九年級數(shù)學(xué)培優(yōu)教程整理篇(全)

1、 第1講二次根式的性質(zhì)和運算考點方法破譯. 了解二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義，能準(zhǔn)確進行辨析；.掌握二次根式有關(guān)性質(zhì)，并能熟練運用性質(zhì)進行化簡；.會根據(jù)二次根式的性質(zhì)挖掘題中隱含條件，求參數(shù)的值（或取值范圍）.經(jīng)典考題賞板【例1】（荊州）下列根式中屬最簡二次根式的是（）A. Ja2 1Bj C.而 D.歷【解法指導(dǎo)】判斷式子是否為最簡二次根式的條件有兩點：被開方式中不能含分母；被開方式中不能有可開盡方的數(shù)或式子.B中含分母，C、D含開方數(shù)4、9,故選A.【變式題組】 TOC o 1-5 h z .（中山）下列根式中不是最簡二次根式的是（）A. 1WB. 8C6D. 2Ja2 b2

2、 ；Jx ；Jx2 xy ；J27 abe ,最簡二次根式是（）A.，B.，C.， D,，【例2】（黔東南）方程4x 8 JX_y_m 0 ,當(dāng)y0時，m的取值范圍是（）A. 0m 2C. mv 2D. m0,故選 C.【變式題組】.（寧波）若實數(shù)x、y滿足Jx 2 （y 向 。，則xy的值是. TOC o 1-5 h z .（荊門）若jx_7（xy）2,則 xy 的值為（）A. - 1B.1C.2D. 3 x 3 ,、， 一.（鄂州）使代數(shù)式 ”上 有意義的x的取值范圍是（）x 4A. x3B. x3C. x4D. x3 且 xw4.（懷化）a 2 Vb-3 （e 4）2 0,則 abc=.

3、例3 下列二次根式中，與 J24是同類二次根式的是（）A,而 B,而 C. V48D. 754【解法指導(dǎo)】判斷幾個二次根式是否為同類二次根式應(yīng)先把它們都化為最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否一D.1. A. 而 3近, B. 屈 不能化簡；C.J48 4J3; D. 后 3J6,而J24 2，6 .故本題應(yīng)選【變式題組】.如果最簡二次根式 J3a8與J17 2a是同類二次根式，則 a=. TOC o 1-5 h z .在下列各組根式中，是同類二次根式的是（）A. J3和 J18B 君和 g C- J02b和 JOb2D. Ja1 和Ja1.已知最簡二次根式b 病和J2ba 2是同類二次卞式，則a=

4、,b =【例4】下列計算正確的是（）a.而 6 72b. 78 72 4c. 727 3石d.（1 72）（1 72） 1ab【解法指導(dǎo)】正確運用二次根式的性質(zhì)（jo）2而 7b(a0,b0)；b(b 0,a 0)a(a0)； Va2a進行化簡計算,并能運用乘法公式進行計算a(a0)0(a 0); a(ab0, a+b=6 jab ,則 罩一b的值為( a . b日 B 2 c.Q D I【例5】已知xy0,化簡二次根式xjT的正確結(jié)果為（A. 6 B. yl-yC.”【解法指導(dǎo)】先要判斷出y0知x0, b0,且“（石 亞）3/（而 5jb），求2a 3b 回的值. a b . ab演練鞏固反

5、饋提高 TOC o 1-5 h z 01 .若m 聞 4 ,則估計m的值所在的范圍是（）A. 1 v mv 2 B. 2 m 3C. 3vmv4D. 4vmv502.（綿陽）已知 J2 n是正整數(shù),則實數(shù) n的最大值為（）A. 12 B. 11C. 8D. 303.（黃石）下列根式中，不是,最簡二次根式的是（）a. b. 73c噌D. 7204.（賀州）下列根式中，不是最簡二次根式的是（）A. .2B. 6C. .8 D. . 1005.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A.疝B. Jx2 3 C.虐D. Vab06.（常德）設(shè)a=20, b=（-3）2, c 芋, d （1） 1,則a、

6、b、c、d、按由小到大的順序排列正確的是（）A. c avdvb B. bvdvavcC. a cvdvbD. bvcv avd07.（十堰）下列運算正確的是（）A.而也石B.6V2 而C.（也 1）2 3 1D. 552 32 5 308.如果把式子（1 a）J e根號外的因式移入根號內(nèi)，化簡的結(jié)果為（）A.1aB. Va_1C.品1D.41 a09.（徐州）如果式子 J（x 1）2 |x 2化簡的Z果為2x3,則x的取值范圍是（）A. x2C. 1x010.（懷化）函數(shù)y x 中自變量的取值范圍是（湘西）對于任意不相等的兩個數(shù)a, b,定義一種運算 a X b =、3 275 .那么 12

7、X4 =12.（荊州）先化簡，再求值:a2 1a2 2a 1a3a13.（廣州）先化簡，再求值:(a , 3)( aa(a 6),其中 a培優(yōu)升級奧賽檢測01.（涼山州）已知一個正數(shù)的平方根是3x 2 和5x+6,則這個數(shù)是02.已知a、b是正整數(shù)，且滿足 2（15a5 a1b5）是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對（a, b）共有03.（全國競賽）322a a a 2-3 a a04.（全國競賽）1=，a是x的小數(shù)部分，b是x的小數(shù)部，則a3+ b3+ 3ab=.2 105.（重慶競賽）已知x2 2 x2 25x 4 4 5x2 ,則 x2+ y2=06.（全國競賽）已知a 2,276, a 展 2,那

8、么a、b、c的大小關(guān)系是（）a b v cB.b a cC. c b aD . c a b07.（武漢聯(lián)賽）已知y均為實數(shù)），則y的最大值與最小值的差為（.6 3B.C.而3D.08.（全國競賽）已知非零實數(shù)a、b滿足2a7(a 3)b2 4 2a,則 a+b 等于(B.C.D. 209.（全國競賽）1712J2等于（5 4.2B.4.2 1C. 5D.10.已知2 , xy0(x0,y0),則3x xy5x 3X xy 4y的值為（）1B.一2C.D.11.已知4 .b-23/c3 c 5 ,求 a+ b+ c 的值.212.已知9 63與9 43的小數(shù)部分分別是 a和b,求ab-3a+ 4

