外文翻譯-魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)的多目標(biāo)遺傳算法中文版

1、魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)的多目標(biāo)遺傳算法摘要：現(xiàn)實(shí)世界中的多目標(biāo)工程的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題往往存在著不可控制的參數(shù)變化。解決這些問(wèn)題的目的是為了獲得良好的解決方案,并就目的和可行性而言，這些解決方案應(yīng)該盡量的好，與此同時(shí)對(duì)于參數(shù)的變化是不敏感的。這樣的解決方法可以被稱為魯棒最優(yōu)解決方案。為了調(diào)查研究最優(yōu)方案的性能和魯棒性之間的權(quán)衡關(guān)系，我們提出了一個(gè)新的健全的多目標(biāo)的遺傳算法來(lái)優(yōu)化兩個(gè)目標(biāo)：一個(gè)是適應(yīng)度值，另外一個(gè)是魯棒性指數(shù)，在多目標(biāo)和原始優(yōu)化問(wèn)題的可行性方面，適應(yīng)度值是一種評(píng)定設(shè)計(jì)的解決方案性能的數(shù)值，而魯棒性指數(shù)，基于非梯度為基礎(chǔ)的參數(shù)靈敏度估計(jì)的方法，是一種在數(shù)量上評(píng)估設(shè)計(jì)方案魯棒性的措施。這種多目標(biāo)的遺

2、傳算法并不需要一個(gè)假設(shè)的無(wú)法控制的參數(shù)概率分布，也不利用這些參數(shù)的梯度信息，三個(gè)距離度量可用于獲得系統(tǒng)的魯棒性指標(biāo)和有效的解決辦法。為了能夠更好的說(shuō)明它的應(yīng)用，多目標(biāo)遺傳算法可以應(yīng)用于來(lái)自文獻(xiàn)中的兩個(gè)研究深入的工程設(shè)計(jì)的問(wèn)題。類別和學(xué)科的描述 ： 優(yōu)化非線性程序關(guān)鍵詞：多目標(biāo)遺傳算法，魯棒性設(shè)計(jì)優(yōu)化，魯棒性和性能的權(quán)衡一.引言在現(xiàn)實(shí)世界中，有許多的工程優(yōu)化的問(wèn)題，由于其他不確定性，使得這些問(wèn)題的參數(shù)有著無(wú)法控制的變化，這些變化可以顯著的降低這優(yōu)化的方案的性能，甚至還能改變所獲得方案的可行性，這些變化的意義在工程設(shè)計(jì)問(wèn)題上尤為重要，這往往在有界可行域或者在最優(yōu)解的邊界所處的可行的領(lǐng)域范圍內(nèi)。在文

3、獻(xiàn)中已經(jīng)有很多的方法和方案來(lái)獲得穩(wěn)健的設(shè)計(jì)解決方法，這就是說(shuō)，這些可行的設(shè)計(jì)方案在他們的目標(biāo)中很適應(yīng)，并且這些方案的客觀的表現(xiàn)或者可行性（或者兩者）對(duì)于參數(shù)的變化不敏感，一般而言，這些方法可以被分為兩類：隨機(jī)的方法和確定性的方法，隨機(jī)的方法使用變量參數(shù)的概率信息，例如，他們的期望值和方差,以最大限度降低解決方案的靈敏度。(如帕金森疾病學(xué)組，可進(jìn)行可行性魯棒性優(yōu)化也稱為可靠性優(yōu)化。同時(shí)，金和森得霍夫提出了一個(gè)進(jìn)化性的的方案來(lái)處理在使用偏差信息時(shí)的性能和魯棒性的權(quán)衡問(wèn)題。隨機(jī)方法的主要缺點(diǎn)是對(duì)于無(wú)法控制的參數(shù)的概率分布是已知的或者是假設(shè)的，但是在現(xiàn)實(shí)的工程設(shè)計(jì)的問(wèn)題中，事先獲得這樣的信息是很困難（

