初三概率知識點歸納總結(jié)及題型總結(jié)歸納

1、概率學(xué)問點總結(jié)及題型匯總 一,確定大事：包括 必定大事 和不行能大事 1,在確定條件下必定要發(fā)生的大事,叫做必定大事；必定大事是指確定能發(fā)生的大事, 或者說發(fā)生的可能性是 100%；如：從一包紅球中,任憑取出一個球, 確定是紅球； 2,在確定條件下不行能發(fā)生的大事,叫做不行能大事；不行能大事是指確定不能發(fā)生 的大事,或者說發(fā)生的可能性是 0,如：太陽從西邊出來；這是不行能大事； 3,必定大事的概率為 1,不行能大事的概率為 0二,隨機大事 在確定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的大事,叫做隨機大事； 一般地,隨機大事發(fā)生的可能性是有大小的,不同的隨機大事發(fā)生的可能性的大小有可能 不同 一個隨機大事發(fā)

2、生的可能性的大小用概率來表示； 三,例題：指出以下大事中,哪些是必定大事,哪些是隨機大事,哪些是不行能大事, 哪些是確定大事？ 一個玻璃杯從一座高樓的第 10 層樓落到水泥地面上會摔破； 明天太陽從西方升起； 擲一枚硬幣,正面朝上； 某人買彩票,連續(xù)兩次中獎； 今日天氣不好,飛機會晚些到達(dá) 解：必定大事是； 隨機大事是； 不行能大事是 確定大事是 三,概率 1,一般地,對于一個隨機大事 A ,把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值,稱為隨機大事 A 發(fā)生的概率,記為 PA （1）一個大事在多次試驗中發(fā)生的可能性,反映這個可能性大小的數(shù)值叫做這個大事 發(fā)生的概率； （2）概率指的是大事發(fā)生的可能性大小的的

3、一個數(shù)值； 2,概率的求法：一般地,假如在一次試驗中,有 n 種可能的結(jié)果,并且它們發(fā)生的可 能性都相等,大事 A 包含其中的 m 種結(jié)果,那么大事 A 發(fā)生的概率為 PA = m n（1）一般地,全部情形的總概率之和為 多個 . 1； （2）在一次試驗中 ,可能顯現(xiàn)的結(jié)果有限 （3）在一次試驗中 ,各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等 . （4）概率從數(shù)量上刻畫了一個隨機大事發(fā)生的可能性的大小,大事發(fā)生的可能性越大, 就它的概率越接近 1；反之,大事發(fā)生的可能性越小,就它的概率越接近 0； （5）一個大事的概率取值： 0P（A ） 1 當(dāng)這個大事為必定大事時,必定大事的概率為 1,即 P（必定大事） 1

4、 不行能大事的概率為 0,即 P（不行能大事） 0 隨機大事的概率：假如 A 為隨機大事,就 0 P（A） 1 第 1 頁,共 25 頁（6）可能性與概率的關(guān)系 大事發(fā)生的可能性越大,它的概率越接近于 接近 0 3,求概率的步驟： 1列舉出一次試驗中的全部結(jié)果 n 個； 2找出其中大事 A 發(fā)生的結(jié)果 m 個； 1,大事發(fā)生的可能性越小,就它的概率越 3運用公式求大事 A 的概率： PA = m n5,在求概率時,確定要是發(fā)生的可能性是相等的,即等可能性大事 等可能性大事的兩種特點： （1）顯現(xiàn)的結(jié)果有限多個 ; （ 2）各結(jié)果發(fā)生的可能性相等； 例 1：圖 1 指針在轉(zhuǎn)動過程中,轉(zhuǎn)到各區(qū)域的

5、可能性相等,圖 3 中的第一個圖, 指針 在轉(zhuǎn)動過程中,轉(zhuǎn)到各區(qū)域的可能性不相等, 由上圖可知,在求概率時,確定是顯現(xiàn)的可能性相等,反映到圖上來說,確定是等分 的； 例 2,以下大事哪些是等可能性大事？哪些不是？ （1）拋擲一枚圖釘,釘尖朝上或釘帽朝上或橫臥；不是 （2）某運動員射擊一次中靶心或不中靶心；不是 第 2 頁,共 25 頁（3）從分別寫有 1,3,5,7 中的一個數(shù)的四張卡片中任抽一張結(jié)果是 1,或 3 或 5 或 7；是 6,求概率的通用方法： 在一次試驗中,假如可能顯現(xiàn)的結(jié)果只有有限個,且各種結(jié)果顯現(xiàn)的可能性大小相等, 那么我們可以通過列舉試驗結(jié)果的方法,求出隨機大事發(fā)生的概率

6、,這種求概率的方法叫 列舉法 列舉法包括枚舉法,列表法,樹狀圖法 （1）枚舉法（列舉法）：通常在一次大事中可能發(fā)生的結(jié)果比較少時,我們可以把所 有可能產(chǎn)生的結(jié)果全部列舉出來,并且各種結(jié)果顯現(xiàn)的可能性相等時使用；等可能性大事 的概率可以用列舉法而求得；但是我們可以通過用列表法和樹形圖法來幫忙枚舉法； （2）列表法：當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素（例如擲兩個骰子）,并且可能顯現(xiàn)的結(jié)果 數(shù)目較多時,為不重不漏地列出全部可能的結(jié)果時使用； （3）列樹形圖法：當(dāng)一個試驗要涉及 3 個或更多的因素（例如從 3 個口袋中取球）時, 列表就不便利了,為不重不漏地列出全部可能的結(jié)果時使用； 四,頻率與概率 1,頻數(shù)：

7、在多次試驗中,某個大事顯現(xiàn)的次數(shù)叫頻數(shù) 2,頻率：某個大事顯現(xiàn)的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比,叫做這個大事顯現(xiàn)的頻率 3,一般地,在 大量重復(fù)試驗中 ,假如大事 A 發(fā)生的頻率 m會穩(wěn)固在某個常數(shù) p 附 n近 ,那么,這個常數(shù) p 就叫作大事 A 的概率 ,記為 P（A）=P ； 五,概率公式中 m, n 之間的數(shù)量關(guān)系, P（A ）的取值范疇； 在概率公式 0 mn, PA = m 中 m,n 取何值, m,n 之間的數(shù)量關(guān)系, P（A ）的取值范疇； nm,n 為自然數(shù) 1, 0PA 1. 0 m n當(dāng) m=n 時,A 為必定大事,概率 PA=1, 當(dāng) m=0 時,A 為不行能大事,概率 PA=