9、b+8的值.第2講二次根式的化簡與求值考點方法破譯 TOC o 1-5 h z .會靈活運用二次根式的運算性質(zhì)化簡求值.會進行二次根式的有理化計算，會整體代入求值及變形求值.會化簡復(fù)合二次根式，會在根式范圍內(nèi)分解因式.【例1】（河北競賽）已知 JX 1=、又經(jīng)典考題賞板 2 ,那么1 2 x / 2 x 的值等于 HYPERLINK l bookmark118 o Current Document x3x 1 ，x9x 1【解法指導(dǎo)】通過平方或運用分式性質(zhì)，把已知條件和待求式的被開方數(shù)都用“m11 HYPERLINK l bookmark122 o Current Document 解：兩邊平

10、方得， x - 2 4, x - 2 xx HYPERLINK l bookmark124 o Current Document x2 9x 1 11x, 原式=、區(qū)上正 :511511,兩邊同乘以x 得，x21 -、,x 一表布或化簡變形.21 2x , x 3x 1【變式題組】4 (0 a0, b0,且 ja（ja 4而）3而（J? 2而），求2a 3b 岸b 的值. a b . ab例3 （四川）已知:_1_a -= (0a1）,求代數(shù)式x2 x 6x 3x2 2xxx工.a【解法指導(dǎo)】x-2x2-4 x為整體，把1 一 人:平方,移項用含a的代數(shù)式表示x-2, x2-4x,注意0v a

11、v 1的制約.解：平方得,x2 4x1 -a 2 ) . x 2 a a4 2, a4x 4 a22,，化簡原式=(x 3)(x 2) x(x 2) gx2x24x4x(a1)2 aa)a2 2(-a)a【變式題組】4.（武漢）已知,2 1求代數(shù)式2x 45(x 2x 2)的值.5.（五羊杯競賽）已知 m 1 72, n 1 衣，且(7m2 14ma)(3n2 6n 7) 8 ,則a的值等于(A. 5B. 5C. 9D. 9【例4】（全國競賽）如圖，點A、C都在函數(shù)y3 3 ,一(xx0）的圖像上，點B、D都在x軸上，且使得 OAB、 BCD都是等邊三角形，則點 D的坐標(biāo)為 .【解法指導(dǎo)】解：

12、如圖，分別過點 A、C作x軸的垂線，垂足分別為 E、F.設(shè)OE=a , BF=b,則 AE=/3a, CF=V3b,所以，點A、（2a+b，73b）,所以石a,解得、.3b（2a b） 3.3.3J6、. 3因此，點D的坐標(biāo)為（2j6,0）【變式題組】6.（邵陽）閱讀下列材料，然后回答問題C的坐標(biāo)為（a,在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如2一樣的式子,其實我們還可以將其進一步化簡:行 丫373 1535,3,3,333.3 1（一）.6（二）3 1,3 1、,3 1V3 1 ；（三） 2以上這種化簡的步驟叫做分母有理化，還可以用以下方法化簡:3 13 1.3 2 13131,31（1）請你

13、用不同的方法化簡近卜3 1/1；3 125/（四）參照（三）試得:參照（四）試得:11（2）化簡：1,3 1,5,3 HYPERLINK l bookmark104 o Current Document 2_.5. 3 HYPERLINK l bookmark102 o Current Document 11;（要有簡化過程）;（要有簡化過程）1,2n 1【例5】（五羊杯競賽）設(shè)a、b、c、d為正實數(shù)，ab,c d,bo ad,有一個三角形的三邊長分別為7a2c2,.b2 d2 , （b a）2 （d c）2 ,求此三角形的面積.【解法指導(dǎo)】雖然不能用面積公式求三角形面積（為什么？），Ja2

14、c2的幾何意義是以a、c為直角邊的直角三角形的斜邊，從構(gòu)造圖形入手，將復(fù)雜的本式計算轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決解：如圖，作長方形 ABCD,使AB=b-a, AD=c,延長DA至E,使DE=d,延長DC至F,使DF = b,連 結(jié) EF、 FB、 EB ,貝U BF = Va2 c2 , EF = Vb2 d2 ,b -E BE= ba)2(dc)2 ,從而知 BEF 就是題設(shè)的三角形，而字bef=S長方形 abcd + Smcf + $ abe字def = (b- a) c+ _ (d - c)( b a) 一211,、一 bd= - (bc- ad)【變式題組】7.（北京競賽）已知a、b均為正

15、數(shù)，且a+b=2,求,b2 1演練鞏固反饋提高,2,那么代數(shù)式2X2X2y-值為2y02 .設(shè) a 1,則 3a312a26a12 =(A.24B. 25C.4.7 10D. 4 1203.（天津）計算（.3 1）200120002( .3 1)2( 3i)1999200104.（北京競賽）若有理數(shù)X、y、z滿足或1.9Jz 2 - (x y z),則(x yz)05.（北京競賽）正數(shù)m、n 滿足 m 4jmn4而4n 3 0,則加斯8、m 2、n 200206.（河南競賽）若 x .3則 x3(2（1 2j3）x網(wǎng)5的值是（）A.B. 4C. 6D. 807.已知實數(shù)a滿足2000,a 20

16、01a ,那么a 20002的值是（）A. 1999B. 2000C. 2001D. 200208.設(shè) a J1003 廊7,.1001.999c 2J1000 ,則a、b、c之間的大小關(guān)系是（A. a b cC. c a0)的圖象上，P1OA1,P2A1A2, P3A2A3, PnAn-1 An都是等腰直角三角形，斜邊OA1、A1A2、A2A3、An-1An都在x軸上.求Pl的坐標(biāo)；求 yi+y2+y3+yi0的值.第4講根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系考點方法破譯.掌握一元二次方程根的判別式的運用，能兼顧運用的條件；.理解掌握一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，并會運用根與系數(shù)關(guān)系求對稱式的值經(jīng)典考題賞

