函數(shù)的基本性質

1、考點 05 函數(shù)的基本性質（1）懂得函數(shù)的單調性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；明白函數(shù)奇偶性的含義 .（2）會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質 .一、函數(shù)的單調性1函數(shù)單調性的定義定義增函數(shù)減函數(shù)一般地,設函數(shù)fx 的定義域為I ,假如對于定義域I 內(nèi)某個區(qū)間D 上的任意兩個自變量的值1x ,2x當x 1x 時,都有fx 1fx 2,當x 1x 時,都有fx 1fx 2,那么就說函數(shù)fx 在區(qū)間 D 上是增那么就說函數(shù)fx 在區(qū)間 D 上是減函數(shù)函數(shù)圖象描述自左向右看,圖象是上升的 自左向右看,圖象是下降的設x x 2 , a b , 1x .如有x 1x 2 fx 10fx 20或2f x

2、 1f x20,就f x 在閉區(qū)間 a bx 1x2上是增函數(shù)；如有x 1x 2fx 1fx 2或f x 1f x0,就f x 在閉區(qū)間 a b 上是減函數(shù) .x 1x 21 此為函數(shù)單調性定義的等價形式 . 2單調區(qū)間的定義如函數(shù) yfx 在區(qū)間 D 上是增函數(shù)或減函數(shù),就稱函數(shù) yfx 在這一區(qū)間上具有（嚴格的） 單調性,區(qū)間 D 叫做函數(shù) fx 的單調區(qū)間留意： （1）單調性是與 “ 區(qū)間 ” 緊密相關的概念,一個函數(shù)在不同的區(qū)間上,可以有不同的單調性,同一種 單調區(qū)間用“ 和” 或“ ,” 連接,不能用“ ” 連接（2）函數(shù)的單調性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來爭論,所以求函數(shù)的單調區(qū)間,必需

3、先求函數(shù)的定義域（3）“ 函數(shù)的單調區(qū)間是 A ” 與“ 函數(shù)在區(qū)間 B 上單調” 是兩個不同的概念,留意區(qū)分,明顯 B A . 1（4）函數(shù)的單調性是對某個區(qū)間而言的,所以要受到區(qū)間的限制例如函數(shù) y 分別在 ,0, 0,x內(nèi)都是單調遞減的,但不能說它在整個定義域,即 數(shù)的單調減區(qū)間為 ,0和0, 3函數(shù)單調性的常用結論,00, 內(nèi)單調遞減,只能分開寫,即函（1）如fx,g x 均為區(qū)間A 上的增 減 函數(shù),就yfxg x 也是區(qū)間 A 上的增 減函數(shù)；x 的單調性相同；如（2）如k0,就 kfx 與 fk0,就 kfx 與 fx 的單調性相反；（3）函數(shù)yfx ,y1的單調性相反；fxfx

4、0在公共定義域內(nèi)與f x （4）函數(shù)yfxfx0在公共定義域內(nèi)與yf x 的單調性相同；學科* 網(wǎng)（5）奇函數(shù)在其關于原點對稱的區(qū)間上單調性相同,偶函數(shù)在其關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反；（6）一些重要函數(shù)的單調性：yx1的單調性： 在, 1 和 1,b上單調遞增, 在1,0 和 0,1x上單調遞減；yaxb（a0,b0）的單調性：在,和b,上單調遞增,在xaab,0和0,b上單調遞減aa4函數(shù)的最值2 前提設函數(shù) yfx 的定義域為I ,假如存在實數(shù)M 滿意M條件（1）對于任意的xI ,都有（3）對于任意的xI ,都有fxM ；fxM ；結論（2）存在x 0I ,使得fx 0M（4）存在x

5、0I ,使得fx 0M 為最大值M 為最小值留意：（1）函數(shù)的值域肯定存在,而函數(shù)的最值不肯定存在；（2）如函數(shù)的最值存在,就肯定是值域中的元素；如函數(shù)的值域是開區(qū)間,就函數(shù)無最值,如函數(shù)的值域是閉區(qū)間,就閉區(qū)間的端點值就是函數(shù)的最值 . 二、函數(shù)的奇偶性1函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點判定f奇偶性定義圖象特點0,就假如對于函數(shù)fx 的定義域內(nèi)任意一個x,都有圖象關于 y 軸偶函數(shù)對稱fxfx ,那么函數(shù)fx 是偶函數(shù)假如對于函數(shù)fx 的定義域內(nèi)任意一個x,都有圖象關于原點奇函數(shù)對稱fxfx ,那么函數(shù)fx 是奇函數(shù)x 與 fx 的關系時, 也可以使用如下結論：假如fx fx0或fx1 f x 函

