常微分方程的起源與發(fā)展

1、常微分方程的起源與發(fā)展第2O卷第3期2006年6月高等函授(自然科學(xué)版)JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)Vo1.20No.3June2006文章編號(hào):10067353(2006J030034(12J一03常微分方程的起源與發(fā)展張良勇,董曉芳(燕山大學(xué)理學(xué)院.河北秦皇島066004)摘要:常微分方程是l7世紀(jì)與微積分同時(shí)誕生的一門理論性極強(qiáng)且應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科之一.本文從常微分方程的起源談起.分四個(gè)時(shí)期介紹其發(fā)展過程.關(guān)鍵詞:常微分方程;起源;發(fā)展中圖分類號(hào):NO9文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A許多有關(guān)微分方程的教材都會(huì)提到發(fā)現(xiàn)海王星

2、的故事.海王星的發(fā)現(xiàn)是人類智慧的結(jié)晶,也是微分方程巨大作用的體現(xiàn),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)演繹法的強(qiáng)大威力.1781年發(fā)現(xiàn)天王星后,人們注意到它所在的位置總是和萬有引力定律計(jì)算出來的結(jié)果不符.于是有人懷疑萬有引力定律的正確性;但也有人認(rèn)為,這可能是受另外一顆尚未發(fā)現(xiàn)的行星吸引所致.當(dāng)時(shí)雖有不少人相信后一種假設(shè),但缺乏去尋找這顆未知行星的辦法和勇氣.23歲的英國劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯承擔(dān)了這項(xiàng)任務(wù).他利用引力定律和對(duì)天王星的觀測(cè)資料建立起微分方程,來求解和推算這顆未知行星的軌道.1843年1O月21日他把計(jì)算結(jié)果寄給格林威治天文臺(tái)臺(tái)長艾利,但艾利不相信”小人物”的成果,置之不理.兩年后,法國青年勒威耶也開始從事

3、這項(xiàng)研究.1846年9月18日,他把計(jì)算結(jié)果告訴了柏林天文臺(tái)助理員卡勒,23日晚,卡勒果然在勒威耶預(yù)言的位置上發(fā)現(xiàn)了海王星.對(duì)于數(shù)學(xué),特別是數(shù)學(xué)的應(yīng)用,微分方程所具有的重大意義主要在于:很多物理與技術(shù)問題可以化歸為微分方程的求解問題.本文以此為契機(jī),闡述常微分方程發(fā)展過程中所經(jīng)歷的四個(gè)重要時(shí)期及微分方程的應(yīng)用意義.1常微分方程的經(jīng)典階段以通解為主要研究內(nèi)容就像微積分在17世紀(jì)后期與18世紀(jì)前期的著作一樣,常微分方程最早的著作出現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們彼此的通信中,而且通信中所提到的解法可能僅僅是對(duì)某個(gè)特例的說明.所以現(xiàn)在很難確切地說是誰首先得到某些概念或結(jié)論的.1676年,萊布尼茨在給牛頓的信中第一次提出

4、”微分方程”這個(gè)數(shù)學(xué)名詞.常微分方程是由人類生產(chǎn)實(shí)踐的需要而產(chǎn)生的.其雛形的出現(xiàn)甚至比微積分的發(fā)明還早.納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù),伽利略研究自由落體運(yùn)動(dòng),笛卡兒在光學(xué)問題中由切線性質(zhì)定出鏡面的形狀等等,實(shí)際上都需要建立和求解微分方程.牛頓和萊布尼茨在建立微分方程與積分運(yùn)算時(shí)就指出了它們的互逆性,實(shí)際上是解決了最簡單的微分方程f(z)的求解問題.此外,牛頓,萊布尼茨也都用無窮級(jí)數(shù)和待定系數(shù)法解出了某些初等微分方程.最早用分離變量法求解微分方程的是萊布尼茨.他用這種方法解決了形如ydx/dy一,(z)g()的方程,因?yàn)橹灰阉鼘懗蒬x/f(x)一g(z)dy/y,就能在兩邊進(jìn)行積分.但萊布尼茨并沒有建立一般