17、板【例1】（成都）若關(guān)于x的一元二次方程 錯誤！未找到引用源。有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A. k-1B.錯誤！未找到引用源。C.k1D.錯誤！未找到引用源?！窘夥ㄖ笇?dǎo)】由題意得錯誤！未找到引用源。k h 0,選 a【變式題組】）C.錯誤！未找到引用源。D.錯誤！未找到引用源。.（十堰）下列方程中，有兩個不相等實數(shù)根的是（A.錯誤!未找到引用源。B.錯誤！未找到引用源。 TOC o 1-5 h z .（濰坊）關(guān)于x的方程錯誤！未找到引用源。 有實數(shù)根，則整數(shù) a的最大值是（）A. 6B.7C.8D.9【例2】（荊州）關(guān)于x的方程錯誤！未找到引用源。只有一解（相同解算一解），則a的

18、值為（）A. a=0B.a=2C.a=1D.a=0 或 a=2【解法指導(dǎo)】 本題考查方程的有關(guān)知識，關(guān)于x的方程錯誤！未找到引用源。只有一解，有兩種情況，該方程是一元一次方程，此時a=0;該方程是一元二次方程，方程有兩個相等的實數(shù)根，錯誤！未找到引用源。，解得a=2.故選D.錯誤！未找到引用源?！咀兪筋}組】.（成都）設(shè)錯誤！未找到引用源。是一元二次方程 錯誤！未找到引用源。的兩個實數(shù)根，則錯誤！未找到引用源。 的值為. （ 南通 ） 設(shè) 錯誤 ! 未找到引用源。 是一元二次方程錯誤 ! 未找到引用源。 的兩個實數(shù)根， 則 錯誤 ! 未找到引用源。則 a=【例3】（包頭）關(guān)于x的一元二次方程 錯

19、誤！未找到引用源。的兩個實數(shù)根分別是 錯誤！未找到引用源。，且 錯誤 ! 未找到引用源。=7, 則 錯誤 ! 未找到引用源。 的值是（ ） TOC o 1-5 h z A 1B.12C.13D.25【 解法指導(dǎo) 】 本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，要注意所求的值必須滿足 錯誤 ！ 未找到引用源。.由題意知：錯誤 ！未找到引用源。又錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。,而當(dāng) m=5 時，原方程的判別式錯誤 ！ 未找到引用源。 ,此時方程無解， 錯誤 ！ 未找到引用源。 不合題意舍去.錯誤！未找到引用源。,故選C.【 變式題組 】 （濰坊）已知關(guān)于x 的一元二次方程錯誤 ！ 未

20、找到引用源。 的兩個實數(shù)根是錯誤 ！ 未找到引用源。 ,則 k 的值是（）A 8B.-7C.6D.5 （鄂州）設(shè)錯誤！未找到引用源。是關(guān)于 x 的一元二次方程錯誤 ！未找到引用源。 的兩實根，當(dāng) a 為何值時，錯誤 ！未找到引用源。 有最小值？最小值是多少？【例4】 （蘭州）已知關(guān)于x的一元二次方程錯誤!未找到引用源。.如果此方程有兩個不相等的實數(shù)根，求a 的取值范圍；如果此方程的兩個實數(shù)根為 錯誤 ！未找到引用源。,且滿足錯誤 ！未找到引用源。 ,求 a 的值 .【解法指導(dǎo)】 解：（1）錯誤！未找到引用源。.方程有兩個不相等的實數(shù)根，錯誤！未找到引用源。.（2）由題意得： 錯誤 ！ 未找到引

21、用源。錯誤 ！ 未找到引用源?！?變式題組 】 （綿陽 ） 已知關(guān)于 x 的一元二次方程x2 + 2 （ k 1） x + k2 1 = 0 有兩個不相等的實數(shù)根（ 1）求實數(shù) k 的取值范圍； （ 2） 0 可能是方程的一個根嗎？若是，請求出它的另一個根；若不是，請說明理由.【例5】 （中山）已知關(guān)于 x的方程錯誤！未找到引用源。.1）求證: 方程有兩個不相等的實數(shù)根.2）當(dāng) m 為何值時，方程的兩根互為相反數(shù)？并求出此時方程的解 .解法指導(dǎo) 】 證明方程有兩個不相等的實數(shù)根，一般要把錯誤 ！ 未找到引用源。 化為完全平方加正常數(shù)的形(1)證明：因為 4Em 2)2 4(2m 1) = (m

22、 2)2 4所以無論m取何值時，A。，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根.(2)解：因為方程的兩根互為相反數(shù)，所以Xi X2 0,根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系得m 2 0,解得m 2,所以原方程可化為x2 5 0,解得Xi 、/，X2展【變式題組】.(中山)已知一元二次方程 錯誤！未找到引用源。.(1)若方程有兩個實數(shù)根， 求m的值；(2)若方程的兩個實數(shù)根為 錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。 +錯誤！未找到引用源。，求m的值.例6 設(shè)實數(shù)s,t分別滿足 錯誤!未找到引用源。，并且st月,求錯誤!未找到引用源。的值.【解法指導(dǎo)】本題要觀察s,t的共同點，應(yīng)用方程的思想，把它們看做一個一元二次

23、方程的兩根，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系求值.解：swo,錯誤！未找到第一個等式可以變形為：錯誤！未找到引用源。，又stwi錯誤!未找到引用源。t是一元二次方程 x2 + 99x + 19 = 0的兩個不同的實根，于是，有甘源。，即 st + 1 = 99s, t = 19s.錯誤！未找到引用源。演練鞏固反饋提高01.(東營)若n (nwQ是關(guān)于x的方程錯誤！未找到引用源。的根，則m+n的值為A.1B.2C.-1D.-202.(株洲)定義：如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)滿足a b c 0 ,那么我們稱這個方程為 “鳳凰” 方程.已知ax2 bx c 0(a 0)是“鳳凰”方程，且有兩個相

