北航理力課件d-ch9b

1、理論力學(xué)作業(yè)：9-4、9-8、9-27第二類Lagrange方程d T T Q ,2,L,)jdtq&2012-2-281理論力學(xué)問題的引出n動(dòng)力學(xué)普遍方程：優(yōu)點(diǎn)：直接求解主動(dòng)力與運(yùn)動(dòng)（加 0FIii 1BFM IBFA速度）的關(guān)系方程中不出現(xiàn)約束力IAxICmgM ICmg有幾個(gè)度就對(duì)應(yīng)有幾個(gè)Cmg rC方程缺點(diǎn)：當(dāng)物體數(shù)目多時(shí)慣性力（加5 3mR aA x aAmCC22 5 a32C aA aAC速度）的分析與計(jì)算繁瑣22012-2-282理論力學(xué)問題的引出物體用光滑鉸鏈連接，圓盤在地面上純滾動(dòng)xAB問題：1、如何建立運(yùn)動(dòng)微分方程,使得方程中不出現(xiàn)約束力？C2、系統(tǒng)存在哪些守恒量？201

2、2-2-283理論力學(xué)9-2日方程 d T &k ,t)FikTqn Qj 0ri 0mdt q&ij1 i1T 為系統(tǒng)的動(dòng)能，可表示成： T T (q ,k , & , i1knQj j1q jQ j為對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力利用q,L,)的獨(dú)立性，有j2012-2-284問題：方程中動(dòng)能的速度在什么參考系中描述？： d T T Q , ( j 1,L, k )dtqj j設(shè)：具有完整雙邊理想約束的非質(zhì)點(diǎn)系有 k 個(gè)度系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為：1 ,k理論力學(xué)9-2日方程解：1、系統(tǒng)的度: k =32、系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)：z,z3、系統(tǒng)的動(dòng)能122(x y z&2)mg24、系統(tǒng)的廣義力y 0,Qz mg

3、Qyx d T jdt)q&j,L,2012-2-285思考題：若質(zhì)點(diǎn)還同時(shí)受有空氣阻力（與速度平方成正比）的作用，如何分析與計(jì)算廣義力？例：建立質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在重力作用下的動(dòng)力學(xué)方程。理論力學(xué)9-2日方程BC解： 1、系統(tǒng)的 d Q度為 k=1 rdt & C2、系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)：11 1 mL2&2&T 22mL3、系統(tǒng)的動(dòng)能2 36mgAW 4、系統(tǒng)的廣義力L sin 1 mL2 L mg sin m2322012-2-286Qmg sin L2例題:長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求其動(dòng)力學(xué)方程 。理論力學(xué)9-2日方程d T j ,2,L, k )jdtq&1、當(dāng)所有主動(dòng)力均為

4、有時(shí)d T TV q qV (q ,dt)q&Qj kjq jd T 0設(shè)：LT-V （日函數(shù)）dtqq&jjLTTQq& jq& j2012-2-287=0第二類Vd L L 0 dt q& q日方程的幾種形式理論力學(xué)9-2日方程BC解： 1、系統(tǒng)的 d 0度為 k=1dt & 2、系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)：1m&3、系統(tǒng)的動(dòng)能6LmgcosV m( g14、系統(tǒng)的勢(shì)能)A2 1LmL&m gcos V (5、LagranLge函數(shù)T：1)621 mL2 L mgsin 0232012-2-288例題:長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求其動(dòng)力學(xué)方程 。理論力學(xué)9-2日方程d T j 1,2,

5、L, k )2、當(dāng)部分主動(dòng)力為有時(shí)jdtq& V (q ,jQjd L j設(shè)：LT-V （日函數(shù)）dtq&應(yīng)用Lagrange方程建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的基本步驟：1、確定系統(tǒng)的度和廣義坐標(biāo)；2、用廣義速度和廣義坐標(biāo)給出系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能；3、給出系統(tǒng)的4、確定系統(tǒng)中非有2012-2-28日函數(shù)；的廣義力。9理論力學(xué)9-2日方程xl0解：1、求系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能FtvA(日函數(shù) )kAv x&,vvACACAcCA&Bm2 g & L& cosm1 gCx& sinCy1121212J m xL cos &2&T m12A222vCxC22223(1 cos ) 1 kx2L T (x&,&, ) V

