《線性代數》一維波動方程

1、第二章 波動方程2.1 一維波動方程 考慮無界弦振動的柯西問題與方程（1）相應的特征方程為特征線為數學物理方程和是二階可微的任意函數。其中把方程 (4) 關于和積分，容易求出方程(4)的解引入新的變量使方程（1）化為 （4）(5) (6)代回原來的自變量，有（6）式通常稱為達朗貝爾解。數學物理方程 為了求出柯西問題的解，我們必須利用初始條件（2）（3）來確定函數和。把（6）代入初始條件，得(7)(8)(9)對（8）積分得為任意常數。其中(10) (11)利用(7) (9), 有數學物理方程(12)把式(10) (11)代入(6), 得到柯西問題的解這個公式稱為達朗貝爾（DAlembert）公式

2、 。 (6) 可以看出，如果柯西問題有解，則解一定可以由初始條件用公式(12)表示，因此解是唯一的。同時不難驗證，當的解。解關于初始條件的連續(xù)依賴性也可以從式(12)看出，因此弦振動方程的柯西問題是適定的。 時，式(12)的確是柯西問題數學物理方程向右平移后形成的；時，向右移動的距離恰為看成的函數，為參數，1. 達朗貝爾解的物理意義則其中若在（12）式中令如果把是由。則在圖象上特別地，當數學物理方程為以速度向左移動的行進波，簡稱左行波。故在物理上稱為以速度向右移動和疊加。同理，稱于是，公式（12）表明，初值問題（1）（3）的的行進波，簡稱右行波；解是由初始數據所確定的左、右行波的傳播(12)行

3、進波的疊加，從而求得定解問題（1）（3）的解的方法，也稱為行波法或傳播波法。這種把方程（1）的解表為向兩個方向傳播的數學物理方程2. 依賴區(qū)域、決定區(qū)域、影響區(qū)域在處的值為由此，可以看出解在處的值由初始數據在區(qū)間上的值完全確定，以外的值無關。稱為點的依賴區(qū)域。 依賴區(qū)域由達朗貝爾公式（12），初值問題（1）（3）的解而與它們在區(qū)間因此，我們把區(qū)間數學物理方程軸的它們與如下圖所示，過點作直線 顯然為方程（1）的兩條特征線，因此，點的依賴區(qū)域的兩條特征線在軸上截得的一個區(qū)間。交點為為過，。數學物理方程決定區(qū)域，則它的依賴區(qū)域都必然落在區(qū)間中，的任意性知，解在此三角形區(qū)域中的值均由在區(qū)間上的值完全決

4、定。的決定區(qū)域。在下圖中構成的三角形區(qū)域中，任取一點由點因此，我們稱這個三角形區(qū)域為數學物理方程如下圖所示，在軸上任取一點并過此點作兩條特征線 影響區(qū)域則將平面分成三個區(qū)域(I)(II)(III)，即解在(I)內任處擾動的影響。為頂點的角形區(qū)域(I)稱為點的影響區(qū)域。 內任一點的依賴區(qū)域包含點只有(I)一點的值都要受到點因此，我們把以數學物理方程類似地，我們可以定義區(qū)間的影響區(qū)域(I)時的初始擾動是以速度逐漸向兩側傳播到整個空間的。這一概念說明，在（如下圖所示）。一個重要特點。這是雙曲型方程的數學物理方程例1. 求解Cauchy問題解： 由 DAlembert 公式, 則數學物理方程例2. 求解Cauchy問題解： ，則方程(13) 為雙曲型的。，則特征線為令則方程可化為，則特征方程為數學物理方程由條件(14)(15), 有(16)(17)(18)則對 (17)積分得由(16), (18), 有數學物理方程解：易知 與 為方程(19) 的