2022屆山西省太原市第五中學(xué)校高三下學(xué)期5月階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 18 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁(yè)2022屆山西省太原市第五中學(xué)校高三下學(xué)期5月階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）ABCD【答案】C【分析】解不等式求得集合，對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)是的子集列不等式，從而求得的取值范圍.【詳解】，當(dāng)時(shí)，滿足.當(dāng)時(shí)，由于，所以.綜上所述，的取值范圍是.故選：C2復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）ABCD【答案】A【分析】通過(guò)計(jì)算出，從而得到，根據(jù)虛部的概念即可得結(jié)果.【詳解】，即的虛部是，故選

2、A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的分類等，屬于基礎(chǔ)題.3已知，則（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式計(jì)算作答.【詳解】因，則.故選：D4第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)于2022年2月4日至20日在北京舉行，中國(guó)代表團(tuán)取得了9枚金牌，4枚銀牌，2枚銅牌的歷史最好成績(jī)2月8日，在自由式滑雪女子大跳臺(tái)坡面障礙技巧比賽中，中國(guó)運(yùn)動(dòng)員谷愛(ài)凌在最后一跳中完美地完成了超高難度動(dòng)作1620，得分反超對(duì)手，獲得了金牌已知六個(gè)裁判為谷愛(ài)凌這一跳的打分分別為95，95，95，93，94，94，評(píng)分規(guī)則為去掉六個(gè)原始分中的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，剩下四個(gè)有效分的

3、平均數(shù)即為該選手的本輪得分設(shè)這六個(gè)原始分的中位數(shù)為，方差為；四個(gè)有效分的中位數(shù)為，方差為則下列結(jié)論正確的是（）A，B，C，D，【答案】D【分析】由中位數(shù)求法分別求出、，再根據(jù)方差公式求、，比較它們的大小即可得答案.【詳解】由題設(shè)，評(píng)分從小到大為，去掉一個(gè)最高、低分為，所以，平均數(shù)，所以.故選：D5已知直線和圓，則“”是“直線與圓相切”的（）A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【分析】首先求出直線與圓相切時(shí)的取值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，則 ，解得，所以“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：B【點(diǎn)睛】

4、本題考查直線與圓的位置關(guān)系，充分必要條件，重點(diǎn)考查計(jì)算，理解能力，屬于基礎(chǔ)題型.6已知向量，且.若點(diǎn)的軌跡過(guò)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（）ABCD【答案】A【分析】先求出點(diǎn)的軌跡為動(dòng)直線，從而可求定點(diǎn).【詳解】因?yàn)?，故，整理得到：，故定點(diǎn)為：.故選：A.7函數(shù)的部分圖象大致為（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時(shí)，函數(shù)值的正負(fù)，即可得到答案；【詳解】，函數(shù)為偶函數(shù)，排除A,C，當(dāng)時(shí)，排除D，故選：B8已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于原點(diǎn)及對(duì)稱當(dāng)時(shí)，則下列敘述正確的是（）A是周期函數(shù)B的圖象關(guān)于對(duì)稱C在單調(diào)遞增D的值域?yàn)椤敬鸢浮緾【分析】根據(jù)條件，作出函數(shù)的圖象逐項(xiàng)判斷.【詳解】解

5、：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于原點(diǎn)及對(duì)稱且時(shí)，其圖象如圖所示：由函數(shù)圖象知：為奇函數(shù)，在單調(diào)遞增，其值域?yàn)?，不是周期函?shù)，圖象也不關(guān)于對(duì)稱，故選：C9如圖，某款酒杯的容器部分為圓錐，且該圓錐的軸截面為面積是的正三角形.若在該酒杯內(nèi)放置一個(gè)圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過(guò)酒杯口高度，則酒杯可放置圓柱形冰塊的最大體積為（）ABCD【答案】C【分析】先根據(jù)軸截面求出圓錐底面圓的半徑，設(shè)出圓柱形冰塊的底面半徑，用含的式子表達(dá)出圓柱形冰塊的高，從而得到圓柱形冰塊的體積關(guān)于x的表達(dá)式，用導(dǎo)函數(shù)求解最大值.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，圓柱形冰塊的底面圓半徑為，高為，由題意可得，解得:，設(shè)圓柱形冰塊的體積為