5、的方法.l691年他把自己在這方面的工作寫信告訴了荷蘭科學(xué)家惠更斯.同年他又解出了一階齊次方程一廠(y/x):他令一咄,代入方程就可以使變量分離.1693年,惠更斯在教師中明確提到了微分方程,而萊布尼*收稿日期:20060426作者簡介:張良勇(1980一).男,r.q:It,-#1人.燕山大學(xué)理學(xué)院碩士研究生.主要從事常微分方程方面的研究工作.34第2O卷第3期2006年6月高等函授(自然科學(xué)版)JournalofHigherCorresp()ndenceEducation(NaturalSciences)VO1.2ONO.3June2006茨同年則在同一家雜志的另一篇文章中,稱微分方程為特

6、征三角形的邊的函數(shù),并給出了線性方程dy/dxp(Lz)Y+q(Lz)的通解表達(dá)式:rrY()=打(1q()Jpd+f),J其中c是任意常數(shù).1740年,歐拉用自變量代換z把歐拉方程線性化而求得“.Lz一+1Lz一171n-Iy+十a(chǎn)nyoU工UL_,卜_1的通解,其中a(i一1,2,州)是常數(shù).通解與特解的概念是1743年歐拉定義的,同時(shí)歐拉還給出恰當(dāng)方程的解法和常系數(shù)線性齊次方程的特征根解法.微分方程的解有時(shí)也稱該方程的積分,因?yàn)榍笪⒎址匠探獾膯栴}在某種意義上正是普通積分問題的一種推廣.1694年,瑞士數(shù)學(xué)家約翰?伯努利在教師上對(duì)分離變量法與齊次方程的求解做了更加完整的說明.他的哥哥雅科布

7、?伯努利發(fā)表了關(guān)于等時(shí)J司題的解答,雖然萊布尼茨已經(jīng)給出了這個(gè)問題的一個(gè)分析解.微分方程教材中所見到的伯努利方程,最初就是雅科布?伯努利于1695年提出的.1696年萊布尼茨證明:利用變量替換Y卜,可以將方程化為線性方程(與的一次方程).同年,雅科布?伯努利實(shí)際上用分離變量法解決了這一方程,約翰?伯努利給出了另一種解法,還提出了常系數(shù)微分方程的解法.17世紀(jì)到18世紀(jì)是常微分方程發(fā)展的經(jīng)典理論階段,以求通解為主要研究內(nèi)容.在這一階段,還出現(xiàn)了許多精彩的成果.例如1694年,萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了方程解族的包絡(luò),1718年泰勒提出奇解的概念,克萊羅和歐拉對(duì)奇解進(jìn)行了全面研究,給出從微分方程本身求得奇解的

8、方法,參加奇解研究的數(shù)學(xué)家還有拉哥朗日,凱萊和達(dá)布等人.2常微分方程的適定性理論階段以定解問題的適定性理論為研究內(nèi)容1685年,偉大的數(shù)學(xué)家萊布尼茨向數(shù)學(xué)界推出求解方程(黎卡提方程的特例)dy/dx一.27+Y的通解的挑戰(zhàn)性問題,且直言自己研究多年未果.這個(gè)方程雖形式簡單,但經(jīng)150年幾代數(shù)學(xué)家的全力沖擊仍不得其解.1841年法國數(shù)學(xué)家劉維爾證明意大利數(shù)學(xué)家黎卡提1724年提出的黎卡提方程dy/dx(Lz)Y十q(Lz)Y十r(Lz)的解一般不能通過初等函數(shù)的積分來表達(dá),從而讓大家明白了不是什么方程的通解都可以用積分手段求出的.由于碰了黎卡提方程的釘子,從18世紀(jì)下半葉到19世紀(jì),人們從求通解

9、的熱潮轉(zhuǎn)向研究常微分方程定解問題的適定性理論,此階段為常微分方程發(fā)展的適定性理論階段.19世紀(jì)2O年代,柯西建立了柯西問題dyf(x,y)l(z.)一Yo解的存在唯一性定理.1873年,德國數(shù)學(xué)家李普希茲提出著名的”李普希茲條件”,對(duì)柯西的存在唯一性定理作了改進(jìn).在適定性的研究中,與柯西,李普希茲同一時(shí)期,還有皮亞拿和比卡,他們先后于1875年和1876年給出常微分方程的逐次逼近法,皮亞拿在僅僅要求f(x,)在(z.,Y.)點(diǎn)鄰域連續(xù)的條件下證明了柯西問題解的存在性.后來這方面的理論有了很大發(fā)展,這些基本理論包括:解的存在及唯一解,延展性,解的整體存在性,解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性和可微性,奇