6、數(shù) f x 為偶函數(shù)；假如 f x f x 0 或 f x 1 f 0,就函數(shù) f x 為奇函數(shù)學科 .網(wǎng)f x 留意： 由函數(shù)奇偶性的定義可知,函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個 x,x 也在定義域內(nèi)（即定義域關于原點對稱）2函數(shù)奇偶性的幾個重要結論（1）奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相同,偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相反3 （2）f x ,g x 在它們的公共定義域上有下面的結論：f g x f x g x f x g x f x g x f g x 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù) 奇函數(shù) 不能確定 不能確定 奇函數(shù) 偶函數(shù)奇函數(shù) 偶

7、函數(shù) 不能確定 不能確定 奇函數(shù) 偶函數(shù)奇函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)（3）如奇函數(shù)的定義域包括 0 ,就 f 0 0（4）如函數(shù) f x 是偶函數(shù),就 f x f x f x （5）定義在 , 上的任意函數(shù) f x 都可以唯獨表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和（ 6）如函數(shù) y f x 的定義域關于原點對稱,就 f x f x 為偶函數(shù),f x f x 為奇函數(shù),f x f x 為偶函數(shù)（7）把握一些重要類型的奇偶函數(shù)：函數(shù)fxaxaax為偶函數(shù),函數(shù)fxx aax為奇函數(shù)函數(shù)xa2x1（aaxafx0且a1）為奇函數(shù)axaxa2x1函數(shù)fxlog1x（a0且a1）為奇函數(shù)1x

8、函數(shù)fxlogax2 x1（a0且a1）為奇函數(shù)三、函數(shù)的周期性1周期函數(shù)對于函數(shù) yfx ,假如存在一個非零常數(shù)T,使得當 x 取定義域內(nèi)的任何值時,都有 fxTfx ,那么就稱函數(shù)yfx 為周期函數(shù),稱T 為這個函數(shù)的周期2最小正周期4 假如在周期函數(shù)fx 的全部周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小的正數(shù)就叫做fx 的最小正周期（如不特殊說明,T 一般都是指最小正周期）. 留意： 并不是全部周期函數(shù)都有最小正周期. 3函數(shù)周期性的常用結論設函數(shù) yfx ,xR,a0. 如f xaf xa ,就函數(shù)的周期為2a ；如f xafx ,就函數(shù)的周期為2a ；如f xaf1,就函數(shù)的周期為2a

9、； 如fxaf1,就函數(shù)的周期為2a ； 函數(shù) f如函數(shù)如函數(shù)如函數(shù)如函數(shù)x 關于直線 xa與 xb 對稱,那么函數(shù)fx 的周期為 2 |ba ；學科 %網(wǎng)fx 關于點a ,0對稱,又關于點b ,0對稱,就函數(shù)fx 的周期是 2 |ba ；fx 關于直線 xa 對稱,又關于點b ,0對稱,就函數(shù)fx 的周期是 4 |ba ；fx 是偶函數(shù),其圖象關于直線xa對稱,就其周期為2a ；fx 是奇函數(shù),其圖象關于直線xa對稱,就其周期為4a . 考向一 判定函數(shù)的單調性1判定函數(shù)單調性的方法：（1）定義法,步驟為：取值,作差,變形,定號,判定利用此方法證明抽象函數(shù)的單調性時,應依據(jù)所給抽象關系式的特

10、點,對1x 或2x 進行適當變形,進而比較出fx 1與fx 2的大?。?）利用復合函數(shù)關系,如兩個簡潔函數(shù)的單調性相同,就這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為增函數(shù)；如兩個簡潔 函數(shù)的單調性相反,就這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為減函數(shù),簡稱“ 同增異減 ” （3）圖象法：從左往右看,圖象逐步上升,就單調遞增；圖象逐步下降,就單調遞減5 （4）導數(shù)法：利用導函數(shù)的正負判定函數(shù)的單調性（5）利用已知函數(shù)的單調性,即轉化為已知函數(shù)的和、差或復合函數(shù),判定函數(shù)的單調性 . 2在利用函數(shù)的單調性寫出函數(shù)的單調區(qū)間時,第一應留意函數(shù)的單調區(qū)間應是函數(shù)定義域的子集或真子 集,求函數(shù)的單調區(qū)間必需先確定函數(shù)的定義域；其次需把握一次