8、0. 0PA 1 六,幾何概率 1,假如每個大事發(fā)生的概率只與構(gòu)成該大事區(qū)域的長度（面積或體積）成比例,就稱 這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型； 第 3 頁,共 25 頁（1）幾何概型的特點 : 等. 1試驗中全部可能顯現(xiàn)的結(jié)果 基本事件 有無限多個 . 2每個基本事件顯現(xiàn)的可能性相 （2）在幾何概型中 ,大事 A 的概率的運算公式如下 : 七,例題匯總 （一） 確定三大事 例 1 以下大事中,哪些是不行能大事？哪些是必定大事？哪些是不確定大事？哪些 是確定大事？,分析其發(fā)生概率的大小 （1）拋擲一枚均勻的骰子, 6 點朝上； （2）367 人中有 2 人的產(chǎn)生日期相同； （3）1

9、+3 2； （4）太陽從西邊升起 解析：依據(jù)大事發(fā)生的可能性大小判定相應(yīng)大事的類型即可（ 1）拋擲一枚均勻的骰 子, 1,2,3,4,5, 6 點都有可能朝上,故 6 點不愿定朝上；（ 2）一年有 365（或 366） 天,故 367 人中必定有 2 人的產(chǎn)生日期相同；（ 邊升起由以上分析知： 3）1+3 確定大于 2；（ 4）太陽不行能從西 （1）是不確定大事, （ 2）（ 3）是必定大事, （4）是不行能大事 （2）（ 3）（ 4）是確定大事 發(fā)生概率的大小判定,第一需要懂得必定大事,不行能大事,不確定大事的意義必 然大事是指確定會發(fā)生的大事,發(fā)生的概率是 1；不行能大事是指不行能發(fā)生的大

10、事,發(fā)生 的概率是 0；不確定大事是指可能發(fā)生也可能不發(fā)生的大事,發(fā)生的概率介于 0 和 1 之間 例 2,以下大事屬于必定大事的是（ ） A.打開電視,正在播放新聞 C.實數(shù) a0,就 2a0 B.我們班的同學(xué)將會有人成為航天員 D.新疆的冬天不下雪 解析： A 是隨機大事,由于可能是播新聞也可能是其它電視節(jié)目； B 為隨機大事,一 PA 個班有幾十個同學(xué)當(dāng)然事有事可A事員； 下雪應(yīng)選事事 事事事事事事事事 能事事 成事為事航事 天事 D是不行能 事事事事事事 面件積,或因體為積（面積或體積） 新疆氣溫低,每年都會 C 例 3,（福建龍巖）以下大事：在足球賽中,弱隊?wèi)?zhàn)勝強隊；拋擲一枚硬幣,落

11、地 后正面朝上；任取兩個正整數(shù),其和大于 1；長分別為 3,5,9 厘米的三條線段能圍成 一個三角形其中確定大事的個數(shù)是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4B 解析：是確定大事 （二）概率意義的懂得 例 1, 某商場舉辦購物有獎活動,在商場購滿價值 50 元的商品可抽獎一次,麗麗在商 場購物共花費 120 元,按規(guī)定抽了兩張獎券,結(jié)果其中一張中了獎,能不能說商場的抽獎活動 中獎率為 50%？為什么？ 第 4 頁,共 25 頁解析： 由于中獎是不確定大事,而運算中獎率應(yīng)當(dāng)是以中獎的獎券數(shù)除以獎券的總數(shù),但 這些數(shù)據(jù)在此題中沒有給出,所以不能運算出這次抽獎活動的中獎率,所以不能說商場的抽獎 活動

12、中獎率為 50%. 點評：概率是在做大量重復(fù)試驗時,隨著試驗次數(shù)的增加,一個大事顯現(xiàn)的頻率,總在一 個固定常數(shù)的鄰近搖擺,顯示確定的穩(wěn)固性,它是大量試驗的結(jié)論隨機大事每次發(fā)生的結(jié)果 是不行以預(yù)見的,但每次發(fā)生的概率是不變的 例 2,以下說法正確選項 （ ） A. 某市 “明天降雨的概率是 75 ”,表示明天有 75的時間會降雨 B.隨機拋擲一枚均勻的硬幣,落地后正面確定朝上 1 C.在一次抽獎活動中, “中獎的概率是 100”表示抽獎 l00次就確定會中獎 D.在平面內(nèi),平行四邊形的兩條對角線確定相交 解析：明天降雨的概率是 75是說明明天有 75%的可能性會降雨,而不是說明天有 75%的 時

13、間在下雨；拋一枚硬幣正面朝上的概率是 ,說的是在做大量的拋一枚硬幣的試驗中,有一 半的可能性顯現(xiàn)正面朝上,而隨機拋一格硬幣落地后正面不愿定朝上；抽獎活動中,中獎的概 率為 1,指的是每抽獎一次都有 100 1 的可能性中獎；故 A,B,C 都錯,因而選 D. 100 （三） 利用簡潔枚舉法求概率 例 1 某小商店開展購物摸獎活動,聲明：購物時每消費 2 元可獲得一次摸獎機會,每次摸 獎時,購物者從標(biāo)有數(shù)字 1, 2, 3, 4, 5 的 5 個小球（小球之間只有號碼不同,其他均相同） 中摸出一球,如號碼是 2 就中獎,獎品為一張精致圖片 （1）摸獎一次得到一張精致圖片的概率是多少？ （2）一次

14、,小聰購買了 10 元錢的物品,前 4 次摸獎都沒有摸中,他想： “第 5次摸獎我一 定能摸中 ”,你同意他的想法嗎？說說你的想法 解析： （1）每次摸獎時,有 5 種情形,只有摸到號碼是 2 的球才中獎,于是得到一張精致 1 圖片的概率是 P=5； 1（2）不同意,由于小聰?shù)?5 次得到一張精致圖片的概率仍是 5,所以他第 5 次不愿定中 獎 第 5 頁,共 25 頁點評：此題考查概率的求法：假如一個試驗有 mn 種等可能的結(jié)果,大事 A 包含其中的 m 種 結(jié)果,那么大事 A 的概率 P（A ）= n,解題時留意對概率意義的懂得 . 例 2,任憑地拋一粒豆子,恰好落在圖中的方格中（每個方格

15、除顏色外完全一樣）,那么 這粒豆子停在黑色方格中的概率是 解析： 1,這粒豆子落在每一個方格中的可能性是一樣的,因此這粒豆子停在方格中的可能 性共有 12 種,黑色方格的可能性有四種,所以黑色方格中的概率等于 411, 12 32,黑色方格中的概率等于黑色方格的面積與全部方格的面積比設(shè)每個方格的面積是 就 P（這粒豆子停在黑色方格） = 4 12 1 3 點評： 概率的大小與面積大小有關(guān) . 大事發(fā)生的概率等于此大事全部可能結(jié)果所組成的圖形 面積除以全部可能結(jié)果組成的圖形面積 例 3 ,擲兩枚硬幣,求以下大事的概率 （1）兩枚硬幣正面全部朝上；（ 2）兩枚硬幣反面全部朝上 （ 3）一枚硬幣正面

