3.1.1 函數(shù)及其表示方法（第2課時）教學(xué)設(shè)計

1、高中數(shù)學(xué)B版3.1.1 函數(shù)及其表示方法（第2課時）教學(xué)設(shè)計教學(xué)課時：第2課時教學(xué)目標(biāo)：（1）在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用；（2）通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用；（3）感受數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系,數(shù)學(xué)來源于生活也應(yīng)用于生活，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣經(jīng)歷從具體到抽象的活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。教學(xué)重點：函數(shù)的三種表示方法、分段函數(shù)；教學(xué)難點：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)；對分段函數(shù)的理解。教學(xué)過程:一、問題引入初中學(xué)習(xí)函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法、圖象法，大家還記得上節(jié)課一開

2、始的四個實際問題嗎？我們分別使用了三種不同方法刻畫兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，其中問題1、問題2采用的是解析法，問題3采用的是列表法,問題4采用的是圖象法。引例：某種筆記本的單價是元，買x（x1，2，3，4，5）個筆記本需要y元試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù) yf（x）。解：這個函數(shù)的定義域是數(shù)集1，2，3，4，5。用解析法可將函數(shù) yf（x）表示為f (x)x，x1，2，3，4，5。用列表法可將函數(shù) yf（x）表示為筆記本數(shù)x12345錢數(shù)y510152025用圖象法可將函數(shù)yf（x）表示為師：請你說出函數(shù)這三種不同表示方法各自的特點是什么？預(yù)設(shè)答案：解析法有兩個優(yōu)點：一是精確，全面的概括了變量之

3、間的關(guān)系；二是通過解析式，可以求出自變量取特殊值時所對應(yīng)的函數(shù)值，缺點在于抽象。列表法的優(yōu)點：不需要計算就可以直接得到與自變量的值對應(yīng)的函數(shù)值，同時也可以非常直觀的看到函數(shù)的定義域、值域。不過列表法所能列出的值畢竟是有限的。圖象法的優(yōu)點：能夠直觀形象的表示與自變量的變化相對應(yīng)的函數(shù)值的變化情況，可以利用圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)。此外，圖像法在生產(chǎn)和生活中應(yīng)用非常廣泛。缺點：手工繪制函數(shù)的圖象并不容易。因此我們在研究函數(shù)時通常是幾種表示方法同時使用，其中以解析法與圖象法為主，以便全面、準(zhǔn)確、直觀地理解函數(shù)?！驹O(shè)計意圖】函數(shù)的三種表示方法在初中就已學(xué)過，但學(xué)生印象比較深刻的是解析法，引例的解答雖然很簡

4、單，但它的作用不僅僅是讓學(xué)生動筆回顧知識；更重要的是引發(fā)學(xué)生對函數(shù)三種表示方法各自特點的理性思考，讓學(xué)生從函數(shù)學(xué)習(xí)一開始就要重視函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)與掌握，養(yǎng)成畫圖的好習(xí)慣。二、例題講授例1 ：（課本第90頁例5）設(shè)x為任意一個實數(shù)，y是不超過x的最大整數(shù)，判斷這種對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)。如果是，作出這個函數(shù)的圖象；如果不是，說明理由。定義幾個特殊函數(shù)1取整函數(shù)：像例1這樣的函數(shù)通常稱為取整函數(shù)y=x，其定義域為R，值域為Z。2常數(shù)函數(shù)：值域只有一個元素的函數(shù)通常稱為常數(shù)函數(shù)。如f(x)=7，xR，它的值域為7，圖象是一條平行于x軸的直線?！驹O(shè)計意圖】取整函數(shù)又稱高斯函數(shù)，在數(shù)學(xué)研究和生活實際中有廣泛應(yīng)

5、用。但學(xué)生初次接觸理解起來還是有一定的困難，為此搭設(shè)了三個臺階。值得一提的是，學(xué)生在理解函數(shù)概念時會出現(xiàn)認為“x、y必須都是變量”，“構(gòu)成函數(shù)關(guān)系時，x要變，y也要變”，這些都是錯誤的，錯誤的原因都是沒有抓住函數(shù)的概念的本質(zhì)倒是應(yīng)該強調(diào)“x定，y也定”，這里的定，是指“唯一確定”。這樣的話，常值函數(shù)就不難理解了。定義幾個特殊函數(shù)：3分段函數(shù)：如果一個函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對應(yīng)方式，則稱其為分段函數(shù)?！驹O(shè)計意圖】分段函數(shù)是中學(xué)階段常見的一類特殊函數(shù)，通常需要分類討論，最后還要有一個統(tǒng)一的結(jié)論，因此學(xué)生會感覺比較困難在分析題意時，讓學(xué)生先計算幾個具體值有助于理解分類，

6、畫出函數(shù)的圖象可以使學(xué)生更好地理解分段函數(shù)是“一個函數(shù)”而不是“幾個函數(shù)”。思考2的設(shè)置一方面是問題的深化，另一方面是引發(fā)學(xué)生關(guān)注社會生活實際問題。思考3的設(shè)置是為了引發(fā)學(xué)生注意由函數(shù)值求自變量的值時要關(guān)注自變量的取值范圍?！驹O(shè)計意圖】狄利克雷函數(shù)是一個非常典型的分段函數(shù)。由于在數(shù)軸上無法明顯地界定出無理數(shù)，因此無法畫出函數(shù)圖象。但這也恰恰說明引入用集合與對應(yīng)關(guān)系的觀點來定義函數(shù)的必要性，同時也可借此說明函數(shù)的三種表示方法都有各自的局限性。例4已知：f(x)=x2，求f(0)，f(2)，f(a)和f(x-1)解：f(0)=0，f(2)=4，f(a)=a2，f(x-1)=(x-1)2=x2-2x

7、+1；思考： 1你能說出f(a)與f(x)有什么關(guān)系嗎？2如果已知：f(x-1)=x2，你能求出f(x)的解析式嗎？【設(shè)計意圖】本例題主要是幫助學(xué)生理解函數(shù)概念中“對應(yīng)關(guān)系f ”的作用。已知函數(shù)解析式求自變量取某些特殊值的函數(shù)值，這個內(nèi)容對于學(xué)生來說應(yīng)該不難。但如何正確理解f(a)與f(x)的關(guān)系是有一定難度的。其中f(a)與f(x)既有區(qū)別又有聯(lián)系：f(a)表示當(dāng)自變量x=a時函數(shù)f(x)的值，它是一個常量；而f(x)是自變量x的函數(shù)，在一般情況下它是一個變量，即f(a)是f(x)在x=a時的函數(shù)值。函數(shù)f(x)=x2，即xx2，表示自變量通過“平方運算”得到它的函數(shù)值，與我們選擇什么符號表達自變量沒有關(guān)系。函數(shù)yy2，tt2，uu2，都表示同一個函數(shù)關(guān)系同樣自變量換成一個代數(shù)式，如x-1，平方后對應(yīng)的函數(shù)值就是(x-1)2。這里f(x-1)表示自變量變換后得到的新函數(shù)。由此可見f(x)與f(x-1)這兩個表達式，字母f表示的是同一對應(yīng)關(guān)系，f(x)中對應(yīng)關(guān)系f作用的對象是x；f(x-1)中對應(yīng)關(guān)系f作用的對象是x-1；兩個都是變量，沒有什么聯(lián)系。但只有學(xué)生搞清上述關(guān)系后，在解答思考2時就會自然想到要找出x-1所為一個整體所對應(yīng)的表達式