高中數(shù)學(xué)必修二 10.1.1有限樣本空間與隨機(jī)事件+10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算

1、21世紀(jì)教育網(wǎng) 精品試卷第 PAGE 2 頁(yè) （共 NUMPAGES 2 頁(yè)）10.1.1 有限樣本空間與隨機(jī)事件事件的關(guān)系與運(yùn)算 教學(xué)設(shè)計(jì)課題 10.1.1 有限樣本空間與隨機(jī)事件事件的關(guān)系與運(yùn)算單元第十單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一教材分析 本節(jié)內(nèi)容是在小學(xué)和初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，更進(jìn)一步的研究隨機(jī)事件即樣本空間，從而為概率做準(zhǔn)備。教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：利用生活實(shí)例判斷并得出事件的關(guān)系；2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.3.數(shù)學(xué)建模：掌握樣本空間、事件的關(guān)系和運(yùn)算；4.直觀想象：計(jì)算和判斷事件的關(guān)系和運(yùn)算；5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確寫出樣本空間，判斷得出事件的關(guān)系和運(yùn)算；6.數(shù)

2、據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題推導(dǎo)過程得出結(jié)論例題講解練習(xí)鞏固的過程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)密性。重點(diǎn)樣本空間，事件的關(guān)系和運(yùn)算難點(diǎn)樣本空間，事件的關(guān)系和運(yùn)算教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課問題導(dǎo)入：?jiǎn)栴}一：觀察下列事件，你能發(fā)現(xiàn)什么特點(diǎn)？（1）將一枚硬幣拋擲2次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；（2）從你所在的班級(jí)隨機(jī)選擇10名學(xué)生，觀察近視眼人數(shù)；（3）在一批燈管中任意抽取一只，測(cè)試它的壽命；（4）記錄某地區(qū)7月份的降雨量.（1）在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行；（2）所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)。學(xué)生利用問題情景，引出本節(jié)新課內(nèi)容隨機(jī)試驗(yàn)。 設(shè)置問題情境，回顧上節(jié)課知識(shí)點(diǎn)

3、，同時(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，并引出本節(jié)新課。講授新課新知講授（一）隨機(jī)試驗(yàn) 我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母E表示。我們通常研究以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不確定出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果。新知講授（二）樣本空間思考一：體育彩票搖獎(jiǎng)時(shí)，將10個(gè)質(zhì)地和大小完全相同、分別標(biāo)號(hào)0，1，2，.，9的球放入搖獎(jiǎng)器中，經(jīng)過充分?jǐn)嚢韬髶u出一個(gè)球，觀察這個(gè)球的號(hào)碼。這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)共有多少個(gè)可能結(jié)果？如何表示這些結(jié)果？根據(jù)球的號(hào)碼，共有1

4、0種可能結(jié)果。如果用m表示“搖出的球的號(hào)碼為m”這一結(jié)果，那么所有可能結(jié)果可用集合表示0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間。一般地，我們用表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn)。（在本書中，我們只討論為有限集的情況。）例1、拋擲一枚硬幣，觀察它落地時(shí)哪一面朝上，寫出試驗(yàn)的樣本空間。解：因?yàn)槁涞貢r(shí)只有正面朝上和反面朝上兩個(gè)可能結(jié)果，所以試驗(yàn)的樣本空間可以表示為=正面朝上，反面朝上如果用h表示“正面朝上”，用t表示“反面朝上”，則樣本空間=h，t例2、拋擲一枚骰子，觀察它落地時(shí)朝上的面的點(diǎn)數(shù)，寫出試驗(yàn)的樣本空間.解：用i表

5、示朝上面的“點(diǎn)數(shù)為i”.由于落地時(shí)朝上面的點(diǎn)數(shù)有1，2，3，4，5，6，共6個(gè)可能的基本結(jié)果，所以試驗(yàn)的樣本空間可以表示為=1，2，3，4，5，6.例3、拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況，寫出試驗(yàn)的樣本空間.解：拋兩枚硬幣，第一枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示，第二枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示，那么試驗(yàn)的樣本點(diǎn)可用（x,y）表示.所以試驗(yàn)的樣本空間=（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）.如果用1表示“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，所以試驗(yàn)的樣本空間=（1，1），（1，0），（0，1），（0，0）.接下來(lái)我們用樹狀圖再次理解一下解答過程（圖10.11）。試驗(yàn)的