24、等的實數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是A. a cB. a bC. b cD. a b c03.(崇左)一元二次方程 錯誤！未找到引用源。 的一個根為-1 ,則另一個根為 .04.(賀州)已知關(guān)于x的二次方程x2 x m 0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍05.(上海)如果關(guān)于 x的方程x2 x k 0 ( k為常數(shù))有兩個相等的實數(shù)根，那么k1、06 .(泰安)關(guān)于x 的一元次方程22x (2k 1)x 2 k 0有實數(shù)根的取值范圍07.(淄博)已知關(guān)于 x的方程x2 2(k 3)xk2 4k 1 0.(1)若這個方程有實數(shù)根，求(2)若這個方程有一個根為 1,k的取值范圍;求k的值；上,0

25、9.(3)若以方程x2 2(k 3)x求滿足條件的 m的最小值.08.已知關(guān)于x的二次方程(1)若方程有兩個相等的實數(shù)根，求(2)若方程的兩個實數(shù)根之積等于(孝感)已知關(guān)于 X的k2 4k 10的兩個根為橫坐標(biāo)、 縱坐標(biāo)的點恰在反比例函數(shù)錯誤!未找到引用源。m的值；錯誤!未找到引用源。，求錯誤!未找到引用源。的值.二次方程2(2 m 1)x m 0有兩個實數(shù)根x1和x2.m -y 一的圖象x(1)求實數(shù)m的取值范圍;(2)當(dāng) xi22x20時，求m的值.10.(鄂州)關(guān)于x的方程kx2 (k 2)xk0有兩個不相等的頭數(shù)根4（1）求k的取值范圍.（2）是否存在實數(shù)k,使方程的兩個實數(shù)的倒數(shù)和等

26、于0*存在，求出k的值；若不存在，說明理由11.（北京）已知：關(guān)于 x的一元二次方程 mx2 （3m 2）x 2m 2 0（m 0）.（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1 ,x2（其中x1x2） .若y是關(guān)于m的函數(shù)，且yx22x1,求這個函數(shù)的解析式；（3）在（2）的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當(dāng)自變量 m的取值范圍滿足什么條件時，y w 2m.12.（淄博）已知 七發(fā)是方程x22x a0的兩個實數(shù)根，且x1 2x2（1）求x, x2及a的值; TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark336 o Current Document

27、 32(2)求 x13x12x1 x2 的值.培優(yōu)升級奧賽檢測 HYPERLINK l bookmark269 o Current Document 2211.01.（全國聯(lián)賽）設(shè)a2 1 3a, b2 1 3b,且a b,則代數(shù)式二的值為（）a bA 5.B7.C 9.D.11.02.（延邊預(yù)賽）已知m是方程錯誤！未找到引用源。的一個根，則代數(shù)式錯誤！未找到引用源。的值等于（）A . 2016B.2017C.2018D.201903 .如果a、b都是質(zhì)數(shù)，且 錯誤！未找到引用源。，那么錯誤！未找到引用源。 的值為（）A.錯誤!未找到引用源。B.錯誤！未找到引用源。C.錯誤！未找到引用源。D錯

28、誤找到引用源?；?04 （全國競賽）已知實數(shù)錯誤 ! 未找到引用源。 ，且滿足 錯誤 !未找到引用源。 的 值為（A 23B.-23C.-2D.-1305.（ 全國競賽 ）設(shè)錯誤 ! 未找到引用源。 是關(guān)于 x 的方程 錯誤 ! 未找到引用源。 的兩個實數(shù)根，則 錯誤 ! 未找到引 用源。 的最大值為 06已知 錯誤 ! 未找到引用源。 是方程 錯誤 ! 未找到引用源。 的兩個實數(shù)根，則 錯誤 ! 未找到引用源。07.（全國聯(lián)賽）對于一切不小于2的自然數(shù)n,關(guān)于x的一元二次方程錯誤!未找到引用源。的兩個根記作錯,則錯誤 !未找到引用源。 _08已知關(guān)于x 的方程： 錯誤!未找到引用源。.（1）

29、求證：無論m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根；（ 2）若這個方程的兩個實根為錯誤!未找到引用源。，滿足 錯誤 !未找到引用源。,求 m 的值及相應(yīng)的 錯誤 !未找到引用源。09 （全國競賽） 設(shè) m 是不小于 -1 的實數(shù)， 使得關(guān)于 x 的方程 錯誤 !未找到引用源。 有兩個不相等的實數(shù)根錯誤 !未找到引用源。 ,（1）若錯誤 !未找到引用源。 ,求 m 的值；（ 2）求 錯誤 ! 未找到引用源。 的最大值 .第5講一元二次方程的應(yīng)用考點方法破譯.能靈活應(yīng)用一元二次方程的四種解法解方程；.會建立一元二次方程模型解實際應(yīng)用題. 經(jīng)典考題賞析【例1】（南平）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共

30、有100人患了流感，那么每輪傳染中平均一個人傳染的人 數(shù)為（）A. 8 人 B. 9 人 C. 10 人 D. 11 人【解法指導(dǎo)】構(gòu)建一元二次方程模型求解.設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為x,第一輪被傳染人數(shù)為 x,患流感人數(shù)為x+1 ;第二輪被傳染人數(shù)為 x（x+1）,所以1+x+x（x+1）=100 ,解得x=9.應(yīng)選B.【變式題組】.（甘肅）近年來，全國房價不斷上漲，某縣 2010年4月份的房價平均每平方米為 3600元，比2008年同期的房價 平均每平方米上漲了 2000元，假設(shè)這兩年該縣房價的平均增長率為x,則關(guān)于x的方程為 . TOC o 1-5 h z .（襄樊）為了改善居民