11、函數(shù)、二次函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調區(qū)間典例 1 函數(shù)fxlog1xx2的單調遞增區(qū)間是2A ,1 2B 0,1C1 ,1 2D0,12【答案】 C 典例 2 已知函數(shù)fxxxaxa（1）如a2,試證：fx 在 ,2 上單調遞增；x 在 , 2 上單調遞增（2）如a0且 fx 在 1, 上單調遞減,求a 的取值范疇【解析】任設x 1x 22,就fx 1fx 2x 1x 12x 22x 12x 1x 22. x 22x 2由于x 12 x 22 0,x 1x 20,所以fx 1fx 2,所以 f（2）任設1x 1x ,就6 fx 1fx2x 1x 1ax 2x 1a x 2x 1. 0,只需x 1

12、a x 2a0恒成立,所以0a1. x 2aax2a由于a0,x 2x 10,所以要使fx 1fx 2綜上所述, a 的取值范疇是 0,1【名師點睛】函數(shù)的單調性是通過任意兩點的變化趨勢來刻畫整體的變化趨勢,“任意 ” 兩個字是必不行少的假如只用其中兩點的函數(shù)值 比如說端點值 進行大小比較是不能確定函數(shù)的單調性的1“a 0”是“ 函數(shù) f x | ax 1 | x 在區(qū)間 0, 內(nèi)單調遞增 ”的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件考向二 函數(shù)單調性的應用函數(shù)單調性的應用主要有：（1）由 x x 的大小關系可以判定 f x 1 與 f x 2 的大小關系,也可

13、以由 f x 1 與 f x 2 的大小關系判定出 x x 的大小關系比較函數(shù)值的大小時,如自變量的值不在同一個單調區(qū)間內(nèi),要利用其函數(shù)性質轉化到同一個單調區(qū)間上進行比較 . （2）利用函數(shù)的單調性,求函數(shù)的最大值和最小值（3）利用函數(shù)的單調性,求參數(shù)的取值范疇,此時應將參數(shù)視為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的單調性,確定函數(shù)的單調區(qū)間,再與已知單調區(qū)間比較,即可求出參數(shù)的取值范疇如函數(shù)為分段函數(shù),除留意各段的單調性外,仍要留意連接點的取值（4）利用函數(shù)的單調性解不等式第一依據(jù)函數(shù)的性質把不等式轉化為 f g x f h x 的形式,然后依據(jù)函數(shù)的單調性去掉“ f” 號,轉化為詳細的不等式 組,此時要留意

14、g x 與 h x 的取值應在外層函數(shù)的定義域內(nèi)7 典例 3 定義在 R 上的函數(shù) fx 滿意：對任意的f1x ,x 20,（x 1x ）,有fx 2fx 10,就x 2x 1A f3f2f4Bf1f23Cf2f1f3Df3f1f0【答案】 D 典例 4 已知函數(shù) fx 的定義域是 0, ,且滿意 fxyfxfy ,f1 21,假如對于 0 xy ,都有 fxfy ,x0. f3xf1 20（1）求f1的值；（2）解不等式fxf3x 2. 【解析】（1）令xy1,就f1f1f1,f10. （2）解法一：由題意知fx 為 0, 上的減函數(shù),且3xx00 fxyfxfy ,x y0,且f1 21,

15、fxf1fxf3x2可化為fxf3x2f1,即22f1fxf32xf1fx32xf1,22f22,x0就x32x,解得 11x0. 2不等式fxf3x2的解集為x|1x0 解法二：由f1f2f 12f21,f4f2fxf3x f4,即fx 3x f4,8 x004,解得x12x0. x|1x0 a 的取值范疇是就3xf32的解集為x3x不等式fx2已知函數(shù)fxlog3xaxa5在區(qū)間,1 上是單調遞減函數(shù),就實數(shù)考向三函數(shù)最值的求解1利用單調性求最值應先確定函數(shù)的單調性,然后再由單調性求出最值如函數(shù)在閉區(qū)間a,ba,b上是增函數(shù),就fx 在 a,b 上的最小值為fa ,最大值為f b ；如函數(shù)