6、樣本空間的表示方法：（1）用樹狀圖表示試驗(yàn)結(jié)果；（2）用集合表示（列舉法）。小試牛刀某運(yùn)動(dòng)員射擊打靶，觀察它中靶的環(huán)數(shù)，寫出試驗(yàn)的樣本空間.解：用i表示朝上面的“環(huán)數(shù)為i”.由于環(huán)數(shù)有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共11個(gè)可能的基本結(jié)果，所以試驗(yàn)的樣本空間可以表示為=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.新知講授（三）隨機(jī)事件思考二：在體育彩票搖號(hào)試驗(yàn)中，搖出“球的號(hào)碼為奇數(shù)”是隨機(jī)事件嗎？搖出“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”是否也是隨機(jī)事件？“球的號(hào)碼為奇數(shù)”和“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”都是隨機(jī)事件。思考三：如果用集合的形式來(lái)表示它們，那么這些集合與樣本空間有什么關(guān)系？用A表示隨機(jī)事

7、件“球的號(hào)碼為奇數(shù)”，則A發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)搖出的號(hào)碼為1，3，5，7，9之一，即事件A發(fā)生等價(jià)于搖出的號(hào)碼屬于集合1，3，5，7，9。因此，可以用樣本空間=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的子集1，3，5，7，9表示隨機(jī)事件A.同理，可以用樣本空間的子集0，3，6，9表示隨機(jī)事件“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”.一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示。為了描述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件。隨機(jī)事件一般用大寫字母A,B,C,.表示。在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生。作為自身的子集，包含

8、了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會(huì)發(fā)生，我們稱為必然事件。而空集不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱為不可能事件。必然事件與不可能事件不具有隨機(jī)性。為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形。每個(gè)事件都是樣本空間的一個(gè)子集。思考四：事件有哪些分類？例4、如圖10.1-2，一個(gè)電路中有A，B，C三個(gè)電器元件，每個(gè)元件可能正常，也可能失效。把這個(gè)電路是否為通路看成是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，觀察這個(gè)電路中各元件是否正常。（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）用集合表示下列事件：M=“恰好兩個(gè)元件正?！盢=“電路是通路”T=“電路是斷路”解：（1）分別用x1,

9、x2和x3表示元件A,B和C的可能狀態(tài)，則這個(gè)電路的工作狀態(tài)可用（x1,x2，x3)表示.同時(shí)，用1表示元件的“正?！睜顟B(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)，則樣本空間=（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）用樹狀圖將所有的可能結(jié)果表示如下（如圖10.1-3）（2）“恰好兩個(gè)元件正?！钡葍r(jià)于（x1,x2，x3)，且x1,x2，x3中恰有兩個(gè)為1,所以M=（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）“電路是通路”等價(jià)于（x1,x2，x3)，且x1=1，x2，x3中至少有一個(gè)是1,所以N=（1，1，0），（1，0，1），

10、（1，1，1）同理，“電路是斷路”等價(jià)于（x1,x2，x3)，x1=0，或x1=1,x2=x3=0所以T=（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（0，1，1），（1，0，0）小試牛刀1、判斷下列事件的類型？（1）擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面 （2）某地12月12日下雨（3）如果ab,那么a-b0 （4）明天是星期八解：（1）隨機(jī)事件（2）隨機(jī)事件（3）必然事件（4）不可能事件2、拋擲三枚硬幣，可能“正面朝上“，也可能”反面朝上“。把拋擲三枚硬幣朝上的情況看成是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，觀察這個(gè)現(xiàn)象中朝上的可能性。（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）用集合表示下列事件： M=“恰好兩個(gè)正面朝上” N=“最多一

11、個(gè)正面朝上”解：（1）分別用x1,x2和x3表示每一枚硬幣的可能狀態(tài)，則這個(gè)隨機(jī)事件的結(jié)果可用（x1,x2，x3)表示.同時(shí)，用1表示”正面朝上“，用0表示“反面朝上”，則樣本空間=（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）解：（2）“恰好兩個(gè)正面朝上”等價(jià)于（x1,x2，x3)，且x1,x2，x3中恰有兩個(gè)為1,所以M=（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）“最多一個(gè)正面朝上”等價(jià)于（x1,x2，x3)，且x1，x2，x3中至多有一個(gè)是1,所以N=（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，

12、0，1）新知講授（四）：事件的關(guān)系和運(yùn)算 在擲骰子試驗(yàn)中，觀察骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，可以定義許多隨機(jī)事件，如：Ci=“點(diǎn)數(shù)為i ”，i=1，2，3，4，5，6； D1=“點(diǎn)數(shù)不大于3”； D2=“點(diǎn)數(shù)大于3”；E1=“點(diǎn)數(shù)為1或2”; E2=”點(diǎn)數(shù)為2或3“; F=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”； G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；你能用集合的形式表示這些事件，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？思考一：用集合的形式表示事件C1=“點(diǎn)數(shù)為1 ”和事件G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？由已知得：C1=1和G=1，3，5顯然，如果事件C1發(fā)生，那么事件G一定發(fā)生。