16、朝上,一枚硬幣反面朝上； 解：用枚舉法（列舉法）列出可能的結(jié)果是：正正,正反,反正,反反；全部結(jié)果共有 4種；并且這四個結(jié)果顯現(xiàn)的可能性相等； 用列表法：解 :其中一枚硬幣為 A, 另一枚硬幣為 B, 就全部可能結(jié)果如表所示 : 正 反 正 正,正 正,反 反 反,正 反,反 （ 1）全部的結(jié)果中,中意兩枚硬幣全部正面朝上（記為大事 正”所以 P（A ）=1/4 （ 2）全部的結(jié)果中,中意兩枚硬幣全部反面朝上（記為大事 反”所以 P（B）=1/4 A）的結(jié)果只有一個,即 “ 正 B）的結(jié)果只有一個,即 “ 反 第 6 頁,共 25 頁（ 3）全部的結(jié)果中,中意一枚硬幣正面朝上,一枚硬幣反面朝上

17、（記為大事 C）的結(jié)果共 有 2 個,即 “正反 ”“ 反正 ”所以 P（C） =2/4=1/2 例 4,一口袋中裝有四根長度分別為 1cm,3cm, 4cm 和 5cm 的細(xì)木棒,小明手中有一根 長度為 3cm 的細(xì)木棒,現(xiàn)隨機從袋內(nèi)取出兩根細(xì)木棒與小明手中的細(xì)木棒放在一起,回答以下 問題： （1）求這三根細(xì)木棒能構(gòu)成三角形的概率； （2）求這三根細(xì)木棒能構(gòu)成直角三角形的概率； （3）求這三根細(xì)木棒能構(gòu)成等腰三角形的概率 解析：從四根木棒中任選兩根,共有以下六種情形：（ 1,3）,（ 1, 4）,（ 1,5）, （3,4）,（ 3,5）,（ 4,5）,其中與 3cm 長的線段構(gòu)成三角形的有（

18、 1,3,3）, （3,3,4）,（ 3, 3, 5）,（ 3,4,5）四種；構(gòu)成直角三角形的有（ 3,4,5）一種；構(gòu)成 1 3等腰三角形的有（ 1,3,3）,（ 3,3,4）,（ 3,3,5）三種,所以有： 24 2 1（1）P（構(gòu)成三角形） = 6 3 ； （2）P（構(gòu)成直角三角形） = 6 ； 3 1（3）P（構(gòu)成等腰三角形） = 6 2 （四） 列表法求概率 當(dāng)試驗涉及兩個因素 例如兩個轉(zhuǎn)盤 并且可能顯現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時,為不重不漏地列出 全部的結(jié)果,通常接受 “列表法 ”； 例 1,如圖 ,袋中裝有兩個完全相同的球 ,分別標(biāo)有數(shù)字 “1”和“2”.小明設(shè)計了一個玩耍 : 玩耍者每次

19、從袋中隨機摸出一個球 ,并自由轉(zhuǎn)動圖中的轉(zhuǎn)盤 轉(zhuǎn)盤被分成相等的三個扇形 .玩耍規(guī) 就是 :假如所摸球上的數(shù)字與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和為 解:每次玩耍時 ,全部可能顯現(xiàn)的結(jié)果如下 : 1232,那么玩耍者獲勝 .求玩耍者獲勝的概率 . 1（1,1） （1, 2） （ 1, 3） 2（2, 1） （2, 2） （ 2, 3） 總共有 6 種結(jié)果 ,每種結(jié)果顯現(xiàn)的可能性相同 ,而所摸球上的數(shù)字與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和為 2 的結(jié)果只有一種 :1,1,因此玩耍者獲勝的概率為 1/6. 例 2,如圖,甲轉(zhuǎn)盤的三個等分區(qū)域分別寫有數(shù)字 1,2,3,乙轉(zhuǎn)盤的四個等分區(qū)域分別 第 7 頁,共 25 頁寫有數(shù)字 4,

20、5, 6, 7；現(xiàn)分別轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤,求指針?biāo)笖?shù)字之和為偶數(shù)的概率； 解：列表 4567乙 451（1,4 （1,5 （1,6） （1,7） 12） ） 甲 3762（2,4 （2,5 （2,6） （2,7） 6】 種 ） ） 3（3,4 （3,5 （3,6） （3,7） ） ） 共有 12 種不同結(jié)果,每種結(jié)果顯現(xiàn)的可能性相同,其中數(shù)字和為偶數(shù)的有【 P（數(shù)字和為偶數(shù)） =6/12=1/2 例 3,例,同時擲兩個質(zhì)地均勻的骰子 ,運算以下大事的概率 : 1兩個骰子的點數(shù)相同 2兩個骰子點數(shù)之和是 9 3至少有一個骰子的點數(shù)為 2 分析：當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素（例如擲兩個骰子）并且可能顯現(xiàn)的

21、結(jié)果數(shù)目較多時, 為不重不漏地列出全部可能結(jié)果,通常接受列表法； 解: 兩枚骰子分別記為第 1 枚和第 2 枚.列出全部可能的結(jié)果： 11234561,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 21,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 31,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 41,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 51,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 61,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 由表可看出,同時投擲兩個骰子,可能顯現(xiàn)的結(jié)果有 36 種,它們顯現(xiàn)的可能性相等； （1）中意兩個骰子點數(shù)相同（記為大事 A）的結(jié)果有 6 種, PA=6/

22、36=1/6 2 中意兩個骰子點數(shù)和為 9（記為大事 B）的結(jié)果有 4 種, PB=4/36=1/9 3 中意至少有一個骰子的點數(shù)為 2（記為大事 C）的結(jié)果有 11 種, PC=11/36 第 8 頁,共 25 頁摸索題：假如把剛剛這個例題中的 “同時擲兩個骰子 ” 改為“ 把一個骰子擲兩次 ”,所得 的結(jié)果有變化嗎 . 沒有變化 （五）樹形圖法求概率 當(dāng)一個試驗要涉及 3 個或更多的因素（例如從 3 個口袋中取球）時,列表就不便利了, 為不重不漏地列出全部可能的結(jié)果時使用； 1,現(xiàn) 有一項 “抖空竹 ”的表演已知有塑料,木質(zhì)兩種空竹,甲,乙,丙三名 同學(xué)各 自隨機選用其中的一種 空竹求甲,