16、在閉區(qū)間上是減函數(shù),就. fx 在a,b上的最小值為f b ,最大值為fa . 2求函數(shù)的最值實質上是求函數(shù)的值域,因此求函數(shù)值域的方法也用來求函數(shù)最值3由于分段函數(shù)在定義域不同的子區(qū)間上對應不同的解析式,因此應先求出分段函數(shù)在每一個子區(qū)間上的最值,然后取各區(qū)間上最大值中的最大者作為分段函數(shù)的最大值,各區(qū)間上最小值中的最小者作為分段函數(shù)的最小值 . 4求函數(shù)最值的方法仍有數(shù)形結合法和導數(shù)法. 1,1 上,不等式fx2xm恒成立,就實數(shù)m的取值典例 5 已知函數(shù)fxx2x1,如在區(qū)間范疇是【答案】, 1m恒成立,只需mfgx2x2 x13x1恒成立,【解析】要使在區(qū)間1,1 上,不等式fx2x設

17、g x2 x3 x1,只需 m小于 g x 在區(qū)間1,1 上的最小值, 所 以 112 131m i n因 為g xx23 x1x325, 所 以 當x1時 ,gx24m1,所以實數(shù) m的取值范疇是, 1 .9 典例 6 已知函數(shù)fxx22x3,如 xt,t2,求函數(shù) fx的最值 t22t3,t111. t,就有g t t22 t3,t0,設函數(shù) fx的最大值為gt,最小值為4, 1tt22t3,t0tt22t3,【名師點睛】求二次函數(shù)的最大（?。┲涤袃煞N類型：一是函數(shù)定義域為實數(shù)集 R ,這時只要依據(jù)拋物線 的開口方向,應用配方法即可求出最大（?。┲?；二是函數(shù)定義域為某一區(qū)間,這時二次函數(shù)的

18、最大（?。┲涤伤膯握{性確定,而它的單調性又由拋物線的開口方向和對稱軸的位置（在區(qū)間上,在區(qū)間左側,仍是在區(qū)間右側） 來打算,如含有參數(shù), 就要依據(jù)對稱軸與 解題時要留意數(shù)形結合 .x 軸的交點與區(qū)間的位置關系對參數(shù)進行分類爭論,3 對 于 任 意 實 數(shù)a b , 定 義mina b a ab. 設 函 數(shù)fxx3,g xlog2x , 就 函 數(shù)b abh xmin fx,g x的最大值是 _考向四判定函數(shù)的奇偶性判定函數(shù)奇偶性的常用方法及思路：（1）定義法：10 （2）圖象法：（3）性質法：利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的和、差、積、商的奇偶性和復合函數(shù)的奇偶性來判定 . 留意： 分段函數(shù)奇偶性的判

19、定,f要留意定義域內(nèi)x 取值的任意性,應分段爭論,爭論時可依據(jù)x 的范疇相應地化簡解析式,判定fx 與x 的關系,得出結論,也可以利用圖象作判定性質法中的結論是在兩個函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的性質法在挑選題和填空題中可直接運用,但在解答題中應給出性質推導的過程 . 典例 7 設函數(shù) f x , g x 的定義域為 R ,且 f x 是奇函數(shù),g x 是偶函數(shù),就以下結論中正確選項A fx gx是偶函數(shù)B|fx|gx是奇函數(shù)Cfx|gx |是奇函數(shù)D|fxgx |是奇函數(shù)【答案】 C 【解析】設H x f x g x ,就Hx gfx g x ,由于fx是奇函數(shù),gx是偶函數(shù),故Hxf x g

20、x H x ,即fx |x |是奇函數(shù),選C典例 8 以下判定正確選項A 函數(shù)fxx22x是奇函數(shù)x211 B函數(shù)f x xx21是非奇非偶函數(shù)1x221,xx00是偶函數(shù)2C函數(shù)f x 1x1,D函數(shù)fx21既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】 B 【名師點睛】對于C,判定分段函數(shù)的奇偶性時,應分段說明fx 與f x 的關系,只有當對稱的兩段上都滿意相同的關系時,才能判定其奇偶性.如 D 項中的函數(shù)是f x 0,且定義域關于原點對稱,就函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). 4以下函數(shù)中,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)的是Ay2 xsinx Byxx2cosx函數(shù)奇偶性的應用C1y2xDysin 2x2x考向五1與