31、住房條件，我市計劃用未來兩年的時間，將城鎮(zhèn)居民的住房面積由現(xiàn)在的人均約為10m2。提高到12. 1 m2。，若每年的年增長率相同，則年增長率為（）A. 9%B. 10% C. 11% D. 12%.（太原）某種品牌的手機經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價，每部售價由3200元降到了 2500元.設(shè)平均每月降價的百分率為x,根據(jù)題意列出的方程是 .【例2】（黃石）三角形兩邊的長是 3和4,第三邊的長是方程 x2 12x+35=0的根，則該三角形的周長為 （）A. 14 B. 12 C. 12或14 Do以上都不對【解法指導(dǎo)】方程x2 12x+35=0可化為（x - 7）（x 5）=0,解得x=7或x=5

32、 ,當(dāng)x=7時，三邊不能構(gòu)成三角形,所以第三邊的長只能取 5,該三角形的周長為 12.應(yīng)選B.【變式題組】.（青海）方程x2 9x+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為（）A. 12 B. 12 或 15 C. 15 D.不能確定.（襄樊）如圖，在平行四邊形 ABCD中，AE上BC于E, AE=EB=EC=a ,且a是一元二次方程 x，2x 3=0的根,則平行四邊形ABCD的周長是（）A、4 242B、12 6&C、2 2拒 D、12 6方或2 2顯【例3】（莆田）已知。01和。02的半徑分別是一元二次方程（x1）（x 2）=0的兩根，且。1。2=2,則。01和。02的位

33、置關(guān)系是 .【解法指導(dǎo)】依題意，O Q和。Q的半徑分別為1和2, lO1Q3, OO和。Q相交.【變式題組】.（蘭州）兩圓的圓心距為l,兩圓的半徑分別是方程x2 5x+6=0的兩個根，則兩圓的位置關(guān)系是（）A.外離 B.內(nèi)切 C.相交D.外切.（江蘇）某縣2008年農(nóng)民人均年收入為 7800元，計劃到2010年，農(nóng)民人均年收入達到9100元.設(shè)人均年收入的平均增長率為x,則可列方程.（慶陽）如圖，在寬為20米、長為30米的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部h-30m 分作為耕地.若耕地面積需要55 l米。，則修建的路寬應(yīng)為（）A、1 米 B、1. 5 米 C、2 米 D、2. 5米【例4】

34、（白銀）在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算“”，其法則為：ab=a2.（長沙）當(dāng)m為何值時，關(guān)于z的一元二次方程 x24x+m 1 =0有兩個相等的實數(shù)根？此時這兩個實數(shù)根是多 - b2,求方程（43）x=24的解.【解法指導(dǎo)】解此類題要嚴格按照定義進行變換.解：. a b=a2 - b 2 -. （4 3） x=7 x=72-x 2. 72-x 2 =25. ，x=5.【變式題組】.（全國競賽）對于實數(shù)u、v,定義一種運算”為: u Xv=uv+v,若關(guān)于x的方程x X （a Xx）= 一。有兩個不同的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是 .【例5】（十堰）如圖，利用一面墻（墻的長度不超過45m）,用8

35、0m長的籬笆圍一個矩形場地.（1）怎樣圍才能使矩形場地的面積為750m2 , （2）能否使所圍矩形場地的面積為,，_8l0 m2 ,為什么？x）米.依題意，得【解法指導(dǎo)】解：（1）設(shè)所圍矩形ABCM長AB為x米，則寬AD為-（80 x - - （80 一 x）=750，即 x 80 x+1500=0.解此方程，得 Xi=30, x2=50.墻的長度不超過 45m,X2=50不合題意，應(yīng)舍去.當(dāng) x=30時，-（80 - x）= 1X（80 30）=25.所以，22當(dāng)所圍矩形長為 30m寬為25m時，能使矩形的面積為75002.（2）不能.因為由 x - 1 （80 一 x）=810,得 x2

36、80 x+1620=0.又b2-4ac=（ 80）2 4X 1 X 1620= - 800 .上述方程沒有實數(shù)根.因此，不能使所圍矩形場地的面積為810 m2.【變式題組】.（廣東）某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染.請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦 ？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會 不會超過700臺？鞏固練習(xí) 反饋提高 ，1.（南通）某省為解決農(nóng)村飲用水問題，省財政部門共投資20億元對各市的農(nóng)村飲用水的“改水工程”予以一定比例的補助.2008年，A市在省財政補助的基礎(chǔ)上再投入600萬元用于“改水工程”，

37、計劃以后每年以相同的增長率投資，2010年該市計劃投資“改水工程”1176萬元.（1）求A市投資“改水工程”的年平均增長率；（2）從2008年到2010年，A市三年共投資“改水工程”多少萬 ？.(貴陽)汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，有效促進我國現(xiàn)代化建設(shè).某汽車銷售公司 2005年盈利1500萬元，到2007年盈利2160萬元，且從2005年到2007年，每年盈利的年增長率相同。(1)該公司2006年盈利多少萬元？(2)若該公司盈利的年增長率繼續(xù)保持不變，預(yù)計 2008年盈利多少萬元？.(慶陽)某企業(yè)2006年盈利1500萬元，2008年克服全球金融危機的不利影響，仍實現(xiàn)盈利2160萬元.從2006年到20

38、08年，如果該企業(yè)每年盈利的年增長率相同，求：(1)該企業(yè)2007年盈利多少萬元？(2)若該企業(yè)盈利的年增長率繼續(xù)保持不變，預(yù)計2009年盈利多少萬元？培優(yōu)升級奧賽檢測.(河南)已知X1、X2是關(guān)于x的一元二次方程 x26x+k=0的兩個實數(shù)根，且 x12x22一x1一x2=115 .求k的值；(2)求x12+x22 +8的值.(臨沂)為落實素質(zhì)教育要求，促進學(xué)生全面發(fā)展，我市某中學(xué) 2009年投資11萬元新增一批電腦，計劃以后每年以相同的增長率進行投資，2011年投資18. 59萬元.(1)求該學(xué)校為新增電腦投資的每年平均增長率；(2)從2009年到2011年，該中學(xué)三年為新增電腦共投資多少