23、乙,丙三名同學(xué)恰好選擇同一種 空竹的 概率 解：甲,乙,丙三名同學(xué)恰好選擇同一種 空竹為大事 M 塑料 A 木質(zhì)B 方法 1： 方法 2： A B AAA ,AAB , ABA ,ABB , BAA ,BAB , BBA , BBB. A B A B A B A B A B A B P M 2 1 P M 2 1 8 4 8 42,甲,乙,丙三個盒中分別裝有大小,形狀相同的卡片如干,甲盒中裝有 2 張卡片, 分別寫有字母 A 和 B；乙盒中裝 3 張卡片,分別寫有字母 C,D 和 E；丙盒中裝有 2 張卡 片,分別寫有字母 H 和 I ；現(xiàn)要（ 1）取出的 3 張卡片中恰好有 從 3 個盒中各

24、隨機取出一張卡片求 1 個, 2 個, 3 個寫有元音字母的概率各是多少？ （ 2）取出的 3 張卡片上全是輔音字母的概率是多少？ A B CD E HI 甲盒 乙盒 丙盒 解：依據(jù)題意,我們可以畫出如下 “樹形圖 ”： 甲 HCI HA I HE I HCI HB I HE I 乙 DD丙 由樹形圖可以得到,全部可能顯現(xiàn)的結(jié)果有 12 個,這些結(jié)果顯現(xiàn)的可能性相等 （ 1）只有一個元音字母的結(jié)果有 5 個,所以 P 一一一一 5 12 ； 有兩個元音字母的結(jié)果有 4 個,所以 P 一 一一一 4 12 1 ； 3第 9 頁,共 25 頁全部為元音字母的結(jié)果有 1 個,所以 P 一 一一一 2

25、1 ； 612 （ 2）全是輔音字母的結(jié)果有 2 個,所以 P 一一 一 一 21 612 3,小穎為學(xué)校聯(lián)歡會設(shè)計了一個 “配紫色 ”的玩耍：圖 1 是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤, 每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形；玩耍者同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤,假如轉(zhuǎn)盤 A 轉(zhuǎn)出了紅色, 轉(zhuǎn)盤 B 轉(zhuǎn)出了藍(lán)色,那么他就贏了,由于紅色和藍(lán)色在一起配成了紫色； （ 1）利用樹狀圖或列表的方法表示玩耍全部可能顯現(xiàn)的結(jié)果； （2）玩耍者獲勝的概率是多少？ 解析：（ 1）全部可能顯現(xiàn)的結(jié)果可用表 1 或圖 2 表示； 表 1 B 黃 藍(lán) 綠 A 紅 （紅,黃） （紅,藍(lán)） （紅,綠） 白 （白,黃） （白,藍(lán)） （白,綠） （

26、2）全部可能顯現(xiàn)的結(jié)果共有 6 種,配成紫色的結(jié)果只有 1 種,故玩耍獲勝的概率為 1 ； 6 這道題為兩步試驗的隨機大事發(fā)生的概率運算,接受的方法是樹狀圖法和列表法；接 下來仍然以 “配紫色 ”為主要情形進(jìn)行玩耍：,讓同學(xué)們進(jìn)一步經(jīng)受用樹狀圖法和列表法 解決概率問題的過程； 用圖 3 所示的轉(zhuǎn)盤進(jìn)行 “配紫色 ” 玩耍； 第 10 頁,共 25 頁小穎制作了圖 4,并據(jù)此求出玩耍者獲勝的概率為 1 ； 2小亮就先把左邊轉(zhuǎn)盤的紅色區(qū)域等分成 2 份,分別記作 “ 紅色 1”“ 紅色 2” ,然后制 作了表 2,據(jù)此求出玩耍者獲勝的概率也是 1 ； 2紅色 藍(lán)色 （紅 1,紅） （紅 1,藍(lán)）

27、紅色 1紅色 2（紅 2,紅） （紅 2,藍(lán)） 藍(lán)色 （藍(lán),紅） （藍(lán),藍(lán)） 你認(rèn)為誰做得對？說說你的理由； 解析：由于左邊的轉(zhuǎn)盤中紅色部分和藍(lán)色部分的面積不同,因而指針落在這兩個區(qū)域 的可能性不同,故小穎的做法不正確,而小亮的方法就是解決這一類問題的一種常用方法； 4,小明與父母從廣州乘火車回北京,他們買到的火車票是同一排相鄰的三 個座位,那么小明恰好坐在父母中間的概率是多少？ 解：為了便利起見,我們不妨設(shè)三個坐位號為 1, 2, 3；可以看出坐在 2號位上,就為中間位置；畫出樹狀圖如圖 4 或圖 5 或圖 6； 21開頭 131從圖中可以看出,不論小明第 開頭 幾個坐,全部的可能能是 6

28、種,而 父親 123母親 2小明坐 2 號位置的情形有 2 種（記 為大事 A）,所以小明恰好坐在父 母親 231312父親 31 3 2母中間的概率是 小明 323121小明 32312圖 6 P（ A） 21= 圖 5 63（六）概率與方程 第 11 頁,共 25 頁1,（ 2022 廣西防城港 23,8 分）一個不透亮的紙盒中裝有大小相同的黑,白兩種顏 色的圍棋,其中白色棋子 3 個（分別用白 A,白 B,白 C 表示）,如從中任意摸出一個棋 子,是白色棋子的概率為 3 （ 1）求紙盒中黑色棋子的個數(shù)； 4（2）第一次任意摸出一個棋子（不放回）,其次次再摸出一個棋子,請用樹狀圖或列 表的

29、方法,求兩次摸到相同顏色棋子的概率 解答： （1）3 3 1 34黑色棋子有 1 個 一一一 一 一 一 一 A 一 B 一 C 一 一 一 一 A A 一 BA 一 CA 一 一1 一 一 一 一 B B 一 A B 一 C 一 B 一一一 一 一 C C 一 AC 一 BC 一一一 一 一 （2） 一 一一 A一一 B 一 一一 C一 一 共 12種情形,有 6種情形兩次摸到相同顏色棋子,所以概率為 2另外,此題仍可以用樹狀圖解答如下： 一 一 一 一 一 一 一 A 一 B 一 C 一 一 一 一 一一 B 一 C 一 一 A 一 C 一 一 A 一 B 一 一 A 一 B 一 C 一

