理論力學(xué)課件第17講-9章

1、理論力學(xué)航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院1理論力學(xué)第九章剛體的平面運(yùn)動（1）Lecture 172簡要復(fù)習(xí)第九章剛體的平面運(yùn)動9-1剛體平面運(yùn)動概述和運(yùn)動分解1.2.剛體平面運(yùn)動的定義模型的簡化剛體的平面運(yùn)動可以簡化為平面圖形S 在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動。運(yùn)動方程3.x O y O f 12t)(33簡要復(fù)習(xí)第九章剛體的平面運(yùn)動9-1剛體平面運(yùn)動概述和運(yùn)動分解1. 剛體平面運(yùn)動的定義定義:若剛體在運(yùn)動過程中，其上各點(diǎn)到某一固定平面的距離保持不變，則這種運(yùn)動稱為剛體的平面運(yùn)動。定軸轉(zhuǎn)動是平面運(yùn)動；平面內(nèi)的平移是平面運(yùn)動。定軸轉(zhuǎn)動和平面平移是平面運(yùn)動的特例。新課2.模型的簡化剛體的平面運(yùn)動可以簡化為平面圖形S

2、 在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動。3.運(yùn)動方程5y3.運(yùn)動方程MS為了確定平面圖形在平面內(nèi)的位置，只需確定平面圖形內(nèi)任意一條線段的位置。確定平面內(nèi)直線的位置，xOoyoxO需要三個量，如 xo , yo , ?？梢钥闯觯阂话闱闆r下，平面運(yùn)動是平移x O y O f 12t運(yùn)動方程特例和轉(zhuǎn)動的平移定軸轉(zhuǎn)動。3 =常數(shù)xo=常數(shù), yo= 常數(shù)126特例 =常數(shù)xo=常數(shù), yo= 常數(shù)12平移定軸轉(zhuǎn)動可以看出：一般情況下，平面運(yùn)動是平移和轉(zhuǎn)動的4. 平面運(yùn)動的分解。用運(yùn)動的方法研究平面運(yùn)動。以沿水平直線軌道運(yùn)動的車輪為例4. 平面運(yùn)動的分解用運(yùn)動的方法研究平面運(yùn)動。y以沿水平直線軌道運(yùn)動的車輪為例研究對象

3、:動系:定系:絕對運(yùn)動:牽連運(yùn)動:相對運(yùn)動:車輪車廂，即Axy地球，Oxyx平面運(yùn)動平移定軸轉(zhuǎn)動所以，平面運(yùn)動可以分解為平移(牽連運(yùn)動)和轉(zhuǎn)動（相對運(yùn)動）。實(shí)際上，沒有車廂也一樣可以作這樣的分解。實(shí)際上，沒有車廂也一樣可以作這樣的分解。研究對象:動系:車輪以A為原點(diǎn)，建移動系A(chǔ)xy地球，Oxy平面運(yùn)動yx定系:絕對運(yùn)動:牽連運(yùn)動:相對運(yùn)動:平移定軸轉(zhuǎn)動則，平面運(yùn)動分解為平移(牽連運(yùn)動)和轉(zhuǎn)動(相對運(yùn)動)。一般情況下的分解9一般情況下的分解yyyyBxBSSAxAxxO任選一點(diǎn)A為基點(diǎn),以基點(diǎn)為原點(diǎn)建移動系。則，絕對運(yùn)動為平面運(yùn)動；牽連運(yùn)動為平移；相對運(yùn)動為繞基點(diǎn) A 的轉(zhuǎn)動。注意：是平移動系，

4、它不與平面圖形S連。10固5. 幾點(diǎn)結(jié)論(1)平面運(yùn)動可以分解為隨基點(diǎn)的平移和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動。y問題:平面運(yùn)動分解為平移和轉(zhuǎn)動時，隨基點(diǎn)的平移與基點(diǎn)是否有關(guān)？繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動與基點(diǎn)是否有關(guān)？BSAx11yyyBBB2S1ASAAxxOx 12(2)平面運(yùn)動分解為平移和轉(zhuǎn)動時，隨基點(diǎn)的平移與基點(diǎn)有關(guān)；繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動與基點(diǎn)無關(guān)。平面圖形繞任一基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度和角加速(3)度都相等。12(3)平面圖形繞任一基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度都相等。y 1B 1 2limtB以A為基點(diǎn)時 t02 2A1Slimt td d t以B為基點(diǎn)時因?yàn)槭冀K有: t0Axdd t 所以，lim12 t 0 同理: , 21就稱為