39、萬元？.(南寧)如圖，要設(shè)計一個等腰梯形的花壇，花壇上底長 120米，下底長180米，上下底相距80米，在兩腰中 點連線(虛線)處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等.設(shè)甬道的寬為x米.(1)用含x的式子表示橫向甬道的面積為 平方米；(2)當(dāng)三條甬道的面積是梯形面積的八分之一時，求甬道的寬.（廈門）某商店購進一種商品，單價 30元.試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量 P（件）與每件的銷售價 x（元）滿足 關(guān)系：P=100-2x.若商店每天銷售這種商品要獲得 200元的利潤，那么每件商品的售價應(yīng)定為多少元？每天要售出這種商品多少件？.（慶陽）如圖.張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮

40、， 他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為 1米的正方形后， 剩下的部分剛好能圍成一個容積為 15米2的無蓋長方體箱子， 且此長方體箱子的底面長比寬多 2米，現(xiàn)已知購買這 種鐵皮每平方米需 20元錢，問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少元錢 ？.（益陽）如圖， ABC 中，已知/ BAC=45 , AD，BC 于 D, BD=2 , DC=3 ,求 AD 的長.小萍同學(xué)靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題.請按照小萍的思路。探究并解答下列問題：（1）分別以AB、AC為對稱軸，畫出 ABD、AACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為 E、F,延長EB、FC相交 于G點，證明四邊形 A

41、EGF是正方形；（2）設(shè)AD=x ,利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出 x的值.7.（全國競賽）某校舉行春季運動會時，能組成一個正方形隊列；如果原隊列中減少120人,就由若干個同學(xué)組成一個8列的長方形隊列.如果原隊列中增加120人，也能組成一個正方形隊列.問原長方形隊列有同學(xué)多少人第6講一元二次方程的整數(shù)根考點方法破譯.方程的整數(shù)根問題是各級各類競賽的熱點內(nèi)容，重點考查含參方程，一般要求參數(shù)的值；.基本方法有：分解求根法、消參法、判別式法、反客為主法、綜合法， 經(jīng)典考題賞析【例1(全國聯(lián)賽)已知方程a2x2-(3a2-8a)x +2a2-13a +15 =0 (其中a是非負整數(shù))，至少有

42、一個整數(shù)根，那么a=.【解法指導(dǎo)】本題需要分類討論，分一次和二次兩種情況.對于二次，可用分解求根法.解：a=0時，貝U需2a2-13a +15 =0,矛盾.所以此時無整數(shù)解； aw0,分解得(ax +3 - 2a) (ax +5 -a) =0 .一八3,5 口 一八aw 0,解得 x1 2 , x2 1 .則a是3或5的約數(shù)，故a可取土 1, 3或 5.【變式題組】.(全國競賽)已知關(guān)于 x的方程(a- 1)x2 +2x- a- 1 =0的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)a有 個.(全國競賽)設(shè)關(guān)于 x的二次方程(k2-6k +8) x2+ (2k2-6k-4) x+ k2 =4的兩根都是整數(shù)，

43、求滿足條件的所有實 數(shù)k的值.【例2】(全國競賽)試確定一切有理數(shù) r,使得關(guān)于石的方程rx2+(r+2)x+r -1 =0有且只有整數(shù)根.【解法指導(dǎo)】解：(1)若 r=0,本題需要分類討論，分一次和二次兩種情況.對于二次，可用消參法,一、-，x=1 ,原方程無整數(shù)根；t r 2/(2)當(dāng) rw0 時，X x2 1r 1xx 11 一，消去 r 得：4x1x2 2 x1 x2 1 7,得 r(2xi - 1) (2x2-1) =7,令 xi0,它一定有兩個不同的實數(shù)根而原方程的根都是整數(shù)，所以方 都是整數(shù)，因此它的判別式= (a+18)2 -224應(yīng)該是一個完全平方數(shù)，設(shè) (a+18)2- 2

44、24 =k2 (其整數(shù)),則(a +18)2 - k2= 224,即(a+18 +k) (a+18 -k) =224.顯然 a+18 +k 與 a+18-k 的奇偶性相同,且a+18 + k 18,而 224 =112X 2 =56X4 =28 X8,所以a 18k112j a18k56,或a 18k2, a18k4,或 a 18 ka 18 k28,解得a8, k39,或 a55, k12,或 a26, k0,10,而a是正整數(shù)，所以只可能a 39,或 a 12,k 55, k 26.當(dāng)a=39時，方程(l)即x2 +57x +56 =0 ,它的兩根分別為1和56.此時原方程的三個根為1,

45、1, 56.當(dāng)a= 12時，方程(1)即x2 +30 x +56 =0 ,它的兩根分別為-2和-28.此時原方程的三個根為 1, 2, 28.【變式題組】c565.(全國聯(lián)賽)設(shè) a是正整數(shù)，二次函數(shù) y=x2+(a+17)x+38 -a,反比例函數(shù)y=,如果兩個函數(shù)圖象的父點都是整x點(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點)，求a的值，【例5】（全國競賽）關(guān)于 x, y的方程x2 +xy+2y2= 29的整數(shù)解（x, y）的組數(shù)為（）A.2組 B. 3組C.4組 D.無窮多組x2+xy+(2y2- 29)=0 .由于該方程有整數(shù)根，則判別式4 0,且是完全平方數(shù).由 A =y2- 4 (2y2-29)