30、一 一 一 一 A 一 一 B 一一 一 A 一 一 C 一一 一 A 一 一 一一 一 B 一 一 一 一 B 一 一 C 一一 一 B一 一 一一 一 C 一 一 A一一 一 C 一 一 B 一 一 一 C 一 一 一 一 一 一 一 A 一 一 一 一 一 B 一一 一 一 一 C 一 由于由上面樹狀圖可知：共 12 種情形,有 6 種情形兩次摸到相同顏色棋子,所以概率 為 1 22,湘潭是我家,疼惜靠大家 ”自我市開展整治 “六亂 ”行動以來,我市同學(xué)更加自 覺遵守交通規(guī)章某校同學(xué)小明每天騎自行車上學(xué)時都要經(jīng)過一個十字路口,該十字路口 有紅,黃,綠三色交通信號燈,他在路口遇到紅燈的概率

31、為 ,遇到黃燈的概率為 ,那 么他遇到綠燈的概率為（ ） A B C D 解：遇到綠燈的概率為 1-1/3-1/9=5/9 【點評】全部情形的概率之和為 1,用 1 減去其它情形的概率就是遇到綠燈的概率； 第 12 頁,共 25 頁3,（ 2022.武威模擬）袋子里有 10 個紅球和如干個藍(lán)球,小明從袋子里有放回地任意 摸球,共摸 100 次,其中摸到紅球次數(shù)是 25 次,就袋子里藍(lán)球大約有（ ） 【解析】共摸 100 次,其中摸到紅球次數(shù)是 25 次,摸到紅球的概率為 = , 袋子里有 10 個紅球和如干個藍(lán)球,設(shè)籃球有 x 個,就 = , 解得： x=30,應(yīng)選 B 4,（ 2022 鐵嶺

32、） 將紅,黃,藍(lán)三種除顏色不同外,其余都相同的球,放在不透亮的紙 箱里,其中紅球 4 個,藍(lán)球 3 個,黃球如干個 .如每次只摸一球 摸出后放回 ,摸出紅球的 概率是 ,就黃球有 2個. 5解析 ：設(shè)黃球有 x 個,就摸出紅球的概率為 44x 2 ,解得 x3 535,（ 2022 湖南衡陽） 在不透亮的箱子里裝有紅,黃,藍(lán)三種顏色的卡片,這些卡片除 顏色外都相同,其中紅色卡片 2 張,黃色卡片 1 張,現(xiàn)從中任意抽出一張是紅色卡片的概 率為 1 . 2試求箱子里藍(lán)色卡片的張數(shù) . 第一次隨機抽取一張卡片 不放回 ,其次次再隨機抽取一張,請用畫樹狀圖或列表格 的方法,求兩次抽到的都是紅色卡片的

33、概率 . 1,就 1 222,解關(guān)于 x 的方程即可求出 x 分析 :（ 1）設(shè)箱子里藍(lán)色卡片的張數(shù)為 x 張,由 P紅色） 21箱子里藍(lán)色卡片的張數(shù) .（2）要留意題目中的條件,第一次抽取后不放回 . 解：（ 1）設(shè)箱子里有 x 張藍(lán)色卡片,就有 22x 1,解得： x=1. 12（2） 第一次抽卡片： 紅紅 2 黃 藍(lán) 1其次次抽卡片： 紅 2 黃 藍(lán) 紅 黃 藍(lán) 紅 1 紅 2 藍(lán) 紅 1 紅 黃 從樹狀圖圖可知,一共有 12 種結(jié)果,兩次抽到的都是紅色的有兩種 2 （兩次抽到都是紅色卡片） 2 1 12 66,（ 2022 湖北隨州） 甲,乙兩同學(xué)投擲一枚骰子,用字母 p, q 分別表

34、示兩人各投擲 一次的點數(shù) .（ 1）求中意關(guān)于 x 的方程 x 2 px q 0 有實數(shù)解的概率 . （ 2）求（ 1）中方程有兩個相同實數(shù)解的概率 . 2分析 :通過列表或畫樹狀圖,可以求出 p,q 的各種可能的取值；方程 x px q 0 有實數(shù) 解的條件是判別式 p 2 4q0；方程 x 2 px q p2 4q 0. 解:通過列表或畫樹狀圖可得,兩人投擲骰子后 足 p 2 4q0的有 pq 1 2, 0 有兩個相同實數(shù)解的條件是判別式 p,q 的取值共有 36 種等可能情形,其中滿 第 13 頁,共 25 頁p 3, p 4, p 5, p 6, p 3, p 4, p 5, p 6,

35、 p 4, p 5, p 6, q 1 q 1 q 1 q 1 q 2 q 2 q 2 q 2 q 3 q 3 q 3p 4, p 5, p 6, p 5, p 6, p 5, p 6以上 19 種情形,方程 q 4 q 4 q 4 q 5 q 5 q 6 q 6x 2 px q 0 有實數(shù)解的概率為 19 ；其中中意 36 p 24q 0 的有 pq 1 2, q p4 4以上 2 種情形,方 程 x 2px q 0 有兩個相同實數(shù)解的概率為 2 1 . 36 18 7, （ 2022 茂名）已知一只紙箱中裝有除顏色外完全相同的紅色,黃色,藍(lán)色乒乓球共 100 個從 紙箱中任意摸出一球,摸到

36、紅色球,黃色球的概率分別是 , （ 1）試求出紙箱中藍(lán)色球的個數(shù)； （ 2）假設(shè)向紙箱中再放進(jìn)紅色球 x 個,這時從紙箱中任意取出一個球是紅色球的概率為 ,試求 x 的 值 解： 1 由已知得紙箱中藍(lán)色球的個數(shù)為： 100 1 0.3 50 （個） 2 方法一：依據(jù)題意得： 20 x ,解得： x 60 （個） 100 x 方法二：由已知得紅色球 20 個,黃色球 30 個,藍(lán)色球 50 個,為使任意取出一個球是紅色球的概率為 ,所以紙箱中紅色球的個數(shù)等于黃色球與藍(lán)色球個數(shù)之和,得： x+20=30+50 ,解得： x 60 （個） （七）幾何概率 1,在一次促銷活動中,某商場為了吸引顧客,設(shè)

37、立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤（如以下圖, 轉(zhuǎn)盤被平均分成 16 份）,并規(guī)定：顧客每購買 100 元的商品,就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機 會,假如轉(zhuǎn)盤停止后,指針正好對準(zhǔn)紅色,黃色,綠色 區(qū)域,那么顧客就可以分別獲得 50 元, 30 元, 20 元的購物券,憑購物券可以在該商場連續(xù)購物,假如顧客不愿意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤,那 么可以直接獲得購物券 10 元； （ 1）求每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲 50 元購物券的概率（ 2）求每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲 30 元購物券 的概率 （ 3）求每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲 20 元購物券的概率（ 4）求每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券的概率 （ 5）求每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤不獲購物券的概率 數(shù)； （ 6）求每