4、甚至是不可能的事情）。另一方面，確定性方法使用參數(shù)的梯度信息獲得了魯棒性的最佳的設(shè)計(jì)方案，Gunawan和Azarm的方法的目的在于獲得最佳的解決方案來(lái)滿足額外的魯棒性規(guī)定的約束，這往往由決策者規(guī)定的。在這論文中，我們提出了一個(gè)新的確定性的方法來(lái)調(diào)查研究最佳解決方法的性能和魯棒性的權(quán)衡關(guān)系，是基于多目標(biāo)的遺傳算法。我們追求的目標(biāo)是同時(shí)優(yōu)化：1）最佳解決方法的性能的度量，比如，適應(yīng)度的價(jià)值，這解釋了原來(lái)的優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束的價(jià)值。2）最佳解決方法的魯棒性的度量，魯棒性指數(shù)，最初是由Gunawan和 Azarm提出來(lái)的，它的推廣使用是通過(guò)使用兩種額外的距離規(guī)范。這種確定性的方法是用非梯度基礎(chǔ)

5、來(lái)對(duì)參數(shù)敏感度進(jìn)行估計(jì)，對(duì)于參數(shù)，這可以應(yīng)用于無(wú)法分辨的目標(biāo)函數(shù)或者約束函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，任何的多目標(biāo)遺傳算法都可以在文獻(xiàn)中應(yīng)用到這種方法。在Gunawan和Azarm的方法中，作者試圖獲得對(duì)參數(shù)變化不敏感最佳解決方案,換言之，魯棒性的要求在他們的方法中被認(rèn)為是一種約束，相反，我們把魯棒性視為我們的目標(biāo)之一，并且形成了一個(gè)新的雙目標(biāo)的魯棒性優(yōu)化問(wèn)題（這個(gè)問(wèn)題不管這個(gè)原始的問(wèn)題有多少目的），來(lái)調(diào)查研究解決方案的魯棒性和性能的關(guān)系，這個(gè)穩(wěn)健的多目標(biāo)遺傳算法旨在同時(shí)最大化的提高性能和魯棒性，本論文的其他的組織文本如下：在第二部分，我們將展示最初的優(yōu)化問(wèn)題并且解釋一些定義和專業(yè)術(shù)語(yǔ)，基于對(duì)于目標(biāo)和可行性

6、的描述，我們將在第三節(jié)展示出我們的新方法，在第四節(jié)我們將展示解決兩個(gè)測(cè)試問(wèn)題的應(yīng)用，隨后將討論其結(jié)果，本文將以對(duì)于第五節(jié)的總結(jié)來(lái)結(jié)束。二.問(wèn)題的定義 在這部分中，我們將正式的定義問(wèn)題并且在這篇論文中解釋一些文中有使用的定義和專有名詞。多目標(biāo)問(wèn)題的一般的公式如下所示：f是目標(biāo)函數(shù)（它的下標(biāo)表示變形的行向量），p是無(wú)法控制的參數(shù)矢量，要注意的是，本身具有無(wú)法控制的設(shè)計(jì)變量可以包括在x和p中，大寫和小寫的x分別是x的上界限和下界限，這個(gè)問(wèn)題有j的不平等約束，我們認(rèn)為所有的約束可以代表不平等的函數(shù)，在這論文中，我們把1中所示的優(yōu)化問(wèn)題叫做原始問(wèn)題。在M的目標(biāo)中存在著權(quán)衡和折中，通常這個(gè)原始的問(wèn)題有更多

7、的最優(yōu)解決方案，這些最優(yōu)的解決方案組成起來(lái)叫做Pareto組，在Miettnen和Deb中都有討論到。在下面，我們將簡(jiǎn)單的描述在論文中所遇到的專業(yè)詞匯。標(biāo)稱參數(shù)數(shù)值是參數(shù)向量值，p用來(lái)優(yōu)化1中的問(wèn)題，參數(shù)變量記作p。標(biāo)稱的pareto解決方案是當(dāng)p=p0時(shí)候，1中涉及到的優(yōu)化問(wèn)題的pareto解決方案。讓x0成為我們魯棒性中想要分析的設(shè)計(jì)解決方案，f=fm=fl是對(duì)于目標(biāo)函數(shù)的標(biāo)稱數(shù)值，并且g=gl=gx是對(duì)于約束函數(shù)來(lái)說(shuō)的標(biāo)稱數(shù)值。容忍區(qū)域是在p空間中的超矩形區(qū)域，通過(guò)一組p值來(lái)得出的，這是關(guān)于決策者所想要的魯棒最優(yōu)方案不要太敏感的程度，并且有一系列p的數(shù)值來(lái)形成p空間，這個(gè)區(qū)域通常被p的最

