高二數(shù)學備課課件：3.1.3《空間向量的數(shù)量積運算》（新人教A版選修2-1）

1、3.1.3 空間向量的數(shù)量積運算一、空間向量的夾角1.定義：(1)條件：a,b是空間的兩個_向量.(2)作法：在空間任取一點，作 (3)結論：_叫做向量a,b的夾角，記作_非零AOBa,b2.范圍：a,b_，其中，(1)當a,b=0時，a與b的方向_.(2)當a,b=時，a與b的方向_.(3)當 時，a與b互相_，記作_0,相同相反垂直ab思考：若a,b是空間的兩個非零向量，則-a,b=a,-b=a,b，對嗎？提示：不對-a與a，-b與b分別是互為相反向量，-a,b=a,-b=-a,b二、空間向量的數(shù)量積1.定義：(1)條件：a,b是兩個非零向量.(2)結論：把_叫做a,b的數(shù)量積.(3)記法

2、：ab，即ab=_2.運算律：空間向量a,b滿足(1)數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結合律:(a)b=_.(2)交換律:ab=_.(3)分配律:a(b+c)=_.|a|b|cosa,b|a|b|cosa,b(ab)baab+ac判斷：(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.( )(2)零向量與任意向量的數(shù)量積等于零.( )(3)若ab=k，則 ( )提示：(1)正確.由數(shù)量積的定義式ab=a|b|cos知其為數(shù)量而不是向量，故正確.(2)正確.由數(shù)量積的定義式知此說法正確.(3)錯誤.向量的運算與乘法運算不同.答案：(1) (2) (3)【知識點撥】1.對空間向量夾角的

3、理解(1)任意兩個非零向量的夾角是唯一確定的,即a,b=b,a.(2)向量的夾角與直線的夾角有聯(lián)系但也有區(qū)別.例如,直線AB與CD的方向向量分別是a,b,若a,b不是大于90的角，則直線AB與CD所成的角就是a,b;若a,b大于90，則直線 AB與CD所成的角是-a,b.特別地，若a,b=0或a,b=,則ABCD；若 則ABCD.2.空間向量數(shù)量積的性質及幾何意義(1)空間向量的數(shù)量積ab可以為正，可以為負，也可以為零.(2)若向量a,b是非零向量，則(3)特例與變形：若a是單位向量，則ab=|b|cosa,b;aa=|a|2.(4)幾何意義：a與b的數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向

4、上的投影|b|cosa,b的乘積.3.空間向量數(shù)量積運算與運算律向量的數(shù)量積運算只適合交換律、加乘分配律及數(shù)乘結合律，不滿足：消去律：即由ab=bc不能推出a=c，即向量不能約分；乘法結合律：即(ab)c=a(bc)不一定成立，這是因為(ab)c表示一個與c共線的向量，而a(bc)表示一個與a共線的向量，但c與a不一定共線類型 一 空間向量數(shù)量積的運算 【典型例題】1.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E,F分別是BC，AD的中點，則2.已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2,AD=4,E為側面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1的中點.試計算：【解題探究】1.題1

5、中已知四邊形各邊的長及對角線長，若求 需要如何轉化?2.進行空間向量數(shù)量積的運算，關鍵是確定什么要素？探究提示：1.題1需要把 轉化為利用空間四邊形的邊長或對角線長表示.2.關鍵是根據(jù)已知條件確定有關向量的模及其夾角【解析】1.由題意知，答案：2.設 則|a|=|c|=2,|b|=4,ab=bc=ca=0,如圖所示.(1)(2)(3)【拓展提升】空間向量的數(shù)量積的運算方法(1)緊扣定義:進行空間向量的數(shù)量積的運算時,應緊扣數(shù)量積的定義，即利用ab=|a|b|cosa,b，并正確運用數(shù)量積的運算律(2)利用性質:在幾何體中進行向量的數(shù)量積運算，要充分利用幾何體的性質，把待求向量用已知向量表示后再

6、進行運算.在解題過程中注意適當?shù)剡x擇向量，以簡化步驟.類型 二 利用向量的數(shù)量積處理垂直問題 【典型例題】1.如圖，已知ABC在平面內，A=90，DA平面, 則直線CA與DB的位置關系是_.2.已知空間四邊形OABC中，AOB=BOC=AOC,且OA=OB=OC.M,N分別是OA,BC的中點,G是MN的中點.求證:OGBC.【解題探究】1.用向量法判定兩直線垂直的依據(jù)是什么？2.題2中若用向量法證明OGBC,能直接證明 嗎？需要做如何轉化？探究提示：1.用向量法判定兩直線垂直的依據(jù)是此兩直線所在的向量的數(shù)量積為0.2.不能直接證明 應把 利用 表示后再證明.【解析】CADB.答案：垂直2.如圖

7、，設AOB=BOC=AOC=,又設 則|a|=|b|=|c|.又【拓展提升】用向量法證明垂直問題的一般思路用向量證明立體幾何中的垂直問題，最主要的是將幾何問題轉化為向量問題直線與直線垂直可轉化為向量垂直；線面垂直可直接轉化為線線垂直，進而轉化為向量垂直其解答步驟一般為：【變式訓練】如圖，已知正方體ABCD-ABCD，CD和DC相交于點O，連接AO，求證：(1)AOCD.(2)AC平面BCD【證明】(1)(2)可知,同理可證,ACBD.又 平面BCD,BCBD=B,AC平面BCD. 類型 三 利用數(shù)量積求異面直線的夾角 【典型例題】1(2012桂林高二檢測)直三棱柱ABC-A1B1C1中，若 則