46、 = - 7y2 +1160,解得 y2w 116-16. 57.于【解法指導(dǎo)】本題可用判別式法.解：可將原方程視為關(guān)于算的二次方程，將其變形為2 y01491611610988534顯然，只有y2=16時， =4是完全平方數(shù)，符合要求.當(dāng) y=4時，原方程為x2+4x +3 =0.此時xi = l, x2= 3;當(dāng) y= 4 時，原方程為 x2- 4x +3 =0 ,此時 x3 =1 , x4=3.所以，原方程的整數(shù)解為【變式題組】yi1, x,3, x21,x2 3,4；y2 4;y24; y24.x 2y 3a b6.（武漢）整數(shù)a使得關(guān)于x、y的方程組99對于每一個實數(shù)b總有實數(shù)解，求

47、整數(shù) a的值.xy b2 2a2 3b 4演練鞏固反饋提高.（全國競賽）關(guān)于 x、y,的方程x2+y2= 208 （x-y）的所有正整數(shù)解為 .若直角三角形的兩條直角邊都是整數(shù)，且是方程x2-（m+2）x+4m =0的根，求m及三角形三邊長.已知方程ax2-（a-3）x+a-2=0中的a取整數(shù)，試求出能使此方程的解至少有一個是整數(shù)時a的值. 113a .（全國聯(lián)賽）設(shè) a是正整數(shù)，如果一次函數(shù) y =2x2+（2a +23）x+10 - 7a和反比函數(shù)）y 的圖象有公共整x點（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點），求a的值和對應(yīng)的公共點.（全國競賽）已知 p、q都是質(zhì)數(shù)，且使得關(guān)于 x的二次方程x2-

48、（8p - l0q）x +5pq =0至少有一個正整數(shù)根，求所 有的質(zhì)數(shù)對（p, q） .培優(yōu)升級奧賽檢測.（全國競賽）已知 a、b都是正整數(shù)，試問關(guān)于 x的方程x2 - abx+1 （a +b）=0是否有兩個整數(shù)解？如果有，請把它2們求出來；如果沒有，請給出證明.(全國競賽)(1)是否存在正整數(shù) m、n,使得m(m+2)=n(n+1)?(2)設(shè)k (k3)是給定的正整數(shù)，是否存在正整數(shù) m, n,使得 m (m+k) =n(n+1)?.(全國競賽)如圖所示，O 。的直徑的長是關(guān)于 x的二次方程x2+2 (k-2) x十k=0 (k是整數(shù))的最大整數(shù)根. P 是。外一點，過點 P作。的切線PA

49、和割線PBC,其中A為切點，點 B, C是直線PBC與。的交點.若 PA, PB, PC的長都是正整數(shù)，且 PB的長不是合數(shù)，求 PA2+ PB2+ PC2的值.(全國聯(lián)賽)設(shè)整數(shù) a、b、c (ab c)為三角形的三邊長，滿足a2+b2+c2-ab-ac-bc=13,求符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù).(全國聯(lián)賽)已知二次函數(shù)y=x2+bx-c的圖象經(jīng)過兩點 P(l, a), Q(2, l0a).(1)如果a、b、c都是整數(shù)，且 cb8a,求a、b、c的值；(2)設(shè)二次函數(shù)y=x2+bx-c的圖象與x軸的交點為A、B,與y軸的交點為C.如果關(guān)于石的方程 x2+ bx - c=0的兩 個

50、根都是整數(shù)，求 ABC的面積.第7講旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)變換（二）考點方法破譯.掌握旋轉(zhuǎn)的三個性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊，對應(yīng)角相等；每對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn) 中心所連線段所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角；2,會判斷圖形的旋轉(zhuǎn)過程，會利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)解實際問題；能利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)進行開放探究。經(jīng)典考題賞板【例1】（咸寧）如圖，在 RtABC中，AB=AC D E是斜邊BC /DAE=45,將 ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn) 900后，得到 AFB,連 結(jié)論：CD AEg AEF； ABEs ACQ BE+DC=D E bE+dC=dE其中正確的是（）A. B. C. D. 【解法指導(dǎo)】本題解題可利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)切入解：

51、由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知， /FAD=Z FBC=9C0,且 AF=AD -/ DAE=45, FAE=45,由 AF=AD Z FAE=Z DAE AE=AD 得AE、 AEF7,正確；由勾股定理得 BL+BEFU,將BF=DC FE=DER入彳導(dǎo),bE+dC=dE正確；且知不正 確；若/ AFA / ADC則不正確，故本題選 B【變式題組】1.如圖，在等腰 RtABC的斜邊 AB上取兩點 M N,使/ MCN=4$記AM=m,MN=x,BN=d,U以線段x、m n為邊 長的三角形的形狀是（）A .銳角三角形 B .直角三角形C.鈍角三角形 D.隨x、m、n的變化而改變第】題圖例2圖第2題圖【例2 （孝

52、感）如圖，將放置于平面直角坐標(biāo)系中的三角板AOB=90, / B=90, AB=1,則 B1 點的坐標(biāo)為（）011.AO暇 O點順時針旋轉(zhuǎn) 90 ,得 AOB。已知/A .33(2萬)c. (2,1101.1113【解法指導(dǎo)】 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得/ AOB=30 , OB=OB=v3 ,過B作BH垂直丫軸于H。可得BH=-,則B1點的坐標(biāo)為（上3,3）,本題選A。2 2【變式題組】1.（）如圖，將邊長為 12008次，點P依次落在點 P1, 標(biāo)為例3 （邵陽）如圖將RtABC其中 / B=340, / C=9C0）繞那么旋轉(zhuǎn)角最小等于（）的正三角形OAPgX軸正方向連續(xù)B, P3,P2008的位

53、置,則點 B008的翻轉(zhuǎn)橫坐按順時針方向旋轉(zhuǎn)到 ABC的位置，使得點 C、A, B在同一條直線上, 【解法指導(dǎo)】 可以選擇/ BAB為旋轉(zhuǎn)角，由三角形外角和定理得/ 【變式題組】BAB=340+90=1240,應(yīng)選區(qū)3.（津州）如圖， OA喊點O逆時針旋轉(zhuǎn)800得到 OCD若/ A=110, / D=40則/ a的度數(shù)是（.（陜西）如圖，/ AOB=90, / B=300在AB上，則旋轉(zhuǎn)角a的大小可以是（）A . 300 B. 450 C. 600 D.900.（株洲）如圖是“大西洋公約組織” AbB可以看作是由 AOB繞點。順時針旋轉(zhuǎn)a角度得至IJ的,標(biāo)志的主體部分（平面圖）若點A1它是由四