8、大值和p的最小值所限制著，這個(gè)關(guān)系式中，分別是p的最大上限和最小下限，簡(jiǎn)單點(diǎn)說(shuō)，這個(gè)容忍區(qū)域是被認(rèn)為是對(duì)稱的，因?yàn)檫@可以有多于一個(gè)的無(wú)法控制的參數(shù)，并且這些參數(shù)有著不同的區(qū)間值，我們通常校正我們的公差區(qū)域來(lái)形成一個(gè)超正方形。參數(shù)變化空間：一個(gè)G維的空間，在這個(gè)空間的軸是參數(shù)的變化p的數(shù)值?？梢越邮艿男阅茏兓瘏^(qū)域APVR是在點(diǎn)x0，p0的周圍的目標(biāo)函數(shù)中形成的，這代表著最大的可接受的性能變化，并被DM所選擇，看圖表一的具體表示。合適度數(shù)值fv是一種結(jié)合目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的程度上，度量解決方法性能的數(shù)值，這個(gè)合適度數(shù)值從多目標(biāo)遺傳算法中獲得，比如NSGA可以在我們的方法中作為適應(yīng)度數(shù)值老用。魯棒性

9、數(shù)值是計(jì)算關(guān)于p在半徑的外部超球狀的規(guī)范的公差區(qū)域的一個(gè)在最差敏感區(qū)域的半徑，在我們的方法中，這被用來(lái)作為我們魯棒性的測(cè)量方法，我們將在第三部分進(jìn)一步的討論它。三.魯棒性的多目標(biāo)遺傳算法首先我們討論了多目標(biāo)的優(yōu)化的方法，隨后我們討論了關(guān)于優(yōu)化的可行性方面和兩者相結(jié)合的方法。考慮到可接受的性能變化區(qū)域（APVR）的解決方法x0，這有一套的在目標(biāo)函數(shù)中的諸如p的變化量，因?yàn)閜仍然在f的范圍之內(nèi)，一套的p在p的空間內(nèi)形成了一個(gè)超區(qū)域，叫做敏感性區(qū)域（SR），這個(gè)區(qū)域的范圍如下可見：圖表一所示的是APVR和他關(guān)于解決方法x0的兩參數(shù)和雙目標(biāo)的環(huán)境中的相對(duì)應(yīng)的敏感性區(qū)域，圖上可見，這APVR的內(nèi)部的點(diǎn)，

10、外部的點(diǎn)和在邊界上的點(diǎn)分別的對(duì)應(yīng)著SR的內(nèi)部的，外部的，和邊界上的點(diǎn)。實(shí)質(zhì)上，SR所代表的是在它違反APRV之前的解決方案x0所能吸收的可變參數(shù)的數(shù)量，我們可以使用SR的大小作為設(shè)計(jì)敏感性的措施，SR所能設(shè)計(jì)的越大，這個(gè)設(shè)計(jì)的魯棒性越好，但是在一般情況下，SR的外形可以是不對(duì)稱的，這就是意味著設(shè)計(jì)在p的方向上是可以敏感的，（正如在圖一的b中的的方向），但是在其他的方向（比如圖一的b的方向）是相對(duì)不敏感的，為了克服不對(duì)稱的問(wèn)題，一個(gè)不太好敏感性的區(qū)域可以被用來(lái)估計(jì)SR的設(shè)計(jì)，這敏感度不太好的區(qū)域是對(duì)稱的超球形的接近SR的，在圖上，這個(gè)區(qū)域是可以最近的接觸原始SR的最小的超球形區(qū)域，正如在圖標(biāo)2所

