商品最優(yōu)價(jià)格的數(shù)學(xué)模型

1、商品最優(yōu)價(jià)格的數(shù)學(xué)模型賴(lài)金花(1),歐杰泉(2),柯文峰(3)韶關(guān)學(xué)院2000級(jí)計(jì)算機(jī)系計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)本1班韶關(guān)學(xué)院2000級(jí)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)進(jìn)行教育6班韶關(guān)學(xué)院2000級(jí)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科1班摘要:最優(yōu)價(jià)格問(wèn)題是一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題.我們以年總利潤(rùn)為目標(biāo)函數(shù)建立一個(gè)模型,為使總利潤(rùn)最大,利用微分法求出上半年和下半年的最優(yōu)價(jià)格分別為：P1二6642元P2二7.92元在已知年總銷(xiāo)售量的情況下,相當(dāng)于目標(biāo)函數(shù)多了一個(gè)約束條件,同理可以得出上半年和下半年的最優(yōu)價(jià)格,分別為:P1二63.36元pi二67.86元關(guān)鍵詞：最優(yōu)價(jià)格；總利潤(rùn).1問(wèn)題的提出對(duì)任一商品，其利潤(rùn)總與銷(xiāo)售量和價(jià)格有關(guān).而銷(xiāo)售量又

2、是受價(jià)格影響的.如果價(jià)格太高，銷(xiāo)售量就會(huì)下降；如果要促進(jìn)銷(xiāo)售量，則必須下調(diào)價(jià)格這兩種情況都將影響到商品的獲利所以如果要使商品獲利最大，那么就應(yīng)該給商品確定一個(gè)最優(yōu)價(jià)格.現(xiàn)有一液化石油公司，生產(chǎn)家用煤氣每罐煤氣在初始銷(xiāo)售時(shí)的成本q0是43元由于產(chǎn)品損耗等原因，生產(chǎn)每缺罐煤氣的成本總是隨時(shí)間增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)率k為1.5公司為了確定一個(gè)合適的價(jià)格，特意作了一個(gè)調(diào)查，其調(diào)查結(jié)果如下表：價(jià)格(元/罐)444547485053銷(xiāo)售量(罐/月)12401211114811201066970現(xiàn)將一年的銷(xiāo)售量分為上半年和下半年兩個(gè)時(shí)期進(jìn)行，其價(jià)格分別為Pi，P2每半年的價(jià)格固定.我們要解決的問(wèn)題是：試建立一個(gè)數(shù)學(xué)模

3、型，確定上下半年的價(jià)格Pi，P2，使一年內(nèi)的總利潤(rùn)最大.如果要求一年內(nèi)的總售量Q為7100罐,再求出p，p的最優(yōu)值.012問(wèn)題的分析首先我們從所給的數(shù)據(jù)中得出銷(xiāo)售量跟價(jià)格的函數(shù)關(guān)系，再?gòu)念}意中列出成本跟時(shí)間，價(jià)格跟時(shí)間的關(guān)系式子.根據(jù)利潤(rùn)=銷(xiāo)售量*價(jià)格一總成本，并考慮到利潤(rùn)是關(guān)于時(shí)間的連續(xù)函數(shù),所以用積分法列出年總利潤(rùn)的目標(biāo)函數(shù)，用微分法便可求解P，P了.12問(wèn)題的假設(shè)假設(shè)商品在產(chǎn)銷(xiāo)平衡的狀態(tài)下銷(xiāo)售.假設(shè)成本隨時(shí)間變化時(shí)的增長(zhǎng)率k是固定不變的.假設(shè)時(shí)間是以月為單位的.假設(shè)銷(xiāo)售量與價(jià)格是線(xiàn)性遞減函數(shù).符號(hào)的約定f(t)=p(t)x-q(t)x(3)q初始銷(xiāo)售時(shí)的成本;(q=43元)00k成本隨時(shí)