21、函數(shù)奇偶性有關的問題及解決方法：（1）已知函數(shù)的奇偶性,求函數(shù)的值將待求值利用奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解（2）已知函數(shù)的奇偶性求解析式 . 12 已知函數(shù)奇偶性及其在某區(qū)間上的解析式,求該函數(shù)在整個定義域上的解析式的方法是：第一設出未知區(qū)間上的自變量,利用奇、偶函數(shù)的定義域關于原點對稱的特點,把它轉化到已知的區(qū)間上,代入已知的解析式,然后再次利用函數(shù)的奇偶性求解即可 . （3）已知帶有參數(shù)的函數(shù)的表達式及奇偶性求參數(shù) .學科 #網(wǎng)在定義域關于原點對稱的前提下,利用 f x 為奇函數(shù) f x f x , f x 為偶函數(shù)f x f x ,列式求解, 也可以利用特殊值法求解 .對于在 x

22、0 處有定義的奇函數(shù) f x ,可考慮列式 f 0 0 求解 . （4）已知函數(shù)的奇偶性畫圖象判定單調性或求解不等式 . 利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在另一對稱區(qū)間上的圖象及判定另一區(qū)間上函數(shù)的單調性 . 2對稱性的三個常用結論：（1）如函數(shù)yf xa 是偶函數(shù), 即f axf ax ,就函數(shù) yfx 的圖象關于直線xa對稱；（ 2）如對于 R 上的任意x 都有f2 axfx 或fxf2ax,就 yfx 的圖象關于直線xa對稱；fxb f xb0,就函數(shù) yfx 關于點 ,0中心對稱（3）如函數(shù)yf xb 是奇函數(shù), 即典例 9 已知定義在R 上的奇函數(shù)滿意fxx22x x0,如f 32 af

23、2 a ,就實數(shù) a 的取值范圍是 _【答案】 3,1 典例 10 已知 fx 是定義在 R 上的奇函數(shù), 當x0時,fxx24 x ,就不等式 fxx 的解集用區(qū)間表示為 _【答案】5,0 5,13 當x0時,由 fxx 得x24xx ,解得x5；0. f1g14,就 g1等于當x0時, fxx 無解；x當x0時,由fxx 得x24xx ,解得5綜上,不等式fxx 的解集用區(qū)間表示為5,05,15已知 fx 是奇函數(shù), g x 是偶函數(shù),且f 1 g2,A4 B3 C2D1 考向六 函數(shù)周期性的判定及應用（1）判定函數(shù)的周期,只需證明f xTfxT0,便可證明函數(shù)是周期函數(shù),且周期為T,函數(shù)

24、的周期性常與函數(shù)的其他性質綜合命題（2）依據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的性質得到函數(shù)的整體性質,即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉化到已知區(qū)間的功能在解決詳細問題時,要留意結論：如T 是函數(shù)的周期,就kT kZ 且k0也是函數(shù)的周期. （3）利用函數(shù)的周期性,可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題,轉化為已知區(qū)間上的相應問題,進而求解 . 14 典例11 定義在實數(shù)集R 上的函數(shù) fx 滿意fxfx20,且f4xfx ,現(xiàn)有以下三種表達： 8 是函數(shù) fx 的一個周期；fx 的圖象關于直線x2對稱； fx 是偶函數(shù)其中正確的序號是【答案】6已知函數(shù)fx 滿意fx2fx ,如

25、f12,f7a1,就實數(shù) a 的取值范疇是32aA1,3 , 1 2B,12,13,C3 2D2考向七 函數(shù)性質的綜合應用 函數(shù)的三個性質：單調性、奇偶性和周期性,在高考中一般不會單獨命題,而是常將它們綜合在一起考查,其中單調性與奇偶性結合、周期性與抽象函數(shù)相結合,并結合奇偶性求函數(shù)值,多以挑選題、填空題的形 式出現(xiàn),且主要有以下幾種命題角度：（1）函數(shù)的單調性與奇偶性相結合,留意函數(shù)的單調性及奇偶性的定義,以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性（2）周期性與奇偶性相結合,此類問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進行交換,將所求函數(shù)值 的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解（3）周期性、奇偶性與單

26、調性相結合,解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間,然后利用 奇偶性和單調性求解 . 15 典例 12 已知定義在 R 上的奇函數(shù)f x 滿意f x4f x ,且在區(qū)間 0 2, 上是增函數(shù),就A f 25f11f80Bf80f11f 25f 25f80f11Cf11f80f 25D【答案】 D 7設f x 是, 上的奇函數(shù),f x2 fx ,當 0 x1時, fxx. （1）求 f 的值；（2）當4 x 4 時,求 f x 的圖象與 x 軸所圍成圖形的面積；（3）寫出 , 內(nèi)函數(shù) f x 的單調區(qū)間1以下函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間 0, 上單調遞增的是Ay1By1 g xfx 的單

