大數(shù)定律與中心極限定理教案

1、 第五章大數(shù)定律與中心極限定理一教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解切比雪夫不等式、大數(shù)定律和中心極限定理。二教學(xué)內(nèi)容大數(shù)定律中心極限定理三本章教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)大數(shù)定律和中心極限定理的含義；四本章教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬中心極限定理的條件拓寬。五教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題1)大數(shù)定律的變形，大數(shù)定律的證明關(guān)鍵是使用了切比契夫不等式；2)注意中心極限定理的條件和結(jié)論，如何使用這一結(jié)論解決應(yīng)用題5.1大數(shù)定律大數(shù)定律是描述大量觀測結(jié)果平均水平穩(wěn)定性的一系列定理的總稱。如當(dāng)一種隨機(jī)現(xiàn)象在相同的條件下大量重復(fù)出現(xiàn)時，或大量隨機(jī)現(xiàn)象的共同作用時，所產(chǎn)生的平均結(jié)果實際上是穩(wěn)定的、幾乎非隨機(jī)的，呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性。定義5.1

2、設(shè)X,X，,X，是一個隨機(jī)變量序列，X是一個隨機(jī)變量或常數(shù)，若12n對于任意正數(shù)0，有l(wèi)imP勺X-X|e=1nnT8記為則稱序列X,X，X，依概率收斂于X,TOC o 1-5 h z12nPlimX=XnnsXbx或n定理5.1(切比雪夫(Chebyshev)大數(shù)定律)設(shè)X，X，,X，是相互獨(dú)立的隨機(jī)12n變量序列，各有數(shù)學(xué)期望E(X)，E(X)，,及方差D(X)，D(X)，并且對于所有1212k=l,2,，都有D(X)0，有klimPng1Zx-1zE(X)1=1nknk=1k=15.1)證因X1，乂相互獨(dú)立，所以f1ZxInk=1k丿=工D(X)0，有-Xx-工nknk=1k=1但又任何

3、事件的概率都不超過1，即1-丄Pn2因此limPngn*2fl1Zx-1Ze(x)1,Inkn，k=1k=1-Zx-1工E(X)|0，有nlimP牛-5.2)證引入隨機(jī)變量limP0，由切比雪夫不等式可nnn得JnA-81-p(1-p)n82上式中令nx,并注意0p1,即得廠n.limP-A一p=1.nthn/n貝努利大數(shù)定律告訴我們，事件A發(fā)生的頻率-A依概率收斂于事件A發(fā)生的概率p，nn因此，本定律從理論上證明了大量重復(fù)獨(dú)立試驗中，事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，正n因為這種穩(wěn)定性，概率的概念才有實際意義。貝努利大數(shù)定律還提供了通過試驗來確定事件n的概率的方法，既然頻率與概率p有較大偏差的可能

4、性很小，于是我們就可以通過試驗n確定某事件發(fā)生的頻率，并把它作為相應(yīng)概率的估計。定理5.1中要求隨機(jī)變量X(k=1,2,n)的方差存在。但在隨機(jī)變量服從同一分布的k場合，并不需要這一要求，我們有以下定理。定理5.3(辛欽(Khinchin)大數(shù)定律)設(shè)隨機(jī)變量X,X，,X，相互獨(dú)立，服TOC o 1-5 h z12n從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望E(X)=卩(k=1,2,)，則對于任意80，有k HYPERLINK l bookmark70 o Current Document limP1EX-J=1.(5.3) HYPERLINK l bookmark72 o Current Document

5、ntJnk=1kJ證明略。顯然，貝努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況，辛欽大數(shù)定律在實際應(yīng)用中很廣泛。辛欽大數(shù)定律表明，對于獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，只要其數(shù)學(xué)期望存在，則對于充分大的n，隨機(jī)變量X,X，,X的算術(shù)平均值1工X近似等于其數(shù)學(xué)期望卩，這為估12nnkk=1計數(shù)學(xué)期望提供了一條切實可行的途徑。在同分布的條件下，辛欽大數(shù)定律與切比雪夫大數(shù)定律兩者的結(jié)論相同，不過前者只要求數(shù)學(xué)期望存在，而后者要求方差也存在。在許多統(tǒng)計推斷問題中，辛欽大數(shù)定律用起來更為方便。5.2中心極限定理大數(shù)定律描述了大量獨(dú)立隨機(jī)變量算術(shù)平均的穩(wěn)定性，它滿足TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bo

