圓錐曲線的經典結論

1、解析幾何專題經典結論第 頁，共15頁第 頁，共15頁有關解析幾何的經典結論一、橢圓點P處的切線PT平分PFF在點P處的外角.(橢圓的光學性質)12PT平分PFF在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓,12除去長軸的兩個端點.(中位線)以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離.(第二定義)以焦點半徑PF為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.(第二定義)1x2y2xxyy若P(x,y)在橢圓+；，1上，則過P的橢圓的切線方程是o+：o丿，1.(求導或用聯(lián)立TOC o 1-5 h zoooa2b20a2b2方程組法)x2y2若P(x,y)在橢圓+；，1外，貝y過P作橢圓的兩

2、條切線切點為P,P，則切點弦PP的直oooa2b201212xxyy4線方程是0+o，1a2b2x2y2橢圓+,1(abo)的左右焦點分別為F,F，點P為橢圓上任意一點FPF=,a2b21212則橢圓的焦點角形的面積為S，b2tan：.(余弦定理+面積公式+半角公式)巧PF22x2y2&橢圓+=1(abo)的焦半徑公式：a2b2IMFI，a+ex，IMFI，a-ex(F(c,o),F(c,o)，M(x,y).(第二定義)1o2o12oo9.設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P,Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交證明：x，ky+c，1n(a2+b2k2)y2+2b2cky+b2c2

3、+a2b2，o相應于焦點F的橢圓準線于M,N兩點，則MF丄NF.b2c2-a2b2-2b2ckyyy，,y+y，POa2+b2k2POa2+b2k22a2ca2c2-a2b2k2xx，,x+xpoa2+b2k2po解析幾何專題經典結論第 #頁，共15頁第 頁，共15頁a2a2+a+ay_cy_cN二,M二ya+xya+xppQQ易得:c)(xNc)b4C210-過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P，Q，且Ai,A2為橢圓長軸上的頂點，AiP和a2Q交于點M，AP和AQ交于點N，則MF丄NF.（MN其實就在準線上，下面證明他在準線上）21證明：首先證明準線，A/和PA公共點,設P,x,y)，Q

4、C,y),不妨設xx，PQk=yP,1x-apy=k(x-a)y=k(x+a)2yk=Q2x-aQa(k+k)得交點x=,1,2=ak-k12)p一Qk)Qxy+xy+ay-yPQQP-xy+xy+ay+yPQQPPiy=k(x+c)由0,b0）的不平行于對稱軸的弦，M（x,y）為AB的中點，則a2b200b2xK-K，亠，即KOMABa2yAB0 x2y2b2x0o(同上)a2y012.若P（x,y）在雙曲線一廠，1000a2b2a0,b0)內，則被P0所平分的中點弦的方程是:過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q,且A1,A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A

5、iQ交于點，則MF丄N.（同上）解析幾何專題經典結論第 #頁，共15頁第 #頁，共15頁xxyyx2y20-匯，A-A.(同上)a2b2a2b213.x2y2若Po（分yo）在雙曲線a-厲=1a0,b0)內，則過P。的弦中點的軌跡方程是:解析幾何專題經典結論第 頁，共15頁第 頁，共15頁x2y2xxyy=-0-.(同上)a2b2a2b2橢圓與雙曲線的對偶性質-（會推導的經典結論）橢圓1.橢圓呂+,1（ab0）的兩個頂點為A1（a，0）,A2（a，0），與y軸平行的直線交橢圓于x2y2P，P2時，A1P1與A2P2交點的軌跡方程是-噲=1證明：P(x,y),P(x,y)，交點P(x,y)111

6、111y，4(x+a)x+a1y，y(x+a)x+a2，得y-y2()2二-x2a2丿,x2a：1x2y2又盂+盂=x2y22-過橢圓藥+厲，1ab0）上任一點A（xo,yo）任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B，C兩證明：b2x點，則直線BC有定向且k，0BCa2y0常數(shù)）.設歡y,）c（x2,yj寸v2_F-幾=k（尤一叫）&r+盲=1=ab（h+a:k2）xz+2&臥（片一&找+（片-kxQ）-ab:=0v.v_2心（饑兒）和-去很A-TAjj1TJC勺b，bA-（rk+兒=士工也X十/b十護FAx=4,bakib-xk_勺_h%Avp77氐h+akAray3.若P為橢圓2,y二l（ab