6、，則.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在取得極大值，也是最大值，所以，故酒杯可放置圓柱形冰塊的最大體積為.故選：C10，其中，e分別是圓周率自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）ABCD【答案】D【分析】判斷 ，采用作商法比較大小，根據(jù)的特征，可看作是曲線上兩點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可比較出二者大小關(guān)系，同理比較的大小關(guān)系，可得答案.【詳解】 ,而 表示連接兩點(diǎn) 連線的斜率，這兩點(diǎn)都在函數(shù) 的圖象上， ，如圖示，當(dāng) 時(shí)，曲線的切線的斜率k滿足 ，所以此時(shí)兩點(diǎn)連線的斜率，即 ，而 表示連接曲線上兩點(diǎn) 連線的斜率，如圖：而 ，當(dāng) 時(shí)，曲線的切線的斜率 滿足 ，所以此時(shí)兩點(diǎn)連線的斜率，即 ，故，故選：D11已知

7、函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有5個(gè)實(shí)根，則的取值范圍是（）ABCD【答案】D【分析】由方程，解得，得到的可能取值，根據(jù)題意得到，即可求解.【詳解】由方程，可得，所以，當(dāng)時(shí)，所以的可能取值為，因?yàn)樵匠淘趨^(qū)間上恰有5個(gè)實(shí)根，所以，解得，即的取值范圍是.故選：D.12已知函數(shù)f（x）aex2lnx2lna，若f（x）3，恒成立，則a的取值范圍為（）A1，）B，）Ce，）D2e，）【答案】C【分析】根據(jù)特殊值法，再結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法，通過(guò)放縮法、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】由題設(shè)可知，要使成立，則，即，設(shè)，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，而，由，.下證：當(dāng)時(shí)，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

8、所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，即（當(dāng)時(shí)，兩式等號(hào)成立），構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即（當(dāng)時(shí)，兩式等號(hào)成立），則，得證.所以.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：構(gòu)造不等式的形式，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)運(yùn)用放縮法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.二、填空題13若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)【答案】.【解析】首先畫出約束條件表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】解：約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示，解得即圖形是由原點(diǎn)，圍成的四邊形區(qū)域（包括邊界），由線性規(guī)劃可得當(dāng)直線平移到點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最大值，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)線性約束條件畫出可

9、行域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.14如圖，圖形中的圓是正方形的內(nèi)切圓，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為對(duì)角線與圓的交點(diǎn)，若向正方形內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分區(qū)域內(nèi)的概率為_(kāi)【答案】【分析】利用幾何概型概率計(jì)算公式，計(jì)算得所求概率.【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則陰影部分的面積為，故若向正方形內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分區(qū)域內(nèi)的概率為 故答案為：.15已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且數(shù)列，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則_.【答案】【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的關(guān)系求，從而求得，再利用裂項(xiàng)相消法求其前n項(xiàng)和即可.【詳解】對(duì)于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，.，則.故答案為：.16已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，漸近

10、線方程為，點(diǎn)A在圓上，若且點(diǎn)B是雙曲線右支上的點(diǎn)，則的正切值為_(kāi).【答案】【分析】根據(jù)題意求解出雙曲線方程，結(jié)合雙曲線性質(zhì)及三角形相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解，得到結(jié)果.【詳解】由題中條件知雙曲線的漸近線方程為，即，又因?yàn)殡p曲線方程為，所以，則，故焦點(diǎn)為，圓的方程為，則，又，恰為圓的直徑，點(diǎn)在圓上，故，而故點(diǎn)A為線段的中點(diǎn)，是等腰三角形，則，點(diǎn)在雙曲線的右支上，由雙曲線定義知，所以，在中由勾股定理得，則故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題需要有較強(qiáng)的綜合能力，關(guān)鍵是能熟練運(yùn)用雙曲線性質(zhì)及二倍角公式進(jìn)行求解.三、解答題17在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且_.在下面的三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充到上面

11、的問(wèn)題中，并給出解答.，.(1)求角C；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【分析】（1）選由正弦定理結(jié)合和角公式得出角C；選由和角公式結(jié)合輔助角公式得出角C；由數(shù)量積公式結(jié)合余弦定理得出角C；（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式得出周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】(1)選由正弦定理及，又，又，.選由，即，.，.選，.化簡(jiǎn)得，.又，.(2)由余弦定理得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.又，.周長(zhǎng)的取值范圍為.18如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，分別在邊上，且，為邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，沿將折到的位置，使.(1)證明：平面；(2)若平面內(nèi)的直線平