10、解等等.這些問題是微分方程的一般基礎(chǔ)理論問題.3常微分方程的解析理論階段以解析理論為研究內(nèi)容19世紀(jì)為常微分方程發(fā)展的解析理論階段,這一階段的主要成果是微分方程的解析理論,運(yùn)用冪級(jí)數(shù)和廣義冪級(jí)數(shù)解法,求出一些重要的二階線性方程的級(jí)數(shù)解,并得到極其重要的一些特殊函數(shù).1816年貝塞爾研究行星運(yùn)動(dòng)時(shí),開始系統(tǒng)地研究貝塞爾方程z+xy+(z一n)Y一0,這個(gè)方程的特殊情形早在1703年雅科布?伯努利給萊布尼茨的信中就已提到.后來丹尼爾?伯努利和歐拉也都討論過這一方程,傅立葉與泊松也討論過它.貝塞爾得到了此方程的兩個(gè)基本解-廠(z)和-廠一(z),J(z)稱為第一類貝塞爾函數(shù)或,階貝塞爾函數(shù),J一(z

11、)稱為第二類貝塞爾函35第2O卷第3期2006年6月高等函授(自然科學(xué)版)Journalof進(jìn)而得到了系數(shù)C2的表達(dá)式,C2三0.1818年,貝塞爾證明了J(z)有無窮個(gè)零點(diǎn).1824年,貝塞爾給出遞推公式xJ抖1(z)一27(z)+-,1(z)一0.后來有眾多數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家得出貝塞爾函數(shù)的數(shù)以百計(jì)的關(guān)系式和表達(dá)式.1944年,劍橋大學(xué)出版了G.N.Watson的巨著貝塞爾函數(shù)教程,是貝塞爾函數(shù)研究成果的集成.由此可見,貝塞爾為微分方程解析理論做出了巨大貢獻(xiàn).在解析理論中另一個(gè)極重要的內(nèi)容是勒讓德方程的級(jí)數(shù)解和勒讓德多項(xiàng)式方面的成果.1784年他出版的代表作行星外形的研究中研究了勒讓德方程(

12、zX)一2xy+n(n+1)一0,給出了冪級(jí)數(shù)解的形式.與此同時(shí),厄米特研究了方程一2xy+Ay一0,X(一.,+.),得到了其冪級(jí)數(shù)解.當(dāng)是非負(fù)偶數(shù)即為著名的厄米特多項(xiàng)式.切比雪夫在研究方程(1一X)一xy+聲Y=0(聲是常數(shù))時(shí),得出lXl1時(shí)的兩個(gè)線性無關(guān)解(基本解),且證明當(dāng)是非負(fù)整數(shù)時(shí),此方程有一個(gè)解為次多項(xiàng)式,此多項(xiàng)式即為著名的切比雪夫多項(xiàng)式.另外,在常微分方程的解析理論研究中,也有數(shù)學(xué)王子高斯的成果.1821年,他研究了高斯幾何方程z(1一z)+y一(口+p+1)z)Y一一0,得到級(jí)數(shù)解F(a,p,y;z)一1+竺!竺壘z1?2?y(y+1)一.這個(gè)級(jí)數(shù)稱為超幾何級(jí)數(shù).同時(shí)他還建

13、立了公式36F(a,JB,y,1)一/(7)二/(7-a-f1),并指出對(duì)a,JB,y的不同值,此級(jí)數(shù)包括了幾乎所有的初等函數(shù)和類似貝塞爾函數(shù)的特征函數(shù).19世紀(jì)方程解析理論中一個(gè)重點(diǎn)成果是關(guān)于奇點(diǎn)的富克斯理論.他看到著名的貝塞爾方程,勒讓德方程和高斯幾何方程等,如果表成形如Y+聲(z)+(z)Y一0的形式,則系數(shù)有奇異性.于是富克斯深入研究這種齊次線性方程在奇異點(diǎn)鄰域內(nèi)解的性質(zhì),他把X改成z,在復(fù)平面上討論此種方程,得出許多成果.隨后,經(jīng)GeoryFrobenlus,斯圖姆和劉維爾各自相應(yīng)的研究,豐富了方程解析理論的內(nèi)容.1877年,Hill研究二階方程dx/dt+O(t)x一0,其中口()