7、0）上異于長軸端點的任一點，F(xiàn)、F是焦點，ZPFF二,TOC o 1-5 h za2b21212acBZPFF=B，貝y=tanco1.21a+c22證法1（代數(shù)）證法二（幾何）解析幾何專題經典結論第 頁，共15頁第 #頁，共15頁解析幾何專題經典結論第 頁，共15頁第 頁，共15頁4.設橢圓,y=l(ab0)的兩個焦點為F、F,P(異于長軸端點)為橢圓上任意一點,a2b212sinc在厶PFF中，記ZFPF=a,ZPFF=P,ZFFP=y，則有=e.12121212smp,smYa(上條已證)5若橢圓a:,b；二1(ab)的左、右焦點分別為仆，左準線為1，則當0e2一1時可在橢圓上求一點P，

8、使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.6.7.p為橢圓a:,b:二1(ab)上任一點，件、f2是焦點，A為橢圓內一定點，則2aIAF11PAI,IPF1(Ax+By+C)2.+=1(ab0)，0為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且OP丄OQ.X2已知橢圓-,a2b2(1)11,;a2b2,4a2b2|OP|2+|0Q|2的最大值為了;a2+b2門a2b2S的最小值是了.OPQa2+b211,(2)(3)IOPI2IOQI2證明tr/同脫宀加”.訟戸$二后+汁二1n對二n00OP+OQ-)(1iI_3+問(【+疋)_丄+丄()lylOQ2+a2b2OP-()Qavb-Jis-補充性質

9、，過。做PQ垂線，垂圮為M為世値()POO=PO-OH=0單心=占匚_/+F叫2a2十護,x2y29.過橢圓+a2b2二1(ab0)的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分IPFIe貝U=IMNI2線交x軸于P，10.已知橢圓爐,y=i(ab0)，A,B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點a2b2a2一b2a2一b2P(X,0),則一xb0）右（或左）支上除頂點外的任一點，F(xiàn)1、F2是焦點,則=tancot2TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark60c一aP(或=tancot). HYPERLINK l bookmark64c+a2

10、24設雙曲線a2一一=1（a0,b0）的兩個焦點為仆F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在PFF中，記FPF=,PFF=p,FFP=丫，則有:12121212 HYPERLINK l bookmark68sinc=e.土(sinysinP)a5.6.若雙曲線岸著=1(a0,b0)的左、右焦點分別為Fi、F2,左準線為1，則當10,b0)上任一點，F(xiàn)1、F是焦點，A為雙曲線內一定點，則IAFI2alPAI+IPFI，當且僅當A,F,P三點共線且P和A,F在y軸同側時，等號成立.7.8.1)2)3)x2y2雙曲線一廠=1(a,0,b,0)與直線Ax+By+C=0有公共點的充要條件是：a2b

11、2A2a2B2b2C2.x2y2已知雙曲線一一=1(ba0),0為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且OP丄OQ.a2b21111 HYPERLINK l bookmark46+=;I0PI2I0QI2a2b2l0Q|2的最小值為；11b2a2a2b2S的最小值是.A0PQb2a2OP2+2122解析幾何專題經典結論解析幾何專題經典結論12.第 #頁，共15頁第 #頁，共15頁x2y29.過雙曲線一二=1(a,0,b,0)的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MNa2b2|PF|e的垂直平分線交x軸于P，則而=2x2y210.已知雙曲線一一=1(a,0,b,0),A,B是雙曲線上的兩

12、點，線段AB的垂直平分線與x軸a2b2解析幾何專題經典結論解析幾何專題經典結論12.第 #頁，共15頁第 #頁，共15頁相交于點P(x0,o),則x0a2+b2a2+b2或xa0a解析幾何專題經典結論解析幾何專題經典結論12.第 #頁，共15頁第 頁，共15頁11.x2y2設P點是雙曲線一=1a2b2則：I_2b2lcos00,b0)上異于實軸端點的任一點，F(xiàn)2是焦點，記(a,0,b,0)的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，ZPAB=a,解析幾何專題經典結論解析幾何專題經典結論12.第 頁，共15頁第 #頁，共15頁ZPBA=卩，ZBPA=，c,e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有:2ab21co