27、調增區(qū)間是xCycosx Dyx22x2已知函數(shù)fx2x1,就函數(shù) yx2A ,B, 2C2,D, 2 和2,16 3已知 fx 滿意對xR ,fxfx0,且x0時,fxx em（ m為常數(shù)）,就fln5的值為A4 B-4 x,0 x 肯定是其零點的函數(shù)是C6 D-6 4如 fx 為奇函數(shù),且0 x 是yfxx e的一個零點,就以下函數(shù)中,Ayfxex1Byfxx e1g x均為偶函數(shù) ” 是“ h x 為Cyfxx e1 Dyfxx e15已知 fx,g x是定義在 R 上的函數(shù), h xfxg x ,就 “ f偶函數(shù) ” 的A充要條件B充分不必要條件f xx22 fxa2,且當x2 ,0時

28、,C必要不充分條件D既不充分也不必要條件6設 fx 是定義在R 上的偶函數(shù),對任意xR ,都有l(wèi)oga01恰有 3 個不同的實數(shù)fx1x1 .如在區(qū)間 2,6 內(nèi)關于x 的方程fx2根,就 a 的取值范疇是A1,2 f x 和定義在2x x0B2, g b 成立,就實數(shù) b 的取C1,3 4 D3 4 , 2 7定義在 R 上的奇函數(shù)上的偶函數(shù)g x 分別滿意x 21,0 x1,x x0,如存在實數(shù) a,使得f a f x 1 , xx1,g x log值范疇是A 2, 2B 2,11,2. 22C1,00,1D ,22,228函數(shù)f x xx1x2的最大值為 . a9函數(shù)f x xa x4為

29、偶函數(shù),就實數(shù)17 10已知函數(shù) fx是定義在 R 上的周期為2 的奇函數(shù),當0 x1 時,fx= 4x ,就 f5錯誤！未找到引用2源； + f1=. 11已知 fx 是定義在 R 上的偶函數(shù), 且在區(qū)間 （-,0）上單調遞增 .如實數(shù) a 滿意f2| a1|f2,就 a 的取值范疇是 . 12 已 知 f x 是 定 義 在 1,1 上 的 奇 函 數(shù) , 且 f 1 1, 如 a, b 1,1 , a b 0 時 , 有f a f 0 成立a b（1）試判定 f x 在 1,1 上的單調性,并證明；1 1（2）解不等式 f x f ；2 x 12（3）如 f x m 2 am 1 對全部

30、的 a 1 ,1 恒成立,求實數(shù) m 的取值范疇1（ 2022 浙江）如函數(shù) fx=x 2+ ax+b 在區(qū)間 0,1上的最大值是 M,最小值是 m,就 M mA與 a 有關,且與b 有關lnxB與 a 有關,但與b 無關C與 a 無關,且與b 無關D與 a 無關,但與b 有關2（ 2022 新課標全國文科）函數(shù)f x 22x8的單調遞增區(qū)間是A, 2B,11 3x,就f C1,D4,3（ 2022 北京文科）已知函數(shù)f x 3xA 是偶函數(shù),且在R 上是增函數(shù)B是奇函數(shù),且在R 上是增函數(shù)18 C是偶函數(shù),且在R 上是減函數(shù)D是奇函數(shù),且在R 上是減函數(shù)f20.8,4（ 2022 天津文科）

31、已知奇函數(shù)f x 在 R 上是增函數(shù)如aflog21,bflog24.1,c5就錯誤！未找到引用源；,錯誤！未找到引用源；,錯誤！未找到引用源；的大小關系為2x 3x , 2A abcB bacC cbaD cab5（ 2022 新課標全國文科）已知函數(shù)f x lnxln2x ,就Af x 在（ 0,2）單調遞增Bf x 在（ 0,2）單調遞減Cy=f x 的圖像關于直線x=1 對稱D y=f x 的圖像關于點（1,0）對稱6（2022 新課標全國文科）已知函數(shù)f x 是定義在 R 上的奇函數(shù), 當x,0時,f x 就f2. 6x,就7（ 2022 山東文科）已知fx是定義在 R 上的偶函數(shù)