5、平面圖形的角速度、角加速。度 td d tdd t 所以，lim12 t 0 同理:21, (4)就稱為平面圖形的角速度、角加速度。平面圖形繞任一基點(diǎn)的角速度和角加速度y就等于它的絕對角速度、絕對角加速度。因?yàn)?，始終有:yBSAaxa ( )Ox(4)平面圖形繞任一基點(diǎn)的角速度和角加速度就等于它的絕對角速度、絕對角加速度。因?yàn)椋冀K有:a (yy )BSAa上式兩邊對 t 求導(dǎo)，有:x tta a )(Ox綜合(3)和(4)，有：平面圖形繞任一基點(diǎn)的角速度和角加速度都相等，且就等于它的絕對角速度、絕對角加速。度平面圖形繞任一基點(diǎn)的角速度和角加速度都相等，且就等于它的絕對角速度、絕對角加速度。小

6、結(jié)(1)平面運(yùn)動可以分解為隨基點(diǎn)的平移和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動。平面運(yùn)動分解為平移和轉(zhuǎn)動時，隨基點(diǎn)的平移與基點(diǎn)有關(guān)；繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動與基點(diǎn)無關(guān)。平面圖形繞任一基點(diǎn)的角速度和角加速度都相等。(2)(3)(4)平面圖形繞任一基點(diǎn)的角速度和角加速度就等于它的絕對角速度、絕對角加速度。169-2求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的基點(diǎn)法本節(jié)介紹兩種求速度的方法：基點(diǎn)法和速度投影法。下一節(jié)介紹另一種求速度的方法：速1. 基點(diǎn)法已知：圖形S內(nèi)一點(diǎn)A的速度和圖形的角速度 。求： 任一點(diǎn)B的速度。法。用點(diǎn)的速度定理動點(diǎn):動系:B點(diǎn)以A為基點(diǎn)，建移動系。17動點(diǎn):動系:B點(diǎn)以A為基點(diǎn)，建移動系。絕對運(yùn)動:牽連運(yùn)動:相對運(yùn)動:平面曲線隨基點(diǎn)

7、A的平移圓周運(yùn)動vBAvBvA由速度定理vavevevr vA ,BA ,這里:raBvB 所以:B18vBAvB基點(diǎn)法公式為vB vA vBAvAvBA AB AB其中:方向:即：平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的速度的矢量和。解題時，不必說明動點(diǎn)、動系，只需說明基點(diǎn)即可。平面內(nèi)的矢量方程，可解兩個未知量。19解題時，不必說明動點(diǎn)、動系，只需說明基點(diǎn)即可。平面內(nèi)的矢量方程，可解兩個未知量。vBAvB2. 速度投影定理將基點(diǎn)法的公式v v vBAvA向AB連線方向投影，有vvAA即：同一平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連 速度投影定理20線上的投影相等。vBAvB2.

8、 速度投影定理將基點(diǎn)法的公式v v vBAvA向AB連線方向投影，有vvAA即：同一平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連 速度投影定理線上的投影相等。速度投影定理反映了剛體的性質(zhì)。 對剛體的任何運(yùn)動形式均成立。用速度投影定理求解速度的方法:速度投影法。21vA例 1曲柄連桿機(jī)構(gòu)AB已知：OA=AB= l, =常數(shù)。vA求：當(dāng) =45時, 滑塊 B 的速度及AB 桿的角速度。vB解:OA作定軸轉(zhuǎn)動,AB作平面運(yùn)動,vBA滑塊B作平移。分析運(yùn)動1 基點(diǎn)法作出速度圖，求解取AB，以A為基點(diǎn)。/ cos 45vB vA v由大小方向ABAoOAOA?水平?AB2l作出速度圖，求解v/ cos 45oAA

9、ABvA2lA tan 45 o lv求 vBABvBABA AB vBA/ AB所以 l / l （）2投影法取AB,vB 水平。vA OA，將 vA、vB 向AB連線投影，有23vA2投影法vB 水平。ABv OA，取AB,vAA將 vA、vB 向AB連線投影，有v A vBvBcos 45 vBAv A2 lv( )所以:Bcos 45 速度投影法求不出AB 。249-3求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法vBA1問題的提出基點(diǎn)法的公式vB vA vBA若以速度為零的點(diǎn)為基點(diǎn)，則可使求解簡單。瞬時速度中心的定義vBvA2平面圖形（或其延拓部分）上，在某瞬時速度為零的點(diǎn)，稱為平面圖形在該瞬時的瞬時