38、轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均 （ 7）假如你在該商場消費 125 元,你會選擇轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤仍是直接獲得購物券？說明理由； 第 14 頁,共 25 頁解： 1每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲 50 元購物券的概率為： 1/16 （ 2）每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲 30 元購物券的概率為： 2/16=1/8 （ 3）每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲 20 元購物券的概率為： 4/16=1/4 （ 4）每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券的概率： （ 5）每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤不獲購物券的概率： 1/16+2/16+4/16=7/16 1-7/16=9/16或者是空白區(qū)域除以 16） （ 6） 50 +30 +20 =11.875 （元）； （ 7） 7元

39、510 元, 選擇轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤； 2 , 某商場為了吸引顧客,設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤（如圖 9 所示）,并規(guī)定：顧客每購買 100 元的商品,可轉(zhuǎn)動兩次轉(zhuǎn)盤,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后,看指針指向的數(shù)獲獎方法是：指針兩次都指向 8 時,顧客 可以獲得 100 元購物券；指針兩次中有一次指向 8 時,顧客可以獲得 50 元購物券；指針兩次都不指向 8,且所指兩數(shù)之和又大于 8 時,顧客可以獲得所指兩數(shù)之和與 8 的差的 10 倍的購物券（如,獲 40 元購物 券）；其余情形無獎 （ 1）試用樹狀圖或列表的方法,給出兩次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤指針全部可能指向的結(jié)果； （ 2）試求顧客可獲得 100 元購物券的概率； 解：（

40、1）列表得： （ 3）試求顧客無獎的概率 22468（2,2） （2,4） （2,6） （ 2, 8） 4（4,2） （4,4） （4,6） （ 4, 8） 6（6,2） （6,4） （6,6） （ 6, 8） 8（8,2） （8,4） （8,6） （ 8, 8） （ 2）由于兩次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤指針全部可能的結(jié)果共有 種,所以所求概率為 1/16 16 種,其中兩次指針指向 8 的情形有一 第 15 頁,共 25 頁（ 3）由于兩次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤指針全部可能的結(jié)果共有 求概率為 6/16=3/8 16 種,其中無獎的情形有 6 種,所以所 3,公共汽車在 05 分鐘內(nèi)隨機地到達(dá)車站,求汽車在 13 分鐘之

41、間到達(dá)的概率； 分析：將 05 分鐘這段時間看作是一段長度為 線段中的 2 個單位長度； 5 個單位長度的線段,就 13 分鐘是這一 解：設(shè) “汽車在 13 分鐘之間到達(dá) ”為大事 A,就 PA=3-1/5=2/5 所以“ 汽車在 13 分鐘之間到達(dá) ”的概率為 2/5 4,取一根長為 3 米的繩子 ,拉直后在任意位置剪斷 ,那么剪得兩段的長都不少于 1 米的概率 有多大 . 解：記 “剪得兩段繩子長都不小于 1m” 為大事 A,把繩子三等分,于是當(dāng)剪斷位置處在中 間一段上時,大事 A 發(fā)生；由于中間一段的長度等于繩子長的三分之一,所以大事 A 發(fā)生的概 率 P（ A）=1/3； 5,在等腰直

42、角三角形 ABC 中,在斜邊 AB 上任取一點 M ,求 AM 小于 AC 的概率； 分析：點 M 隨機地落在線段 AB 上,故線段 AB 為區(qū)域 D；當(dāng)點 M 位于圖中的線段 AC 上時, AM AC,故線段 AC即為區(qū)域 d； 解： 在 AB 上截取 AC=AC,于是 P（ AM AC）=P（AM AC）=AC/AB=AC/AB= 2/2 就 AM 小于 AC 的概率為 2/2 6,取一個邊長為 2a 的正方形及其內(nèi)切圓 如圖,隨機地向正方形內(nèi)丟一粒豆,求豆子落入 圓內(nèi)的概率 . 子 解:記“豆子落入圓內(nèi) ”為大事 A, 就 PA= 圓的面積 /正方形面積 =a2/4a2=/4 7,在邊長

43、為 a 的正方形 ABCD 內(nèi)隨機取一點 率（ 2）APB 90 的概率 P,求：（ 1）APB 90的概 解： 如圖, 以正方形的邊 AB 為直徑作圓,依據(jù)直徑所對的圓周角為直角,就有當(dāng) 點 周上時, APB=90,而點 P 在圓內(nèi)時, APB 90 ,當(dāng)點 P 在圓外時, APB 90 設(shè) AB=a,就正方形的面積為 a2 P 在圓 第 16 頁,共 25 頁所以, A9P0B 的概率 p= *a/22/2 a2= /8 APB 90 的概率為 1-/8 8,一海豚在水池中自由游弋,水池為長 2m 的概率 30m,寬 20m 的長方形,求此刻海豚嘴尖離岸小 于 解：設(shè)大事 A“ 海豚嘴尖離

44、岸邊小于 2m” （見陰影部分） P（ A）（ 3020-2616 ）309,射箭競賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán),從外向內(nèi)為白色,黑色,藍(lán)色3,0m紅色,靶心金色金色靶心叫 “ 黃心”；奧運會的競賽靶面直徑為 122cm,靶心直徑為 ,運動員在 為70m 外射假設(shè)射箭都能中靶,且射中靶面內(nèi)任意一點都是等可能的,那么射中靶心的概率有 20m 多大？ PA=（1/4 12.2 2）（1/4 122 2）2 m 10,某人午覺醒來 , 發(fā)覺表停了 , 他打開收音機 , 想聽電臺整點報時 , 求他等待的時間不多于 10 分鐘的概率 . 解：設(shè) A=等待的時間不多于 10 分鐘 . 我們所關(guān)懷的大事 A

45、恰好是打開收音機的時刻位于 50,60 時間段內(nèi) , 因此由幾何概型的求概率的公式得 PA=10/60=1/6 （八） 設(shè)計公平的玩耍規(guī)章 例 1 有一個小正方體,正方體的每個面分別標(biāo)有 1, 2, 3, 4, 5, 6 這六個數(shù)字現(xiàn)在有 甲,乙兩位同學(xué)做玩耍,玩耍規(guī)章是：任意擲出正方體后,假如朝上的數(shù)字是 6,甲是勝利者； 假如朝上的數(shù)字不是 6,乙是勝利者你認(rèn)為這個玩耍規(guī)章對甲,乙雙方公平嗎？為什么？如 果不公平,你預(yù)備怎樣修改才能使玩耍規(guī)章對甲,乙雙方公平？ 解析： 看玩耍是否公平,主要看雙方是否具有均等的獲勝機會,假如機會是均等的,那就 公平,否就,就不公平；可以轉(zhuǎn)變已知條件,使玩耍對