6、 (x, ) L(x&,&, x, )10V g222012-2-28例：圖示機(jī)構(gòu)在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，均質(zhì)桿AB用光滑柱鉸鏈與滑塊連接，求系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。AB2L理論力學(xué)9-2日方程xl02、求非有的廣義力k Wi1Q FtFAxixkxQ 0t3、建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程Bm gq1 x d L 1 m gj2dtq q&j2cos 1 k)x2 1m xL& cos 2& (L T mx21g21222232方程的物理意義？2012-2-2811m mx cos &2 sin x t21221 m ( L 2 m L&cos gLsin 0 3222理論力學(xué)9-2日方程應(yīng)用第二類日方程建立倒擺動(dòng)

7、力學(xué)方程Am2 gBAB 2L2012-2-2812xF(t)m1g理論力學(xué)9-2日方程1412. 5 0 . ra0d,3.rad,0rad/st2012-2-2813例：雙擺桿長(zhǎng)為1m，質(zhì)量為gk1，扭簧剛度 k=11.4Nm/rad, 當(dāng)1 時(shí)扭簧無變形。求系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程并數(shù)值仿真。理論力學(xué)9-2日方程0 1250 .rad0,rad,2.0.rad/so1A 2B2012-2-2814理論力學(xué)動(dòng)力學(xué)的基本方法定律虛位移原理d L ,L,)jdtq&j2012-2-2815問題：如何應(yīng)用Lagrange方程，分析系統(tǒng)的守恒量？動(dòng)力學(xué)普遍方程和Lagrange方程動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理動(dòng)能定

8、理對(duì)應(yīng)的守恒定理原理-動(dòng)靜法理論力學(xué)9-3日方程的首次積分0 0 * ) j r( i sinR t)(當(dāng)當(dāng)sRin()*tsin*tr i Rsinj cos(cos k度為k,則：對(duì)于具有非定常約束的質(zhì)點(diǎn)系，若Byrik d(q ,t)viixiikltdl 1rrinkkn1212i1 t miijliq l1ji12012-2-2816T T 2 T T一、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的結(jié)構(gòu)AckosR)zr理論力學(xué)9-3日方程的首次積分rqr nnkk1212i1 i1 mi i iijlt jl1nkk12 i1iiiq&2qj1 l1l nkn12 i1i i1iiq& j10i j1jT T2

9、T T系統(tǒng)的動(dòng)能：T(q , T0 0k )對(duì)于定常約束的質(zhì)點(diǎn)系有：riQT T 0,t2012-2-2817理論力學(xué)9-3日方程的首次積分 &ve atr1) sinT mvcos22(r)212v at已知非定常約束m(T)ac)則系統(tǒng)的度為k=1系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)：qT1m2a系統(tǒng)的動(dòng)能為：2v v vr2012-2-2818 1q& 2221 mat & cosq 1at 202qvrv理論力學(xué)9-3日方程的首次積分設(shè)：系統(tǒng)主動(dòng)力均為有標(biāo) qi , ( 1 L) 該式稱為 循環(huán)積分循環(huán)坐標(biāo)：日函數(shù)L中不顯含的廣義坐日函數(shù)表示成：L(q& ,< pi (const.)i , ( 1,L,

10、則：qqd L Lpj 稱為對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo) qj 的廣義動(dòng)量 0dt q&i q證明：當(dāng)主動(dòng)力均為有時(shí)，系統(tǒng)的Lagrange方程為,L, k )qi , ( 1 L k若Lagrange函數(shù)L中不顯含廣義坐標(biāo)d LLLd L 0 0 0d tqqiqid t q&i&i2012-2-2819L T pqqi ii二、循環(huán)積分（廣義動(dòng)量守恒）理論力學(xué)9-3日方程的首次積分設(shè)：系統(tǒng)主動(dòng)力均為有日函數(shù)中不顯含時(shí)間 t，如果保守系統(tǒng)L L(q& ,&k ,k ) T V T2 T1 T0VV const.則：該式稱為L(zhǎng)agrange方程的廣義能量積分n次齊函數(shù)的定理：y f (f1,LL的n次設(shè)是函