14、以27c為周期,用他研究的結(jié)論證實(shí)月球近地點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是周期性的,開創(chuàng)了周期系數(shù)方程的研究,龐加萊也參與了Hill方程的研究,并在Hill工作的啟發(fā)下開創(chuàng)了微分方程定性研究的新時(shí)代.4常微分方程的定性理論階段以定性與穩(wěn)定性理論為研究內(nèi)容早在19世紀(jì),龐加萊開創(chuàng)了微分方程定性理論研究,李雅普諾夫則開創(chuàng)了微分方程運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論的研究.到了2O世紀(jì)是微分方程的定性理論階段.自從1841年劉維爾證明黎卡提方程dy/dxX+Y不存在初等函數(shù)積分表示的解之后,研究方程的方法有了明顯變化,數(shù)學(xué)家們開始從方程本身(不求解)直接討論解的性質(zhì).法國數(shù)學(xué)家們研究的三體問題就不能用已知函數(shù)解出,從而運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性問題就不可

15、能通過考察解的性態(tài)而得到.龐加萊終于找到了從方程本身找出答案的訣竅,1881年到1886年,他在(Jour.deMath)雜志上用同一標(biāo)題關(guān)于由微分方程確定的曲線的報(bào)告發(fā)表了4篇論文,他說:”要解答的問題是動(dòng)點(diǎn)是否描出一條閉曲線?它是否永遠(yuǎn)逗留在平面某一部分內(nèi)部?換句話說,并且用天文學(xué)的話來說,我們要問軌道是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的?”從1881年起,龐加萊獨(dú)創(chuàng)出常微分方程的定性理論.此后,為了尋求只通過考察微分方程本身就可以回答關(guān)于穩(wěn)定性等問題的方法,他從非線性方程(下轉(zhuǎn)第39頁)第2o卷第3期2006年6月高等函授(自然科學(xué)版)JournalofHigherCorrespondenceEduca

16、tion(NaturalSciences)Vo1.2ONo.3June2006又A一IAIAB一IBIB-,故PAPB,即AB.2.9設(shè)A是”階可逆的,則A可表示成A的多項(xiàng)式證A的特征多項(xiàng)式廠()一iAXEi一(一1)”(十l十十一l十,).因?yàn)锳可逆f(0)一一(一1)iAi0,所以f(A)=A十1A一十十,.A十a(chǎn)nE一0.一(A一十.A一十十一.E)AEA一一(A一十.Az十十,r.E).又AA=IA;E,所以A=jA1A_.=(一1)”(A十“IA十十”E).本文通過對(duì)伴隨矩陣性質(zhì)的討論和研究,揭示了伴隨矩陣更豐富,更深刻的內(nèi)涵,靈活地運(yùn)用這些性質(zhì)有助于拓寬解決線性代數(shù)問題的思路.參考

17、文獻(xiàn)Elq毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納M.武漢:華中科技大學(xué)出版社,2000.3:128.2李啟文.謝季堅(jiān).線性代數(shù)內(nèi)容,方法與技巧M.武漢:華中科技大學(xué)出版社.2003.7:325326.(上接第36頁)出發(fā),發(fā)現(xiàn)微分方程的奇點(diǎn)起關(guān)鍵作用,并把奇點(diǎn)分為四類(焦點(diǎn),鞍點(diǎn),結(jié)點(diǎn),中心),討論了解在各種奇點(diǎn)附近的性狀,同時(shí)還發(fā)現(xiàn)了一些與描述滿足微分方程的解曲線有關(guān)的重要的閉曲線如無接觸環(huán),極限環(huán)等,同時(shí),龐加萊關(guān)于常微分方程定性理論的一系列課題,成為動(dòng)力系統(tǒng)理論的開端.美國數(shù)學(xué)家伯克霍夫以三體問題為背景,擴(kuò)展了動(dòng)力系統(tǒng)的研究.另一位常微分方程定性理論的主要?jiǎng)?chuàng)始人是挪威數(shù)學(xué)家班迪克遜,從1900年起,他開始從事由龐加萊開創(chuàng)的微分方程軌線的拓?fù)湫再|(zhì)的研究工作,1901年發(fā)表著名論文由微分方程定義的曲線.常微分方程定性理論中另一個(gè)重要領(lǐng)域是1892年由俄國數(shù)學(xué)家李雅普諾夫創(chuàng)立的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論.1892年李雅普諾夫的博士論文關(guān)于運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問題給出了判定運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的普遍的數(shù)學(xué)方法與理論基礎(chǔ).關(guān)于李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性和伯克霍夫意義下的極限集的表現(xiàn)形式是多姿多彩的.到1937年數(shù)學(xué)家龐特里亞金提出結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性