11、示，是一個(gè) 雙參數(shù)的例子。因?yàn)閃CSR是對(duì)稱的，那么它的半徑R而不是它的大小可以被用來(lái)作為衡量其魯棒性的措施，它用來(lái)衡量設(shè)計(jì)的整體的魯棒性，這個(gè)區(qū)域的半徑可以通過(guò)解決單目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題來(lái)計(jì)算，如下面所示：在這個(gè)問(wèn)題上，設(shè)計(jì)的變量是p，目標(biāo)函數(shù)是這個(gè)區(qū)域的半徑，同等的約束函數(shù)是相應(yīng)所產(chǎn)生的矢量f，它處在可接受性能變量的區(qū)域的邊界上，這個(gè)區(qū)域評(píng)估方法的具體的討論已經(jīng)在其他地方給出了。一個(gè)類似的方法可以用在可行性的魯棒性優(yōu)化上，對(duì)于設(shè)計(jì)x0來(lái)說(shuō)，所有的p點(diǎn)形成了可行性敏感區(qū)域，這些點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的約束函數(shù)值是g。這就意味著這個(gè)可行性敏感區(qū)域內(nèi)的p將不會(huì)改變x0的設(shè)計(jì)可行性?？尚行缘腤CSR是FSR的最差的估

12、計(jì)，R是名義的FWCSR的半徑，R可以通過(guò)下面的式子計(jì)算出來(lái)：因?yàn)镾R和FSR在相同的p空間里面被定義并且有著相同的范圍，R表示我們正在尋找對(duì)于解決設(shè)計(jì)方法的SR和FSR的最差情況下的估計(jì)的半徑，正如表2所示的半徑R可以通過(guò)下面所示的優(yōu)化問(wèn)題來(lái)計(jì)算，可見下面：比如，在圖2所示的例子中，3.2 魯棒性指數(shù)半徑R代表著在序數(shù)的范圍內(nèi)解決方案的魯棒性，但是不表示一個(gè)于設(shè)計(jì)解決方法有關(guān)的物理結(jié)構(gòu)，對(duì)于DM來(lái)說(shuō)，進(jìn)行性能和魯棒性的權(quán)衡分析師很困難的，比如，如果R，那么一個(gè)人不會(huì)決定是否一個(gè)設(shè)計(jì)方案是穩(wěn)健還是不穩(wěn)健，為了解決這個(gè)困難，我們使用規(guī)范的公差區(qū)域的外部的球星空間的半徑，R，正如參照魯棒性要求。我

13、們定義魯棒性指數(shù)為=R/RE ,并且使用這個(gè)魯棒性指數(shù)最為在我們多目標(biāo)遺傳算法中的兩個(gè)目標(biāo)中的一個(gè)，R是一個(gè)在5中計(jì)算的優(yōu)化方法，因?yàn)镽是規(guī)范的公差區(qū)域的外部圓的半徑，如果=R/RE1，那么這個(gè)設(shè)計(jì)的x0是穩(wěn)健的。適應(yīng)度的值記得我們?cè)诒酒撐牡哪繕?biāo)是最大限度地提高設(shè)計(jì)的性能和魯棒性。系統(tǒng)的魯棒性指數(shù)作為一種魯棒性設(shè)計(jì)解決方案的一種措施。因此我們還需要對(duì)于設(shè)計(jì)解決方案的整體性能有另一個(gè)措施。在多目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題中，多目標(biāo)遺傳算法是獲得Pareto最優(yōu)解決方法的一個(gè)很好的工具，大多數(shù)的多目標(biāo)遺傳算法把一個(gè)適應(yīng)度的值或者等級(jí)分配給在整體中的每一個(gè)可供選擇的解決方法，以表示一種相對(duì)好的東西，解釋了目標(biāo)值