11、數(shù)，1kkk則： i 12012-2-28 nixi20三、能量積分（廣義能量守恒）理論力學(xué)9-3日方程的首次積分 ax 一次齊函數(shù)xf (x 1 bbnx =12f x1f x2 a,f xfx f2axbxxf12xixxi 11(2i2 x 2axn=2cx二次齊f函x數(shù)xb1x1f2f2i 1 (2ax bx )x (bx2cx)xx 1211222ixi 2 f 2(ax2bx xcx2 )11222012-2-2821kf nii 1 xi理論力學(xué)9-3日方程的首次積分L L(q& ,&k ,k )日函數(shù)中不顯含時(shí)間t，如果保守系統(tǒng)d LkLLdL 0j Qjdtqq jq j&d

12、tj 1 j d d kkk j jjdtdtj1 j j11 d Td TkkddLL 0q& j q&jdtqdtqdt&dtj1 j1 Tjjd Tkk 0 & j & j Cdt j 1 j 1 jj2012-2-2822d dt jj d L q& j dt理論力學(xué)9-3日方程的首次積分 Tk T T2 T1 T0& j C j 1j Tkk)q& j q&jkkk0T12T22T2 T1 (T2 T1 T0 V ) C T T T V const.對(duì)于具有定常約束的保守系統(tǒng)有：22012-2-2823kf nii 1 xi理論力學(xué)9-3日方程的首次積分解：系統(tǒng)的主動(dòng)力為有m2 gB

13、系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為AB 2L123x m2xL cos 2m2 , m2gL(1 cos )&m2(x&,& 日函數(shù)L T 中不顯含廣義坐標(biāo)x和時(shí)間tTx&T &x m L cosp&系統(tǒng)的水平動(dòng)量守恒2x系統(tǒng)的機(jī)械能守恒2012-2-2824Axm1 g例：給出系統(tǒng)日方程的首次積分。理論力學(xué)9-3日方程的首次積分vA解：系統(tǒng)的主動(dòng)力均為有分析系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能xAv111212J A 22AB &2m vmvTJCA222cB &mg x& / rv Av Cx&v AmgAA Bv C Ax(& & , 5 m & 2 1 1 mx& co&s,V Lcos& )(m1g)Tm TL46

14、2(x&,& 2日函數(shù)L T 中不顯含廣義坐標(biāo)x和時(shí)間t則系統(tǒng)存在循環(huán)積分（廣義動(dòng)量守恒）和廣義能量積分（機(jī)械能守恒）2012-2-2825例：圖示機(jī)構(gòu)在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，均質(zhì)圓盤在地面上純滾動(dòng)，均質(zhì)桿AB用光滑柱與圓盤連接。求系統(tǒng)的守恒量。AB=L理論力學(xué)9-3日方程的首次積分Tx&512& cos Cmm&系統(tǒng)的什么廣義動(dòng)量守恒？2研究圓盤：研究整體：FAyv112Ar2AmLm x&AxFA2 FvArF&rCAAxAcmgFL&rmgFA F （2）Bmg rFNN d L&rLrx& pxA 0 xAABCxAp& xdr12(x L&cos 52m m)2（1）1rr cos Cm & &pL&x2012-2-2826理論力學(xué)9-3日方程的首次積分zAyO d L j B,L, k )jdt q&xj2012-2-2827問題：1：系統(tǒng)有幾個(gè)度2：如何選取廣義坐標(biāo)3：如何求桿的動(dòng)能和勢(shì)能4：系統(tǒng)存在哪些守恒量思考題：長(zhǎng)為 L 質(zhì)量為 m 的均質(zhì)細(xì)桿的 A 端被約束在鉛垂滑道上（z軸），B 端在水平面上滑動(dòng)，不計(jì)摩擦和套筒質(zhì)量，試建立桿的動(dòng)力學(xué)方程（運(yùn)動(dòng)微分方程）；系統(tǒng)存在哪些守恒量？理論力學(xué)9-3日方程的首次積分zzA&xy121 Ovr2viBiiaia2xv v