54、個完全相同的四邊形 OABO成的,測彳導(dǎo) AB=BC OA=OC OAL OC / ABC=36,貝U / OABt勺度數(shù)是（）ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)900后，得到 ABC1,A . 1160B. 1170 C. 1180D, 1190【例4 （昆明）在 RtABC中，/ C=900, BC=4cm AC=3cm,把4如圖所示，則點 B所走過的路徑長為（A. 542cmB.5一 cm C.4）5-cm D. 5 cm2【解法指導(dǎo)】 HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 15-25 HYPERLINK l bookmark267 o Current

55、Document 42【變式題組】占八、B所走過的路徑是以AB為半徑、圓心角為900的圓弧，又 AB=5cm,所以路徑長為應(yīng)選C6.（麗水）把一副三角板按如圖（1）位置擺放，使得兩塊三角板的直角邊AC和MDM合，已知AB=AC=8cm將.cm2（結(jié)果精確到 ME畸點A （MD逆時針旋轉(zhuǎn)600后如圖（2）,兩個三角形重疊（陰影）部分的面積約是0.1,3 1.73).【例5】(南寧)已知ABJE平面坐標(biāo)系中的位置如圖所示。分別寫出圖中點 A和點C的坐標(biāo)；畫出 ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn) 900后的 ABC1;求點A旋轉(zhuǎn)到點A1所經(jīng)過的路線長(結(jié)果保留 )【解法指導(dǎo)】解：(1) A (0, 4)、

56、C (3, 1) (2)圖略AC=3j2,弧 AA190 3 2180【變式題組】1.(武漢)如圖，已知 ABC的三個頂點分別為 A (-2, 3)、B (-6, 0)、C (-1。0)(1)請直接寫出點 A關(guān)于Y軸對稱的點的坐標(biāo)；(2)將 ABC繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90,畫出圖形，直接寫出點B的對應(yīng)點的坐標(biāo);(3)請直接寫出：以 A、R C為頂點的平行四邊形的第四個頂點的坐標(biāo)。2.(齊齊哈爾)如圖，在平面坐標(biāo)系，(1)若將 ABC向右平移3個單位,ABC的頂點坐標(biāo)為 A (-2, 3)、B (-3, 2)、C (-1, 1)。再向上平移 1個單位長度，請畫出平移后的A1B1G(2)畫出 A

57、BC繞原點旋轉(zhuǎn)1800后得到的 ABC2； A1B1C1與4ABC是中心對稱圖形，請寫出對稱中心的坐標(biāo)： (4)順次連結(jié)C C、C、C2所得到的圖形是軸對稱圖形嗎？的頂點坐標(biāo)分P (0, 2)繞點 1800得點R, 則點P2010的坐【例6】(全國競賽)如圖在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，等腰梯形ABCD 別為 A (1, 1)、B (2, -1 ) , C (-2 , -1 )、D (-1 , 1), Y 軸上一點 A旋車專1800得到P1,點P1繞點B旋轉(zhuǎn)1800得到P2；點P2繞點C旋轉(zhuǎn) 點P3繞點D旋轉(zhuǎn)1800得到P4,，重復(fù)操作依次得到 P1、P2、， 標(biāo)是()A (2010, 2) B

58、、(2010, -2) C、(2012, -2) D. (0, 2)【解法指導(dǎo)】由已知可以得到，點P1、P2的坐標(biāo)分別為(2,0),(2, -2),記P2(a2,b2),其中a2=2,b2=-2,根據(jù)對稱關(guān)系，依次可以求得：P3(-4-a 2,-2-b2),P4(2+a 2,4+b2),P5(-a2,-2-b2),P 6(4+a2,b 2),令 P6(a6,b2),同樣可以求得，點P10的坐標(biāo)(4+a6,b2)即P10(4 X 2+a2,b 2),由于2010=4X 502+2,所以點 P2010的坐標(biāo)為(2010,-2),本題應(yīng)選B?！咀兪筋}組】.(東莞)如圖，點 O是線段AD的中點，分別以

59、 AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形 OA*口等邊三 角形OCD連結(jié)AC和BD,相交于點E,連結(jié)BC,求/AEB的大?。?2)如圖， OAB固定不動，保持OCD勺形狀和大小不變，將4 OC璘點O旋轉(zhuǎn)( OA*口OCM能重疊)，求/ AEB的大小。 .（衡陽）如圖，圓心角都是 900的扇形 OABW扇形OCDft放在一起，連結(jié) AC, BD （1）求證：AC=BD （2）32右圖中陰影部分的面積TE - cm , OA=2cm求OC勺長。4演練鞏固反饋提高01.（廣州）將左圖所示的圖案按順時針方向旋轉(zhuǎn)900后可以得到的圖案是（）1 一02.（黑龍江）如圖，將4ABC沿DE折疊，使點A與B

60、C邊上的中點F重合，下列結(jié)論中：EF/ AB且EF-AB ;21/ BAF=Z CAF; S 四邊形 adf=，AF ?DE ；/ BDF+/ FEC=2Z BAC 正確的個數(shù)是（）2A . 1 B. 2 C. 3 D. 4R03.（揚州）如圖， ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，P為 ABC內(nèi)一點，將 ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后與 ABP重合，如果 AP=33那么線段PP1的長等于 .04.（達州）如圖所示，邊長為2的等邊三角形木塊， 沿水平線l滾動，則A點從開始至結(jié)束所走過的路線長為: （結(jié)果保留準(zhǔn)確值）r8Th,第4題圖第5題圖05.（青島）如圖邊長為 1的兩個正方形互相重合，按住其中一