14、和約束函數(shù)，所以適應(yīng)度值可以從多目標(biāo)遺傳算法中獲得，比如來(lái)自NSGA中的等級(jí)數(shù)值，可以在我們的方法中被用來(lái)作為性能的衡量措施，適應(yīng)度的值越小，解決方法的性能越好，更多關(guān)于如何獲得適應(yīng)度的數(shù)值的細(xì)節(jié)問(wèn)題可以參見23.注意到不同的多目標(biāo)遺傳算法的方法可以產(chǎn)生不同的解決方案，但是，這兒我們的目標(biāo)并不是闡述一個(gè)新的遺傳算法或者區(qū)分多目標(biāo)遺傳算法中的不同之處。3.4 RMOA的方法考慮到對(duì)于一個(gè)設(shè)計(jì)解決方案性能和魯棒性的兩個(gè)措施，正如我們之前所討論的，我們可以闡述我們的問(wèn)題，它有兩個(gè)目標(biāo)，一個(gè)是性能，一個(gè)是設(shè)計(jì)解決方法的魯棒性，對(duì)于穩(wěn)健的多目標(biāo)的優(yōu)化的問(wèn)題的公式如下所示： 這里的適應(yīng)度數(shù)值f是目標(biāo)函數(shù)和

15、約束函數(shù)的一個(gè)函數(shù)，這可以在1中被計(jì)算出來(lái)的，魯棒性可以從5中計(jì)算出來(lái)。 在圖4中，一個(gè)優(yōu)化的方案，和一個(gè)內(nèi)外的結(jié)構(gòu)，可以被用來(lái)解決6中的問(wèn)題，外部的子問(wèn)題可以同時(shí)的把適應(yīng)性的數(shù)值f降到最低，還可以把魯棒性指數(shù)變到最大，我們使用內(nèi)部的子問(wèn)題來(lái)計(jì)算關(guān)于p的半徑R的值。我們以叫做x0的x的數(shù)值開始，在外部的子問(wèn)題上，并且把它送到內(nèi)部的子問(wèn)題中，這個(gè)標(biāo)稱數(shù)值在內(nèi)部的子問(wèn)題中是確定的，然后我們優(yōu)化半徑R作為標(biāo)稱設(shè)計(jì)x0中p的一個(gè)函數(shù)，這個(gè)最優(yōu)的數(shù)值R被送回到了外部的子問(wèn)題中，在上面的思想中，對(duì)于所有的設(shè)計(jì)變量這將反復(fù)的進(jìn)行。我們現(xiàn)在討論了應(yīng)用在魯棒的多目標(biāo)遺傳算法中的適應(yīng)性分配的步驟，簡(jiǎn)單點(diǎn)說(shuō)，多目標(biāo)

16、遺傳算法的細(xì)節(jié)并沒有在這里討論，而關(guān)注的重點(diǎn)卻在魯棒的多目標(biāo)遺傳算法上了，遺傳算法要求對(duì)于所有的候選的解決方法有一個(gè)梯度的適應(yīng)性的數(shù)值，在適應(yīng)性分配步驟上主要的步驟如下：步驟一，評(píng)估原始entire的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)。步驟二，計(jì)算每一個(gè)候選問(wèn)題的魯棒性指數(shù)。步驟三，基于原問(wèn)題的目標(biāo)之進(jìn)行非占優(yōu)排序，考慮到它的等級(jí)和約束的違反程度把適應(yīng)性f分配給候選的解決方法。步驟四，基于魯棒性指數(shù)和適應(yīng)性數(shù)值f作為目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行非占優(yōu)排序選擇，在本質(zhì)上，這就是雙目標(biāo)的非占優(yōu)排序的分類。步驟五，基于來(lái)自步驟四的非受控性等級(jí)，分配一個(gè)適應(yīng)性數(shù)值，并且繼續(xù)的強(qiáng)調(diào)遺傳算法直到達(dá)成一致。 3.5距離標(biāo)準(zhǔn)在5中，我們可