32、,且 fx+4= fx-2.如當x 3,0時,f x f919=_8（ 2022 北京文科）已知x0,y0,且 x+y=1,就2 x2 y 的取值范疇是 _9（ 2022 浙江）已知af x |x4a|a在區(qū)間 1,4 上的最大值是5,就 a 的取值范疇是R,函數(shù)x_19 變式拓展1【答案】 C 【解析】充分性：當 a 0 時,x 0,就 f x | ax 1 | ax 2x 為開口向上的二次函數(shù),且對稱1軸為 x 0,故在區(qū)間 0, 上為增函數(shù)；當 a0 時, fxx 在區(qū)間 0, 上為增函數(shù)2 a必要性：當 a 0 時,f 1 0,f00,由 fx在0, 上為增函數(shù)知,1 0,即 a 0；

33、當 a0a a時, fxx 在區(qū)間 0, 上為增函數(shù),故 a 0 . 綜上可知, “a 0” 是“函數(shù) f x | ax 1 | x 在區(qū)間 0, 內(nèi)單調遞增 ” 的充分必要條件 .應選 C. 2【答案】3, 2【解析】設 t x 2ax a 5,就 y log 3 t ,由于 f x 在區(qū)間 ,1 上是單調遞減函數(shù),所以函數(shù)t x 2ax a 5 在區(qū)間 ,1 上是單調遞減函數(shù),且 t 0,所以 a2 1,解得 a 2,1 a a 5 0 a 3所以實數(shù) a 的取值范疇是 3, 2 3【答案】 1 4【答案】 A 【解析】 函數(shù)fx2 xsinx 的定義域為 R ,關于原點對稱, 由于f11

34、sin1,f11sin1,所以函數(shù)fx2 xsinx 既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)；函數(shù)fxx2cosx的定義域為 R ,關于原點對稱,由于20 fxxx2cosxx2cosxfx ,所以函數(shù)ffx2 xxcosx是偶函數(shù)；x ,所以函數(shù)f2x1的定義域為 R ,關于原點對稱,由于1x12xfx22x22x函數(shù)fx2x1是偶函數(shù)；fxxsin 2x是奇函數(shù)應選A2x函數(shù)fxxsin 2x的定義域為R,關于原點對稱,由于fxxsin2xxsin 2 xfx ,所以函數(shù)5【答案】 B 6【答案】 C 【解析】由于函數(shù)fx 滿意fx2fx ,所以 4 是函數(shù) fx 的一個周期,所以f7f12,12,解

35、得1a3,由于f7a1,所以a32 a32a2所以實數(shù) a的取值范疇是1,3,應選 C2【名師點睛】利用周期性（對稱性）求參數(shù)的取值范疇,一般是將含有參數(shù)的函數(shù)值利用周期性（對稱性）轉化為已知的函數(shù)值,再利用已知條件得出參數(shù)的不等式,解出參數(shù)的取值范疇學f*科網(wǎng)7【解析】（ 1）由f x2 fx ,得f x4 fx2 2 f x2 x , fx 是以4 為周期的周期函數(shù),ff1 4 f4 f 4 4 4. 2ff x1 f x1 , 即（ 2 ） 由 fx是 奇 函 數(shù) 與f x2 fx, 得fx1 x 的圖象如下列圖：f 1xf 1x從而可知函數(shù)yfx 的圖象關于直線x1對稱又當 0 x1時

36、, fxx ,且 fx 的圖象關于原點成中心對稱,就21 設當4x4時, fx 的圖象與 x 軸圍成的圖形面積為S,4 k1,4k3kZ 就S4SOAB,單調遞減區(qū)間為41214. 2（3）函數(shù) fx 的單調遞增區(qū)間為4k1,4k1kZ考點沖關1【答案】 B 2【答案】 D 【 解 析 】 由1x20得x2, 所 以 函 數(shù) fx的 定 義 域 是,22 , 因 為fx2x22x3,所以函數(shù) fx 在, 2 和2,上是增函數(shù), 所以函數(shù) yfx 的x2單調增區(qū)間是, 2 和2,應選 D3【答案】 B 【解析】由題意知fx 滿意對xR ,fxfx0,即函數(shù)fx 為奇函數(shù),由奇函數(shù)的性質可得f00

37、 e1,就當m0,mx0fxx e1,時,eln51ln 50 ,fln 5fln 54,選 B. 4【答案】 B 【 解 析 】 由 題 意 可 得fx 0e x 00, 所 以fxex0的 一 個 根 為0 x , 方 程 可 變 形 為22 fxx e10,又由于 fx 為奇函數(shù), 所以fxx e10,即fxx e1 0有一個零點為x .選 B. 5【答案】 B 因此, “ fx,g x均為偶函數(shù) ” 是“ h x 為偶函數(shù) ”的充分不必要條件,應選B. 6【答案】 D 【解析】對任意 xfx 是定義在 R 上的偶函數(shù),fx 的圖象關于y 軸對稱R ,都有f x2 fx2, fx 是周期