46、雙方獲得的機會是均等的就可以了 第 17 頁,共 25 頁（1）這個玩耍不公平由于正方體的每個面分別標(biāo)有 11, 2, 3, 4, 5, 6 這六個數(shù)字,其 中數(shù)字 6 只有 1 個,也就是甲勝利的概率是 6；不是 6 的數(shù)字有 5 個,也就是說乙勝利的概率是 5 6,雙方的勝利的機會不是均等的,所以說這個玩耍不公平 . （2）可以把玩耍規(guī)章改為：任意擲出正方體后,假如朝上的數(shù)字是奇數(shù)（ 1,3,5）,甲 是勝利者；假如朝上的數(shù)字是偶數(shù)（ 2,4,6）,乙是勝利者,按這樣的玩耍規(guī)章就公平了 點評： 此題考查玩耍公平性的判定,判定玩耍規(guī)章是否公平,就要運算每個參加者取勝的 概率的大小,概率相等就

47、公平,否就就不公平 . （九）概率的實際應(yīng)用 例 1 某同學(xué)午覺醒來發(fā)覺鐘表停了,他打開收音機想聽電臺整點報時,就他等待的時間不 超過 15 分鐘的概率是（ ） 13：00 A. 1B. 1C. 1D. 12345解析： 電臺每小時報時一次時間,此人打開收音機時處于兩次報時之間例如在 至 14：00 之間,而且取各點的可能性一樣要等待的時間不超過 15 分鐘,只有當(dāng)他打開收音 機的時間處于 13：45 至 14： 00 之間才有可能,因此相應(yīng)的概率應(yīng)是 1此題選 C 4點評： 對于一個隨機大事來說,它發(fā)生可能性大小的度量是由它們自身準(zhǔn)備的,并且是客 觀存在的,就如同一塊土地有面積一樣 . 概率

48、是隨機大事發(fā)生可能性大小的度量,是隨機大事自 身的一個屬性 誤區(qū)點撥 一,基本概念的懂得有誤 例 1 有以下說法： 隨機大事 A 發(fā)生的概率是頻率的穩(wěn)固值； 任意大事 A 發(fā)生的概率 P（A ）中意 0P（A ） 1； 如大事 A 發(fā)生的概率為 0.000 001,就大事 A 是不行能事 件其中正確的有（ ） A0 個 B1 個 C2 個 D 3 個 錯解：選 D. 剖析：此題致錯緣由是不懂得一些基本概念 .頻率是較少數(shù)據(jù)統(tǒng)計的結(jié)果,是一種具體的趨 勢和規(guī)律在大量重復(fù)試驗時,頻率具有確定的穩(wěn)固性,總在某個常數(shù)鄰近搖擺,且隨著試驗 次數(shù)的不斷增加,這種搖擺幅度越來越小,這個常數(shù)叫做這個大事的概率

49、隨機大事 A 發(fā)生的 第 18 頁,共 25 頁概率是頻率的穩(wěn)固值, 正確；由于必定大事發(fā)生的概率為 1,不行能大事發(fā)生的概率為 0, 隨機大事發(fā)生的概率大于 0 小于 1,所以任意大事 A 發(fā)生的概率 P（A ）中意 0P（A ） 1,錯誤；如大事 A 發(fā)生的概率為 0.000 001,就大事 A 發(fā)生的可能性很小,但也有可能發(fā) 生,錯誤 . 正解： 選 B. 二,錯誤懂得概率 例 2 某同學(xué)擲一枚硬幣,結(jié)果是一連 9 次都擲出正面朝上,請問他第 10 次擲出硬幣時出 現(xiàn)正面朝上的概率為（ ） 1C 1D不能確定 1A小于 2B大于 22錯解：選 B. 剖析：無論哪一次拋擲硬幣,都有 2 種

50、情形,即正面,反面,與第幾次拋擲硬幣無關(guān),故 1第 10 次擲出硬幣時顯現(xiàn)正面朝上的概率為 2 正解： 選 C 三,求概率時沒有留意等可能性 例 3 如圖,把一個圓形轉(zhuǎn)盤按 1234 的比例分成 A,B,C,D 四個扇形區(qū)域,自 由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,求轉(zhuǎn)盤停止后落在 B 區(qū)域的概率 1錯解： 4. 剖析：錯解中沒有留意各部分所占的比例,也就是說落到每一部分不是等可能性的,解題 時第一確定在圖中 B 區(qū)域的面積在整個面積中占的比例,依據(jù)這個比例即可求出指針指向 B 區(qū) 域的概率 正解：由于該圓形轉(zhuǎn)盤按 1234 的比例分成 A,B, C, D 四個扇形區(qū)域,于是圓被 21等分成 10 份,其中 B 區(qū)域

51、占 2 份,所以落在 B 區(qū)域的概率 =10=5第 19 頁,共 25 頁跟蹤訓(xùn)練 1. 以下大事中,屬于不確定大事的是（ ） A通常水加熱到 100 時沸騰 B測量聊城某天的最低氣溫,結(jié)果為 -150 C一個袋中裝有 5 個黑球,從中摸出一個是黑球 D籃球隊員在罰球線上投籃一次,未投中 2.綠豆在相同條件下的發(fā)芽試驗,結(jié)果如下表所示： 每批粒數(shù) n 100 300 400 600 1000 2022 3000 發(fā)芽的粒數(shù) 96 282 382 570 948 1912 2850 m發(fā)芽的頻率m n0） D6就綠豆發(fā)芽的概率估量值是（ A B C3. 不透亮的袋子中裝有 4 個紅球, 3 個黃

52、球和 5 個藍(lán)球,每個球除顏色不同外其他都相同, 從中任意摸出一個球,就摸出 球的可能性最大 4. 一只自由飛行的小鳥,將任憑地落在如以下圖方格地面上（每個小方格都是邊長相等的 正方形）,就小鳥落在陰影方格地面上的概率為 . 5.指出以下大事分別是屬于隨機大事,必定大事,不行能大事中的哪一種？填在括號內(nèi) . （1）口袋中共有 5 個紅球, 3 個白球,在口袋中任取 1 球,會摸到紅球；（ ） （2）小敏 1 小時跑 60 千米；（ ） （3）擲兩枚骰子,點數(shù)的和大于 1；（ ） （4）買一張彩票,中了 500 萬（ ） 5. 投擲一枚一般的正方體骰子 24 次 （ 1）你認(rèn)為以下四種說法哪種是