12、面，且與邊交于點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）首先確定，在中，利用勾股定理可證得；再根據(jù)等腰三角形三線合一可得；由線面垂直的判定定理可得結(jié)論；（2）連接，作交于點(diǎn)，由線面平行的判定可知平面，進(jìn)而確定，由，利用三棱錐體積公式可得結(jié)果.【詳解】(1)為等邊三角形，為中點(diǎn)，；，即，則在中，即；，為中點(diǎn)，又，；，平面，平面.(2)連接，過(guò)在平面上作交于點(diǎn)，平面，平面，平面，此時(shí)四邊形為平行四邊形，即三棱錐的體積為.19為了解“朗讀記憶”和“默讀記憶”兩種記憶方法的效率（記憶的平均時(shí)間）是否有差異，將40名學(xué)生平均分成兩組分別采用兩種記憶方法記憶同一篇文

13、章.由于事先沒(méi)有約定用什么圖表記錄記憶所用時(shí)間（單位：min），其結(jié)果是“朗讀記憶”用莖葉圖表示（如圖），“默讀記憶”用頻率分布直方圖表示（分組區(qū)間為，）（如圖）.(1)分別計(jì)算“朗讀記憶”和估算“默讀記憶”（估算時(shí)，用各組的中點(diǎn)值代替該組的平均值）記憶這篇文的平均時(shí)間（單位：min）；(2)依據(jù)（1），用m表示40位學(xué)生記憶的平均時(shí)間，完成下列22列聯(lián)表，判斷“朗讀記憶”和“默讀記憶”兩種記憶方法與其效率記憶的平均時(shí)間m是否有關(guān)聯(lián)，并說(shuō)明理由.參考公式和數(shù)據(jù)：小于m不小于m合計(jì)朗讀記憶（人數(shù)）默讀記憶（人數(shù)）合計(jì)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.8

14、28【答案】(1)“朗讀記憶”的平均時(shí)間為 min；“默讀記憶”的平均時(shí)間為 min；(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析；無(wú)關(guān)聯(lián)，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)公式直接求出兩種記憶方式記憶這篇文章的平均時(shí)間；（2）由（1）求出，即可得到列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，即可判斷.【詳解】(1)解：“朗讀記憶”的平均時(shí)間為 min；“默讀記憶”的平均時(shí)間為 min；(2)解：由（1）可知，由頻率分布直方圖可得“默讀記憶”中小于min的有人，所以列聯(lián)表如下所示：小于m不小于m合計(jì)朗讀記憶（人數(shù)）101020默讀記憶（人數(shù)）12820合計(jì)221840零假設(shè)為：“朗讀記憶”和“默讀記憶”兩種記憶方法與其效率記憶的平均時(shí)間無(wú)關(guān)

15、聯(lián)，所以，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷出不成立因此可以認(rèn)為成立，即 “朗讀記憶”和“默讀記憶”兩種記憶方法與其效率記憶的平均時(shí)間無(wú)關(guān)聯(lián)；20已知函數(shù)，其中.(1)討論的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）首先求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，分與兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意只需，即需要恒成立，設(shè)，由（1）中的結(jié)論求出的最小值，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，恒成立，參變分離可得，恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】(1)解：因?yàn)槎x域?yàn)椋?，?dāng)，恒成立，所以該函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)，令，

16、解得，令，解得，所以該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.綜上，當(dāng)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.(2)解：若要，只需，即需要恒成立.設(shè)，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，于是需要，恒成立，即，恒成立.設(shè)，則恒成立，所以，則，即.21已知橢圓的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)、右焦點(diǎn)都在軸上，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，的面積的最大值為，在軸上方使成立的點(diǎn)只有一個(gè)（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的兩直線，分別與橢圓交于點(diǎn)，和點(diǎn)，且，比較與的大小【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)已知設(shè)橢圓的方程為，由已知分析得，解得，即得橢圓的方程為.（2）先證明直線的斜率為0或不存在時(shí)，.再證明若的斜

17、率存在且不為0時(shí)，.【詳解】（1）根據(jù)已知設(shè)橢圓的方程為，.在軸上方使成立的點(diǎn)只有一個(gè)，在軸上方使成立的點(diǎn)是橢圓的短軸的端點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)是短軸的端點(diǎn)時(shí)，由已知得，解得.橢圓的方程為.（2）.若直線的斜率為0或不存在時(shí)，且或且.由，得.若的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)：，由得，設(shè)，則，于是 .同理可得.綜上.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的弦長(zhǎng)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.22在數(shù)學(xué)中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中著名的有笛卡爾心型曲線.如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標(biāo)方程為，為該曲線上一動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求的直角坐標(biāo)；(2)若射線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與該曲線交于點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）令，由此求得的值，進(jìn)而可求的直角坐標(biāo).（2）設(shè)出兩點(diǎn)極坐標(biāo)，通過(guò)三角形面積公式求得面積的表達(dá)式，將表達(dá)式轉(zhuǎn)換為關(guān)于的二次函數(shù)，即可求