13、saI(1)IPAI=Ia2一c2coS2w2（a2+護）+”K2i心焉一2護上+*-看作關于涵二次方程笛加QMWMl寸.式亂然成立，所以力樸也仃很m廣訂切十“*-lahnttrbirhzk2mb*廣卄葉H嚴科忑%-血）*（片一片）（人-跆）=。-=0-紈b-cr小嚴宀，W吋創(chuàng)+紈）&+心仇+%5心e%嚇血x2y2_已知橢圓+=1，不再橢圓上的一點P，過P做傾斜角互補的兩直線，與橢圓交于a2b2A,B,C,D四點，則A,B,C,D四點共圓證明其他常用公式：1、連結圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關系來計算弦長，常用的弦1長公式：AB-1+k2x一x-1+y一y12k2

14、122、直線的一般式方程：任何直線均可寫成Ax+By+C=0（A,B不同時為0）的形式。3、知直線橫截距x，常設其方程為x二my+x（它不適用于斜率為0的直線），00與直線l:Ax+By+C=0垂直的直線可表示為Bx-Ay+C=0。1解析幾何專題經典結論解析幾何專題經典結論第 #頁，共15頁第 頁，共15頁解析幾何專題經典結論解析幾何專題經典結論第 頁，共15頁第 #頁，共15頁4、兩平行線l:AxByC=0，l:AxByC=0間的距離為d=，C1122A2B25、若直線l:Ax+By+C=0與直線l:Ax+By+C=0平行,11226、則AB-AB=0（斜率）且BC-BC豐0（在y軸上截距）

15、（充要條件）12211221圓的一般方程：x2y2DxEyF=0D2E2，4F0），特別提醒：只有當(dE)D2E2，4F0時，方程x2y2+Dx+Ey+F=0才表示圓心為片，半徑為22丿20。fx=arcos0小/7、圓的參數(shù)方程：Iy=brsin0（9為參數(shù)），其中圓心為a，b），半徑為r。圓的參數(shù)方程的主要應用是三角換元：x2y2=r2x=rcos0，y=rsin0；x2y2tx=rcos0，y=rsin9(0“rpt)；8、Axi，yi），Bx2,y2）為直徑端點的圓方程x一xM一TH一”6一y2）=0；切線長過圓x2y2DxEyF=0（x一a）2y一必=r2）外一點PW，y0）引圓的

16、切線的長為：、.x2y2DxEyF=0（、；（x-a2+（y-b2-00009、弦長問題：圓的弦長的計算：常用弦心距d，弦長一半*a及圓的半徑r所構成的直角三角形來解：r2=d2:過兩圓Ci:f（x，y）=0、C2:g（x，y）=0交點的圓（公共弦）系為fx,y”gx,y）=0，當”=1時，方程fx,y”gx,y）=0為兩圓公共弦所在直線方程.。解析幾何專題經典結論解析幾何專題經典結論第 #頁，共15頁第 頁，共15頁拋物線焦點弦性質總結30條以AB為直徑的圓與準線l相切;P2xx=;3.4.124yy-p2;12ZAC，B90o;10.AAOBp22sin11.S2p）3AAOB=AB12丿

17、(定值)；12.AFP1一cosBFP1+cosAB=x+x+p=2:x+p2p12（32丿sin2112+AFBFp5.6.7.ZA，F(xiàn)B，=9Oo;A,O,B三點共線;B,O,A，三點共線;解析幾何專題經典結論解析幾何專題經典結論第 #頁，共15頁第 #頁，共15頁BC，垂直平分BF；AC，垂直平分AF；CfF丄ABCF；16.AB2p；17CC，1AB1（AA，+BB，）22AB18.y19.tanLpx一22A，B，24AFBF；C，F(xiàn)1A，B，.2切線方程yym（X+x）0023、AB是拋物線y22px(po)焦點弦，Q是AB的中點，1是拋物線的準線，AV1，BB1丄i，過A,B的切線相交于P，PQ與拋物線交于點M.則有結論6PA丄PB結論7PF丄AB.解析幾何專題經典結論解析幾何專題經典結論第 頁，共15頁第 #頁，共15頁解析幾何專題經典結論解析幾何專題經典結論第 #頁，共15頁第 #頁，共15頁結論8M平分PQ解析幾何專題經典結論解析幾何專題經典結論第 #頁，共15