿分15分）本題共有2個小題，第1個題滿分5分，第2小題滿分分已知函數(shù)f(x)=sin2x，g(x)=cos2x，直線xt(tR)6與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)（1）當(dāng)t時，求MN的值；415word格式支持編輯，如有幫助支持。word2MNt0，213;2321MNsin2cos2.24461cos23.5322sin2cos233ttsin2tcos2tMN622.83sin2.11t6t0,2t6,13266MN3.1545.2006,1812A20B3010Cos120=700.BC,BC

26、=20+10,BC=107.16word文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助支持。sinACBsin120,sin=3,20107ACB7ACB90ACB=41乙船應(yīng)朝北偏東71方向沿直線前往B處救援.46.【2006上海,文17】（本題滿分12分）5sin4已知是第一象限的角，且，求的值.cos413cos2【答案】13214sin()2(cossin)2(cossin)【解析】cos(24=22sin2214)cos2cos22cossin由已知可得sin12,1321132原式=51214.21313三拔高題組47.【2015高考上海理數(shù)】（本題滿分14分）

27、本題共有2小題，第小題滿分6分，第小題滿分8分如圖，C三地有直道相通，5千米，C3千米，C4千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過小時，他們之間的距離為ft（單位：千米）.甲的路線是，速度為千米/小時，乙的路線是C，速度為千米/小時.乙到達(dá)地后原地等待.設(shè)tt1時乙到達(dá)C地.（1）求與ft1的值；（2）已知警員的對講機(jī)的有效通話距離是千米.當(dāng)t1t1時，求ft的表達(dá)式，并判斷ft在t1,1上得最大值是否超過？說明理由.17word格式支持編輯，如有幫助支持。文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助支持。3325t242t18,3t7【答案】（1）t1，ft1

28、41（2）f(t)88不超過.885t,75t18，【解析】解：（1）t138記乙到C時甲所在地為D，則D15千米8在CD中，CD2C2D22CDcos，所以ft1CD341（千米）.8（2）甲到達(dá)用時小時；乙到達(dá)C用時3小時，從到總用時7小時3788當(dāng)t1t時，88ft78t22278t55t425t242t18；55t5當(dāng)7t1時，ft55t.825t242t18,3t7所以f(t)5t,788.5t18因?yàn)閒t在3,7上的最大值是f3341，ft在7,1上的最大值是f75，所以8888888ft在3,1上的最大值是341，不超過.88【考點(diǎn)定位】余弦定理【名師點(diǎn)睛】解三角形時，有時可用正

29、弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到18word格式支持編輯，如有幫助支持。文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助支持。48.【2014上海,理21】本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.如圖，某公司要在A、B兩地連線上的定點(diǎn)C處建造廣告牌CD，其中D為頂端，AC長35米，CB長80米，設(shè)A、B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為和.（1）設(shè)計(jì)中CD是鉛垂方向，若要求2，問CD的長至多為多少（結(jié)果精確到0.01米）？（2）施工完成后.CD與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實(shí)測得38