17、以使用三個(gè)不同的q的數(shù)值，q可以是1,2或者無(wú)窮大，不同的L范數(shù)將會(huì)影響在設(shè)計(jì)解決方案中的魯棒性指數(shù)的數(shù)值，正如在5中所示的那樣，A,B,C三點(diǎn)到最初的點(diǎn)的距離相當(dāng)于在L1L2的標(biāo)準(zhǔn)中半徑大小，魯棒性的措施可以在某一個(gè)特定的距離標(biāo)準(zhǔn)中表示清楚。4.測(cè)試結(jié)果在這部分，我們將要闡述對(duì)于兩個(gè)測(cè)試問(wèn)題在我們提出的解決方案中的應(yīng)用。4.1測(cè)試問(wèn)題一我們使用來(lái)描述RMOGA的第一個(gè)測(cè)試問(wèn)題是一個(gè)很流行的測(cè)試問(wèn)題，來(lái)自工程設(shè)計(jì)優(yōu)化文獻(xiàn)中。這個(gè)問(wèn)題在于設(shè)計(jì)一個(gè)雙條的構(gòu)架，可以用來(lái)在節(jié)點(diǎn)C處帶動(dòng)一個(gè)垂直重達(dá)100kn的東西，這個(gè)構(gòu)架在圖中所示由兩個(gè)節(jié)點(diǎn)所組成，這個(gè)目標(biāo)函數(shù)就是最小的降低兩個(gè)連接的體積，并且最小的

18、降低他們當(dāng)中的應(yīng)力，這個(gè)變量時(shí)跨區(qū)域的鏈接，這個(gè)約束函數(shù)是，最大的應(yīng)力是100000kn/mm，對(duì)于y來(lái)說(shuō)的范圍是1.0到3.0，這個(gè)問(wèn)題的公式就是下面所示的：4.在設(shè)計(jì)的變化量中的已知的變量以這樣的形式來(lái)設(shè)定，x1=y=0.05，這可接受的性能變化量f01和f02這兩個(gè)以0.75來(lái)設(shè)定的。圖7所示的是pareto最優(yōu)解決方案和所有其他的通過(guò)解決問(wèn)題獲得的方案，可以看出適應(yīng)度值的所有解決方案都有最好的解適應(yīng)度值，比如它有一個(gè)魯棒指數(shù)大于1的數(shù)，在另一方面我們可以看到一個(gè)有較小適應(yīng)度數(shù)值的解決方案，決策者有可能不會(huì)選著來(lái)自pareto最優(yōu)解決方案，因?yàn)檫@些解決方案可能是更加的有魯棒性而不是必要性

19、。圖8通過(guò)比較6中所示的和對(duì)于目標(biāo)函數(shù)來(lái)說(shuō)的定位的多目標(biāo)遺傳算法獲得的pareto最優(yōu)解決方案，并且這些解決方案可以通過(guò)傳統(tǒng)的遺傳算法獲得，但是這些遺傳算法并不考慮魯棒性，我們觀察到通過(guò)RMOGA獲得的pareto最優(yōu)解決方案與最初的相差甚遠(yuǎn)，正如預(yù)料的那樣，這倒是我們得出結(jié)論，通過(guò)多目標(biāo)遺傳算法得來(lái)的名義pareto方案并不是那么的有魯棒性。圖9比較了魯棒性指數(shù)和使用不同的距離矩陣獲得的f值，正如9所示的，在關(guān)于魯棒性指數(shù)的解決方案中存在著一些的重復(fù)。圖10比較了名義的pareto最優(yōu)解決方案和通過(guò)使用L1標(biāo)準(zhǔn)距離矩陣的RMOGA所獲得的所有的魯棒性的設(shè)計(jì)，大多數(shù)的魯棒性設(shè)計(jì)和最初的解決方案差之甚遠(yuǎn)，這些原始的解決方案屬于名義的pareto，它的前面并不是最有魯棒性的，最后注意到，并沒有魯棒性的解決方案可以獲得的。從對(duì)于這個(gè)例子的模擬結(jié)果來(lái)看，我們可以得出結(jié)論的是計(jì)算出來(lái)的魯棒性指數(shù)在很多程度上取決于所用的距離矩陣，這也在說(shuō)明，使用RMOGA獲得的設(shè)計(jì)解決方案的魯棒性在很大程度上取決于所用來(lái)計(jì)算魯棒性指數(shù)的距離矩陣的種類。5.結(jié)論本篇論文展示了確定性的魯棒性多目標(biāo)遺傳算法，這多目標(biāo)的遺傳算法提供了一套的解決方案