4、間增長(zhǎng)時(shí)的增長(zhǎng)率；(k=1.5)q(t)-t時(shí)刻的成本;x月銷(xiāo)售量;a絕對(duì)銷(xiāo)售量;b銷(xiāo)售量對(duì)價(jià)格的敏感系數(shù);p上半年的產(chǎn)品價(jià)格;1p下半年的產(chǎn)品價(jià)格;2p(t)第t個(gè)月的產(chǎn)品價(jià)格；f(t)第t個(gè)月的利潤(rùn)；U一年的總利潤(rùn);Q一年的總銷(xiāo)售量;0模型的建立與求解5.1每件產(chǎn)品的成本跟時(shí)間的函數(shù)關(guān)系:q(t)二q+kt;(1)0作出銷(xiāo)售量跟價(jià)格的函數(shù)圖形如下:從圖中可以看出,銷(xiāo)售量跟價(jià)格近似成線(xiàn)性遞減.我們可以假設(shè)它們的函數(shù)關(guān)系為:x=a-bp(t);(2)化入數(shù)據(jù)可以得出x=2560-30p即a=2560,b=305.3價(jià)格跟時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為:p(t)=p0t6p6t1225.4月利潤(rùn)=月銷(xiāo)售量x價(jià)

5、格-月銷(xiāo)售量x單產(chǎn)品成本，所以月利潤(rùn)跟月銷(xiāo)售量，成本，價(jià)格的函數(shù)關(guān)系為:(4)2把(1)(2)(3)代入可得f(t)二p(t)(a-bp(t)-(q0+kt)(a-bp(t);=(p(t)一q0一kt)(a一bp(t);于是At內(nèi)的利潤(rùn)為:AU=(a-bp(e)(p(e)一q一k)At(eg(t,t+At)0(5)5.5年總利潤(rùn):U(p,p)=12maxlim(a一bp(e)(p(e)一q一ke)At14.,0i=1=j12(p(t)一q一kt)(a一bp(t)dt00=f6(p一q一kt)(a一bp)dt+J12(p一q一kt)(a一bp)dt01016202=(a一bp)(6p一6q一18

6、k)+(a一bp)(6p一6q一54k)110220上式便是我們以年總利潤(rùn)為目標(biāo)函數(shù)建立的一個(gè)數(shù)學(xué)模型要使U最大，可令(6)dUdU=odp1dp21a+bq+3bk可得最優(yōu)價(jià)格pi=20o-b,p2a+bq+9bk=0bp沁70.92元2代入數(shù)據(jù)得pi沁66.42元，5.6年總銷(xiāo)售量:Q=J12(abp(t)dt=I6(abp)dt+f12(a一bp)dt0162=12a一6b(p+p)12(7)在已知年總銷(xiāo)售Q0的情況下，相當(dāng)于目標(biāo)函數(shù)的一個(gè)約束條件我們可以作l=U(p,p)+九(12a一6b(p+p一Q)12012dl(8)分別求出/dp1dp1dUdpddl為.dp，d九2dU一6九b

7、dp1dU一6九bdp吋=12a6b(p+p)Qd九120apap12auaudpdp1212a-6b(p+p)=Q120所以代入數(shù)據(jù)得P2-P1=3k12aQo6bp1p22-3kb12b2a-2+3kb12b2p沁63.36兀,p沁67.86兀12這就是在已知年銷(xiāo)售量的情況下p,p的最優(yōu)值.12模型的檢驗(yàn)對(duì)從年總利潤(rùn)目標(biāo)函數(shù)中得出的p1，p2的一般模型:評(píng)0+3k+a),a+bq+9bk0b跟初始成本q0.成本增長(zhǎng)率k,絕對(duì)銷(xiāo)售量a成正比，跟銷(xiāo)售量對(duì)價(jià)格的敏感系數(shù)b成反比.這是符合常理的.模型的評(píng)價(jià)及推廣本題考慮到目標(biāo)函數(shù)是與時(shí)間有關(guān)的連續(xù)函數(shù),所以采用了積分法,在這里我們以月為單位,如果要使答案更精確些,還可以以其他更小的時(shí)間段為單位.本題不僅給出了實(shí)例的結(jié)果,還建立