10、速度中心，簡稱為速。252瞬時速度中心的定義平面圖形（或其延拓部分）上，在某瞬時速度為零的點(diǎn)，稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱為速。3速存在唯一性定理若 0，則在每一瞬時，平面圖形(或其延拓部分)上必存在唯一定理的一個速。SA證明:設(shè) 0, 在S上任取一點(diǎn)A,若 vA=0，則A為速。若 0，則在每一瞬時，平面圖形(或其延拓部分)上必存在唯一的一個速定理。證明:設(shè) 0, 在S上任取一點(diǎn)A,NvCAC vSA若 vA=0，則A為速。A設(shè) vA 0 ,以A為基點(diǎn),過A點(diǎn)作vA的垂線AN,vA則，在AN上存在唯一一點(diǎn)C,vC vA AC 0滿足:CAC vA / 0時, vC所以，當(dāng)即：C 為

11、速。且C是唯一的。證畢27vC vA AC 0滿足:CAC vA / 0時, vC所以，當(dāng)即：C 為速。且C是唯一的。證畢4速當(dāng)以速的意義C為基點(diǎn)時，S基點(diǎn)法公式成為BCBvB BC BCvBAvB的大小vB的方向vDDvA4速的意義C為基點(diǎn)時，S當(dāng)以速BCvBAv基點(diǎn)法公式成為BDDvB BCvB的大小vB的方向vA BC所以，平面圖形上各點(diǎn)的速度的分布，就與假設(shè)C作定軸轉(zhuǎn)動時的速度分布相同。它繞速注意:不同瞬時，平面圖形的速是不同的。即：速的位置是在不斷變化的。另一方面，平面運(yùn)動可以看作是由繞一系列的速的轉(zhuǎn)動的。29即： 速的位置是在不斷變化的。另一方面，平面運(yùn)動可以看作是由繞一系列的速v

12、o的轉(zhuǎn)動的。的確定C5速已知一平面圖形在定面上作無滑動的滾動。則圖形與固定面的接觸點(diǎn)C即為速。固5速的確定已知一平面圖形在vo定面上作無滑動的滾動。則圖形與固定面的接觸點(diǎn)CC即為速。 已知圖形上一點(diǎn)速度 vA 和圖形的角速度 。將 vA按 的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90，得到 一條半直線。在半直線上取C點(diǎn)，CSvAA/ AC v滿足：A31固 已知圖形上一點(diǎn)速度 vA 和圖形的角速度 。將 vA按 的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90，得到一條半直線。在半直線上取C點(diǎn)，CSvAAAC v A / 滿足：則，C即為速。 已知平面圖形上A, B兩點(diǎn)速度的方向，且 vA 不平行于 vB 。32C 已知圖形上一點(diǎn)速度 vA 和圖形的角速度 。

13、將 vA按 的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90，得到一條半直線。在半直線上取C點(diǎn)，CSvAAAC v A / 滿足：則，C即為速。 已知平面圖形上A, B兩點(diǎn)速度的方向，且 vA 不平行于 vB 。33C 已知平面圖形上A, B兩點(diǎn)速度的方向，且 vA 不平行于 vB 。 已知A,B兩點(diǎn)速度的大小和方Cvv且 v AB, v AB。向,AB ，ABa)vA 與 vB 同向，且 vA vB。vASBACvBAvDBSvDBCvA 已知A,B兩點(diǎn)速度的大小和方向, vAvB ，且 vA AB, vB AB。a)vA 與 vB 同向，且 vA vB。b)vA 與 vB 反向。vAvASBAACvBAvS BvSDCBBDCvBvA35vAb)vA 與 vB 反向。AvvSABCB1） vA、vB不與AB連線垂直；v2）與AB連線垂直，且 vA=vB。B36 vAvB1） vA、vB不與AB連線垂直；vA=vB。在無2）與AB連線垂直，且此時,平面圖形的速窮遠(yuǎn)處，或速不存在。這時，平面圖形的角速度vvAA0AC0vB 由基點(diǎn)法的公式B可以看出：此時平面圖形上各點(diǎn)的速度相等。這稱為瞬時平移。vvAA0AC0vB 由基點(diǎn)法的公式B可以看出：此時平面圖形上各點(diǎn)的速度相等。這稱為瞬時平移。即：當(dāng) = 0時，速不存在，平面圖形上各點(diǎn)的速度相等。 瞬時平移瞬時平移時，平面圖形上各點(diǎn)的速度相等，但各點(diǎn)的加速