53、正確的？ 顯現(xiàn) 1 點的概率等于顯現(xiàn) 3 點的概率； 投擲 24 次, 2 點確定會顯現(xiàn) 4 次； 投擲前默念幾次 “顯現(xiàn) 4點”,投擲結(jié)果顯現(xiàn) 4 點的可能性就會加大； 連續(xù)投擲 6 次,顯現(xiàn)的點數(shù)之和不行能等于 37 第 20 頁,共 25 頁（ 2）求顯現(xiàn) 5 點的概率； （ 3）顯現(xiàn) 6 點大約有多少次？ 9跟蹤訓(xùn)練參考答案： 3. 藍(lán) 4. 25 5.（1）隨機大事 （ 2）不行能大事 （3）必定大事 （ 4）隨機大事 16. 解：（1）由于拋擲正方體骰子顯現(xiàn) 3 點和顯現(xiàn) 1 點的概率均為 6,故 正確；由于連 續(xù)投擲 6次,最大為 66=36,所以顯現(xiàn)的點數(shù)之和不行能等于 1（2

54、）顯現(xiàn) 5 點的概率不受拋擲次數(shù)的影響,始終是 6. 1（3）顯現(xiàn) 6 點大約有 246=4（次） 37,于是 正確 概率初步學(xué)問點和題型 【學(xué)問梳理】 1生活中的隨機大事分為確定大事和不確定大事,確定大事又分為必定大事和不行能大事,其中, 必定大事發(fā)生的概率為 1,即 P必定大事 =1； =0； 不行能大事發(fā)生的概率為 0,即 P（不行能大事） 假如 A 為不確定大事,那么 0PA1 2隨機大事發(fā)生的可能性（概率）的運算方法： 理論運算又分為如下兩種情形： 第一種：只涉及一步試驗的隨機大事發(fā)生的概率,如：依據(jù)概率的大小與面積的關(guān)系,對一類概率模型 第 21 頁,共 25 頁進(jìn)行的運算； 其次

55、種：通過列表法,列舉法,樹狀圖來運算涉及兩步或兩步以上試驗的隨機大事發(fā)生的概率,如：配 紫色,對玩耍是否公平的運算； 試驗估算又分為如下兩種情形： 第一種：利用試驗的方法進(jìn)行概率估算；要知道當(dāng)試驗次數(shù)特殊大時,試驗頻率可作為大事發(fā)生的概率 的估量值,即大量試驗頻率穩(wěn)固于理論概率； 其次種：利用模擬試驗的方法進(jìn)行概率估算；如,利用運 算器產(chǎn)生隨機數(shù)來模擬試驗； 綜上所述,目前把握的有關(guān)于概率模型大致分為三類；第一類問題沒有理 論概率,只能借助試驗?zāi)M獲 得其估量值；其次類問題雖然存在理論概率但目前尚不行求,只能借助試 驗?zāi)M獲得其估量值；第三類 問題就是簡潔的古典概型,理論上簡潔求出其概率； 這

56、里要引起留意的 是,雖然我們可以利用公式運算概率,但在學(xué)習(xí)這部分學(xué)問時,更重要的是要體會概率 的意義,而不只 是強化練習(xí)套用公式進(jìn)行運算； 3概率應(yīng)用： 通過設(shè)計簡潔的概率模型,在不確定的情境中做出合理的決策；概率與實際生活聯(lián)系親 密,通過懂得什 么是玩耍對雙方公平,用概率的語言說明玩耍的公平性,并能按要求設(shè)計玩耍的概率 模型,以及結(jié)合具 體實際問題,體會概率與統(tǒng)計之間的關(guān)系,可以解決一些實際問題； 【練習(xí)】 隨機大 事與概率： 一 . 選擇題 1. 以下大事必定發(fā)生的是（ ） A. 一個一般正方體骰子擲三次和為 19 B. 一副洗好的撲克牌任抽一張為奇數(shù)； C. 一年中有 365 天 D.

57、你將來長 到 4 米高 6,一個袋子中放有紅球,綠球如干個,黃球 5 個, C. 今日下雨； 假如袋子中任意摸出黃球的概率為 , D. 一個不透亮的袋子里裝有 4 個紅球, 2 個白球, 那么袋子中共有球的個數(shù)為（ ） 從中任取 3 個球,其中至少有 2 球同色； A. 15 B. 18 C. 20 D. 25 2. 甲袋中裝著 1 個紅球 9 個白球,乙袋中裝著 9個紅球 1 個白球,兩個口袋中的球都已攪勻；想 從兩個口袋中摸出一個紅球,那么選哪一個口袋 勝利的機會較大？（ ） A. 甲袋 B. 乙袋 C. 兩個都一樣 D. 兩個都不行 3. 以下大事中,屬于確定大事的是（ ） A. 發(fā)射運

58、載火箭勝利 B. 2022 年,中國女足取得冠軍 C. 閃電,雷聲顯現(xiàn)時,先看到閃電,后聽到雷聲 D. 擲骰子時,點數(shù) “ 6” 朝上 4. 以下大事中,屬于不確定的大事的是（ ） A. 英文字母共 28 個 B. 某人連續(xù)兩次購買兩張彩票,均中頭獎 C. 擲兩個正四周體骰子（每面分別標(biāo)有數(shù)字 1, 2,3, 4）接觸地面的數(shù)字和為 9 D. 哈爾濱的冬天會下雪 5. 以下大事中屬于不行能的大事是（ ） A. 軍訓(xùn)時某同學(xué)打靶擊中靶心 B. 對于有理 數(shù) x, x 0 第 22 頁,共 25 頁填空題： 1,小華與父母一同從重慶乘火車到廣安鄧小平故居參觀火車車廂里每排有左,中,右三個座位,小華

59、一家 三口任憑坐某排的三個座位,就小華恰好坐在中間的概率是 ； 2,初三（一）星期二下午支配了數(shù)學(xué),英語,生物各一節(jié)課,就把數(shù)學(xué)課支配在最終一節(jié)的概率 ； 3,甲乙兩人去某風(fēng)景區(qū)游玩,每天某一時段開往風(fēng)景區(qū)有三輛汽車（票價相同）；兩人分別實行不同的乘車 方案：甲無論如何總是上開來的第一輛車；乙是觀看后上車,當(dāng)?shù)谝惠v車開來時都不上,假如其次輛車比第一 輛車好就上其次輛,其次輛車沒第一輛好就等著上第三輛車,就甲坐上好車的概率為 ,乙坐上好 車的概率為. 4,有兩把不同的鎖和三把不同的鑰匙,其中兩把鑰匙分別能打開其中一把鎖,第三把鑰匙不能打開這兩把鎖, 就兩把鑰匙同時打開兩把鎖的概率 ； 5,三個茶杯只有花色不同,其