常數項級數概念及其性質

1、第十三章無窮級數常數項級數無窮級數冪級數級數表示函數研究性質數值計算無窮級數是研究函數的工具一、常數項級數的概念二、無窮級數的基本性質三、級數收斂的必要條件第一節(jié)第十三章常數項級數的概念和性質一、常數項級數的概念引例1.近圓面積.邊形,設 a0用圓內接正多邊形面積依次作圓內接正內接正三角形面積,增加時增加的面積,表示ak 表示邊數則圓內接正近于圓的面積 A .這個和即引例2. 小球從 1 米高處落下, 每次跳起的高度減少一半, 問小球是否會在某時刻停止運動? 說理.由落體運動方程知設 tk表示第 k 次小球的時間, 則小球運動的時間為( s )定義：給定一個數列將各項依次相加, 簡記為即叫做級

2、數的一般項,稱上式為無窮級數，其中第 n 項級數的前 n 項和稱為級數的部分和.收斂 , 并稱 S 為級數的和,則稱無窮級數記作則稱無窮級數發(fā)散 .當級數收斂時, 稱差值為級數的余項.顯然此時(又稱幾何級數)例1.等比級數( q 稱為公比 ) 的斂散性.q ,1則部分和解: 1) 若 1 時，由于lim qn 0,當 q從而n其和為因此級數收斂 ,由于 im qn 當 q時從而n因此級數發(fā)散 .,1則時q2). 若當q 當q 因此級數發(fā)散 ;時級數成為n 為奇數n 為偶數因此從而不存在 , 因此級數發(fā)散.綜合 1)、2)可知,時, 等比級數收斂 ;時, 等比級數發(fā)散 .例2. 判別下列級數的斂

3、散性:解: (1)技巧:利用 “拆項相消” 求和所以級數 (1) 發(fā)散 ;1n的斂散性 .思考：n1(2)所以級數 (2) 收斂, 其和為 1 .技巧:利用 “拆項相消” 求和1n 判別級數 n2例3.解:的斂散性 .2nn2 11n lnn2n2n1 nSn2kk 2(ln(kn1) ln k) (ln k ln(k )k 2 ln 2 ln(n 1lnlim Sn n, 故原級數收斂 , 其和為n二、無窮級數的基本性質性質1. 若級數收斂于 S , 即則各項也收斂 , 其和為 c S .乘以常數 c 所得級數證: 令則收斂 , 其和為 c S .這說明說明: 級數各項乘以非零常數后其斂散性

4、不變 .性質2.設有兩個收斂級數也收斂, 其和為則級數證:則令也收斂, 其和為這說明級數說明:(1)性質2 表明兩個收斂級數可逐項相加或減 .(2) 若兩級數中一個收斂一個發(fā)散 , 則必發(fā)散 .(用反證法可證)但若二級數都發(fā)散 ,不一定發(fā)散.例如,性質3.在級數前面加上或去掉或改變有限項, 不會改變級數的斂散性.的前 k 項去掉,證: 將級數所得新級數的部分和為極限狀況相同, 故新舊兩級數斂散性相同.當級數收斂時, 其和的關系為類似可證前面加上或改變有限項的情況 .性質4.收斂級數加括弧后所成的級數仍收斂于原級數的和.證: 設收斂級數若按某一規(guī)律加括弧, 例如則新級數的部分和序列為原級數部分和

5、因此必有用反證法可證的一個子序列,序列推論: 若加括弧后的級數發(fā)散, 則原級數必發(fā)散.注意: 收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂.例如，但發(fā)散.例4.判斷級數的斂散性:解: 考慮加括號后的級數發(fā)散 , 從而原級數發(fā)散 .三、級數收斂的必要條件設收斂級數則必有證:可見:若級數的一般項不趨于0 , 則級數必發(fā)散 .例如,其一般項為不趨于0, 因此這個級數發(fā)散.并非級數收斂的充分條件.注意:例如, 調和級數但此級數發(fā)散 .雖然事實上 , 假設調和級數收斂于 S , 則但!所以假設不真 .思考與練習 .1將3.217表示成分數.3171717解：3.217 2 n103103101010 17 2 nn1 11701 2 11