38、函數(shù),且周期為4. 當x2,0時,fx1x1, fx 在區(qū)間 2,6 內(nèi)的圖象如下列圖：2在區(qū)間 2,6 內(nèi)關于x 的方程fxlogax2 0a1恰有3 個不同的實數(shù)根可轉化為函數(shù)fx 的圖象與ylogax2 的圖象有且只有三個不同的交點,解得 a3 4 ,2. 就log 223log 623故 a 的取值范疇是 3 4 ,2. 7【答案】 B 23 x2 1,0 x 1,【解析】f x 1 , x 1,當 0 x 1 時, 2 x 1 0,1,當 x 1 時,1x 0,1,即 x 0 x時,f x 的值域為 0,1 .f x 是定義在 R 上的奇函數(shù),x 0 時 f x 的值域為 1,0 .

39、在 R 上的函數(shù) f x 的值域為 1,1定義在 x x 0 上的偶函數(shù) g x ,x 0 時 g x log 2 x ,g x log 2 x x 0 . 存在實數(shù) a,使得 f a g b 成立,令 1 g b 1,即 1 log 2 b 1,即1 b 2,21 b 2 或 2 b 1應選 B2 28【答案】 2 【解析】f x 1x11112,即最大值為2. 9【答案】 4 【解析】函數(shù) fx 為偶函數(shù) , f1f1,即 1a141a1 4,解得a4. 10【答案】 -211【答案】1 3 ,2 2【解析】由題意知f x 在 0, 上單調遞減,又f x 是偶函數(shù),就不等式f2a1f2可化

40、為f2a1f2,就2a12,a11,解得1 2a322x 1x2.12【解析】（ 1）任取x x 21, 1,且x 1x ,就x 21, 1 fx 為奇函數(shù),fx 1fx2fx 1fx2fx 1f2x 2x 1x由已知得fx 1f2x 20,x 1x 0,fx 1fx20,即fx 1fx 2,x 1x fx 在 1,1 上單調遞增24 x1x1111. 2（2） fx 在 1,1 上單調遞增,1x11,解得3x221x111. 不等式f x1fx11的解集為x|3x1. 221,1 上,fx（3）f11, fx 在 1,1 上單調遞增,在就問題轉化為m22am11,即2 m2am0對a1 ,1

41、 恒成立下面來求 m 的取值范疇設g a2 ma2 m0. a1 ,1 恒成立,必需g1 0,且g10,如 m0,就g a00,對a1 ,1 恒成立如 m 0,就 g a 為關于 a 的一次函數(shù),如g a0對m2或m2. m 的取值范疇是m0 或m2或m2. 直通高考1【答案】 B 【解析】由于最值在f0b f1 1ab faba2中取,所以最值之差肯定與b 無關,選 B24【名師點睛】 對于二次函數(shù)的最值或值域問題,通常先判定函數(shù)圖象對稱軸與所給自變量閉區(qū)間的關系,結合圖象,當函數(shù)圖象開口向上時,如對稱軸在區(qū)間的左邊,就函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調遞增；如對稱軸在區(qū)間的右邊, 就函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調

42、遞減；如對稱軸在區(qū)間內(nèi),就函數(shù)圖象頂點的縱坐標為最小值,區(qū)間端點距離對稱軸較遠的一端取得函數(shù)的最大值2【答案】 D 【名師點睛】求函數(shù)單調區(qū)間的常用方法：1定義法和導數(shù)法,通過解相應不等式得單調區(qū)間；2圖象法,由圖象確定函數(shù)的單調區(qū)間需留意兩點：一是單調區(qū)間必需是函數(shù)定義域的子集：二是圖象不連續(xù)25 的單調區(qū)間要分開寫,用. “和” 或“ ,”連接,不能用“ ”連接； 3利用復合函數(shù) “ 同增異減 ” 的原就,此時需先確定函數(shù)的單調性3【答案】 B x x【解析】f x 3 x 1 13 xf x,所以該函數(shù)是奇函數(shù),并且 y 3 x是增函數(shù),3 3xy 1 是減函數(shù),依據(jù)增函數(shù)- 減函數(shù) =增函數(shù),可知該函數(shù)是增函數(shù),應選 B. 3【名師點睛】此題屬于基礎題型,依