6、okmark76 o Current Document PJ1工X-1Inkk=1丿至于給定n和E的情況下，PJn工Xp-yvi究竟有多大，大數(shù)定律并不能解答。1k=1丿解答該問題需要知道獨(dú)立隨機(jī)變量和工X的分布，這個分布在n較小時可利用卷積公式kk=1求得，n較大時就很難求出，因此有必要討論該分布的極限形式(漸近分布)。在客觀實際中有許多隨機(jī)變量X，它們是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素X的綜合影響所k形成的，而每一個因素X在總的影響中所起的作用是很小的，如一門炮射擊一指定目標(biāo)，k彈著點(diǎn)與目標(biāo)的偏差X是一隨機(jī)變量，產(chǎn)生這種偏差的原因有很多，如瞄準(zhǔn)的誤差、炮身的震動、風(fēng)力和風(fēng)向的大小、溫度和濕度的大小

7、、炮彈間的差異等，所有這些不同的隨機(jī)因素所引起的局部誤差可以看成是相互獨(dú)立的，所觀察到的總的偏差X是這些隨機(jī)因素所引起的誤差的總和，而它們當(dāng)中每一個因素X在總的影響中是很小的。那么X的分布如何？k這種隨機(jī)變量X往往近似地服從正態(tài)分布，這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景。概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量之和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理(CentralLimitTheorem)，現(xiàn)介紹幾個常用的中心極限定理。獨(dú)立同分布場合的中心極限定理定理5.5（林德伯格一萊維中心極限定理）設(shè)X,X，,X，是相互獨(dú)立，服從同一12n分布的隨機(jī)變量序列，且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差E(X)=卩,D(X

8、)=q2豐0(k=1,2,)kk則隨機(jī)變量藝X-EkY二an嚴(yán)(S)耳k=1藝X-npkkS的分布函數(shù)F（x）對于任意x滿足nlimF(x)=limPnngnsEx-npk=亠e-fdt.g2n5.4)證明略。從定理5.5的結(jié)論可知，當(dāng)n充分大時，近似地有EX-npN(0,1),kY=-k=i=nno或者說，當(dāng)n充分大時，近似地有no2).(5.5)k=1如果用X,X，,X表示相互獨(dú)立的各隨機(jī)因素。假定它們服從相同的分布（不論服12n從什么分布），且有有限的期望與方差（每個因素影響有一定限度）。則（5.5）式說明，在實際中，當(dāng)n很大時，大量隨機(jī)變量的和EX近似地服從正態(tài)分布。kk=1在許多實際

9、問題中，所考慮的隨機(jī)變量往往可以表示為多個獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，因而它們常常近似服從正態(tài)分布。這就是為什么正態(tài)隨機(jī)變量在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中占有重要地位的主要原因。面介紹另一個中心極限定理。二、二項分布的極限是正態(tài)分布定理5.6(棣莫佛-拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)中心極限定理)設(shè)X,X，,X，是獨(dú)12n立同分布的隨機(jī)變量列，且X(k=1,2,)服從參數(shù)為p(OVpVl)的兩點(diǎn)分布。則對于任意的x，k5.6)證明略。這個定理表明，當(dāng)n充分大時，二項分布可用正態(tài)分布來近似。令X=EX，一般地，如果XB(n,p)，貝ykk=1Px=k=Ckpk(1-p)n一k.kn所以PaXb=工Ck

10、pk(1-p)nk.nakb當(dāng)n充分大時，二項分布的計算是非常困難的。由于二項分布的極限分布是正態(tài)分布。于是可以近似的選用正態(tài)分布計算。即：PaX、Jnp(1-p)yjnp(1-p)np(1-p)b-npa-np7()(.)np(1-p)np(1-p)下面舉例說明中心極限定理的應(yīng)用。例5-1一部件包括10部分，每部分的長度是一個隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，且具有同一分布。其數(shù)學(xué)期望是2mm,均方差是0.05mm,規(guī)定總長度為200.1mm時產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。解設(shè)部件的總長度為X,每部分的長度為 i X,X，,X，則E(X)=2,a2(X)=D(X)=0.05,X=昱X1210iiiii=1