8、異面直線A1B與C1A所成的角等于( )2(2012紹興高二檢測)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC上的點，且EB=BF=1，求直線EC1與FD1所成的角的余弦值【解題探究】1.利用向量法求兩條異面直線所成角的依據(jù)是什么？2.題2中若求EC1與FD1所成的角，需要求出哪些量的值?探究提示：1.利用向量法求兩條異面直線所成角的依據(jù)是2.題2中若求EC1與FD1所成的角，需要求出與 的值.【解析】1選C如圖，設AB=AC=AA1=1，故A1B與C1A所成的角等于2設則|a|=4,|b|=3,|c|=2，同理可求得，直線EC1與

9、FD1所成的角的余弦值為【拓展提升】利用數(shù)量積求異面直線的夾角(或余弦值)的步驟提醒：兩異面直線所成角的范圍為 兩個向量的夾角范圍為0,，利用數(shù)量積求異面直線所成的角時，要注意角度的轉化【變式訓練】已知空間四邊形OABC各邊及對角線長都相等，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點，求向量 與向量 所成角的余弦值.【解析】如圖所示,設 且|a|=|b|=|c|=1,易知則因為所以設 所成的角為,向量 與向量 所成角的余弦值為類型 四 利用向量的數(shù)量積求距離(即線段長度) 【典型例題】1如圖，已知二面角-l-，A，B,AAl于A，BBl于B,AA=4，AB=5，BB=3，若二面角-l-的大小為60，則AB=

10、_2如圖所示，在空間四邊形OABC中，OA,OB,OC兩兩成60角，且OA=OB=OC=2，E為OA的中點，F(xiàn)為BC的中點，試求E，F(xiàn)間的距離【解題探究】1對于題1，二面角-l-的大小與向量 的夾角有何關系？2對于題2，求E，F(xiàn)間的距離實際上可轉化為求向量的模，應如何轉化？探究提示：1根據(jù)二面角的平面角的定義，二面角-l-的大小就等于2可根據(jù)向量的線性運算，轉化為 的關系求解【解析】1.即由題意知，=43cos 120=-6，答案：2 間的距離為【互動探究】題1中“若二面角-l-的大小為60”改為：“若二面角-l-為直二面角”，其他條件不變，結果如何？【解析】由題1解答知，二面角-l-為直二面

11、角，AAl，BBl，【拓展提升】求線段的長度(或兩點間的距離)的方法 利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度或空間兩點間的距離的基本思路是轉化為求向量的模，根據(jù)是：需把握的問題為：(1)明確所需向量的模及其夾角.(2)能熟練運用空間向量的線性運算法則，把所需向量轉化為已知向量和、差的形式.(3)注意使用數(shù)量積的運算公式及常用公式，即ab=|a|b|cosa,b；(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca).【變式訓練】如圖，在平行六面體ABCD-ABCD中，已知AB=2，AD=1，AA=3，BAA=BAD=DAA=60，求AC的長【解題指南】解答本題可考慮求向量 的模，將 用 線性表示

12、，利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)進行計算即可【解析】即【規(guī)范解答】利用數(shù)量積求線段的長度【典例】【條件分析】段【規(guī)范解答】 ，2分即 6分異面直線a,b所成的角為60，AB的長為 或6 12分【失分警示】【防范措施】1.求空間中的距離(線段的長度)的關鍵準確把握向量的線性運算，掌握數(shù)量積的性質 是解答該類問題的關鍵，如本例欲求AB的長，可考慮求 ，于是可用 并正確運用數(shù)量積公式運算即可2.注意空間向量的夾角的辨別空間向量通過平移，可轉化為平面中的向量問題，注意兩向量的夾角的辨別方式是共起點，并注意向量的方向，如本例異面直線a,b所成的角為60，則根據(jù) 的方向辨別

13、，則 就有可能等于60或120【類題試解】(2013邢臺高二檢測)如圖，已知平面，A，B,AB與兩平面，所成的角分別為 過A,B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A，B,若AB=12，則求AB的值.【解析】由題意知，又由題意知，1已知i,j,k是兩兩垂直的單位向量，a=2i-j+k,b=i+j-3k，則ab=( )【解析】選Aab=(2i-j+k)(i+j-3k)=2i2+2ij-6ik-ij-j2+3jk+ik+jk-3k2=2|i|2-|j|2-3|k|2+ij-5ik+4jk,i,j,k兩兩垂直，ij=0，ik=0，jk=0,又|i|=|j|=|k|=1，ab=2|i|2-|j|2-3|k|2=2-1-3=-22.已知空間向量a,b,c兩兩夾角為60，其模都為1，則|a-b+2c|=( )A. B.5 C.6 D. 【解析】選A因為|a|=|b|=|c|=1，a,b=b,c=c,a=60,所以a2=b2=c2=1,所以 3.如圖所示，棱長皆相等的四面體SABC中，D為SC的中點，則BD與SA所