11、由定理5.5可知：X近似地服從正態(tài)分布N(10 x2,10 x0.052)，即N(20,0.025)則產(chǎn)品合格的概率為P勺X-20|0.1=P19.9X20.1胡3L70.025丿-of1G/0.025丿=2oU0.Q25丿-1沁0.4714.例5-2對敵人的防御地進(jìn)行100次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是一個隨機(jī)變量其期望值是2，方差是1.69。求在100次轟炸中有180顆到220顆炸彈命中目標(biāo)的概率。解令第i次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)為X,100次轟炸中命中目標(biāo)炸彈數(shù)X=畀X，iii=1應(yīng)用定理5.1，X漸近服從正態(tài)分布E(X)=n-E(X)=200,D(X)=n-D(X)=169.ii所

12、以P180X220=PX-20020TOC o 1-5 h z和X-20020、=P1313q2(1.54)=0.87644.例5-3設(shè)某婦產(chǎn)醫(yī)院出生男孩的概率為0.515，求在10000個新生兒中，出生的女孩不少于男孩的概率。解設(shè)X為10000個新生兒中男孩個數(shù)，1，第i個是男孩X=i0,第i個是女孩則X=込X，且X,X，X獨(dú)立同分布。i1210000i=1卩=E(X)=1x0.515+0 x(1-0.515)=0.515b2=D(X)=E(X2)-(E(X)=12X0.515-0.5152二0.249775iii而EX二n-E(X)二10000 x0.515,DX二n-D(X)二10000

13、 x0.249775ii則女孩不少于男孩的概率為P(X5000)PX-10000X0.5155000-10000 x0.515)L.;，10000X0.249775-J10000 x0.249775丿(5000-10000 x0.515J10000X0.249775丿u(-3)二0.00135.例5-4根據(jù)抽樣調(diào)查，得到大學(xué)生月生活費(fèi)平均消費(fèi)情況，其中80%的學(xué)生月消費(fèi)在1500元以上，現(xiàn)從上海財經(jīng)大學(xué)浙江學(xué)院任取100名學(xué)生，試求其中至少有30名學(xué)生月生活費(fèi)低于1500元的的概率。解設(shè)100名學(xué)生中月生活費(fèi)不低于1500元的為X,則XB(100,0.8)所求概率為px70=PX-100 x0

14、.870-100 x0.885=1-PX0.8n)=0.95，求滿足條件的n，其中XB(n,0.9),E(X)=0.9n,D(X)=0.09n，同(1)解法,Px0.8n=1-Px0.8n0.09n0.09n=0.95查正態(tài)分布表可得：-3-=1.65,nn=24.5，取n=25即可.例5-6某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20%，以X表示在隨意抽查的100個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數(shù)。1)寫出X的概率分布；2)根據(jù)棣莫弗-拉普拉斯定理，求被盜索賠戶不少于14戶不多于30戶的概率的近似值.解(1)X服從二項分布，參數(shù)：n二100,p二0.2，即XB(100,0.2)

15、，其概率分布為P(X=k)=Ck0.2k0.8100-k,k=0,1,，100100E(X)=np=20,D(X)=np(1p)=16，根據(jù)德莫弗-拉普拉斯定理P14X30=P14-20X-2030-20、4一4一4一=P卜1.50.997,或Px+X+X2200n0.003,12n由林德貝格列維中心極限定理知，2200n-2250n.250麗丿0.003，沖5x2.75=13.75nn189,即需隨機(jī)抽取189只燈泡進(jìn)行壽命檢驗，測得的平均壽命才能以95%的概率保證超過2200小時。習(xí)題五(A)設(shè)在每次實驗中事件A以概率0.5發(fā)生.是否可以用大于0.97的概率確信：在1000次實驗中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)在400與600范圍內(nèi)？將一顆骰子連續(xù)擲四次，其點(diǎn)數(shù)之和記為X，估計概率P10X3。i=1已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)二卩，方差D(X)=c2,當(dāng)=2Q和=3Q時，試用切比雪夫不等式求概率P(|X-8)的近似值.將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于500的概率是多少？現(xiàn)有一大批種子，其中良種占1/6，今在其中任選6000粒，試問在這些種子中良種所占的比例與1/6之差小于1%的概率是多少