13、用集合表示就是也就是說，事件G包含事件C1.一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，我們就稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），記作（如下圖10.1-4所示）特別地，如果事件B包含事件A，事件A也包含B，即 則稱事件A與事件B相等，記作A=B.思考二：用集合的形式表示事件D1=“點(diǎn)數(shù)不大于3 ”、事件E1=“點(diǎn)數(shù)為1或2”和事件E2=“點(diǎn)數(shù)為2或3”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？由已知得：D1=1,2,3,E1=1,2和E2=2,3顯然，事件E1和事件E2至少有一個(gè)發(fā)生，相當(dāng)于事件D1發(fā)生。用集合表示就是這時(shí)我們稱事件D1為事件E1和事件E2的并事件。一般地

14、，若事件A和事件B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中，我們就稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件（或和事件），記作 （如下圖10.1-5所示：綠色區(qū)域和黃色區(qū)域表示這個(gè)并事件）思考三：用集合的形式表示事件C2=“點(diǎn)數(shù)為2 ”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？由已知得：事件E1=“點(diǎn)數(shù)為1或2”和事件E2=“點(diǎn)數(shù)為2或3”同時(shí)發(fā)生，相當(dāng)于事件C2發(fā)生。用集合表示就是這時(shí)我們稱事件C2為事件E1和事件E2的交事件。一般地，若事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中，我們就稱這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的

15、交事件（或積事件），記作 （如下圖10.1-6所示的藍(lán)色區(qū)域）思考四：用集合的形式表示事件C3=“點(diǎn)數(shù)為3 ”和事件C4=“點(diǎn)數(shù)為4”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？由已知得：事件C3=3，事件C4=4顯然，事件C3與事件C4不可能同時(shí)發(fā)生。即這時(shí)我們稱事件C3與事件C4互斥。一般地，若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說AB是一個(gè)不可能事件，即AB=我們就稱事件A與事件B互斥（或互不相容）（如下圖10.1-7所示）思考五：用集合的形式表示事件F=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù) ”和事件G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？在任何一次試驗(yàn)中，事

16、件F與事件G兩者只能發(fā)生其中之一，而且也必然發(fā)生其中之一。用集合可以表示為2，4，61，3，5=1，2，3，4，5，6，即FG=，且2，4，61，3，5=，即FG=我們稱事件F與事件G互為對(duì)立事件。事件D1與D2也有這種關(guān)系。一般地，若事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即AB=，且AB=,我們就稱事件A與事件B互為對(duì)立。事件A的對(duì)立事件記作（如下圖10.1-8所示）思考六：你能根據(jù)思考一至思考五，你能總結(jié)這些事件之間的關(guān)系嗎？類似地，我們可以定義多個(gè)事件的和事件以及積事件。例如，對(duì)于三個(gè)事件A,B,C,ABC（或A+B+C）發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C中至少一個(gè)發(fā)生，ABC（或ABC）

17、發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C同時(shí)發(fā)生，等等。例5、如圖10.1-9，由甲、乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正?；蚴АＴO(shè)事件A=“甲元件正?！?，B=“乙元件正?！?。（1）寫出表示兩個(gè)元件工作狀態(tài)的樣本空間；（2）用集合的形式表示事件A，B以及它們的對(duì)立事件；（3）用集合的形式表示事件AB和事件AB，并說明它們的含義及關(guān)系。解：(1)用x1,x2分別表示甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài)，則可以用（x1,x2)表示這個(gè)并聯(lián)電路的狀態(tài)。以1表示元件正常，0表示元件失效，則樣本空間=（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）（2）根據(jù)題意，可得例6、一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號(hào)

18、為1和2），2個(gè)綠色球（標(biāo)號(hào)為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球。設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個(gè)球顏色相同”，N“兩個(gè)球顏色不同”。（1）用集合的形式分別寫出試驗(yàn)的樣本空間以及上述各事件；（2）事件R與R1，R與G，M與N之間各有什么關(guān)系？（3）事件R與G的并事件與事件M有什么關(guān)系？事件R1與R2的交事件與事件R有什么關(guān)系？解：（1）所有的試驗(yàn)結(jié)果如圖10.1.-10所示。用數(shù)組（x1,x2）表示可能的結(jié)果，x1是第一次摸到的球的標(biāo)號(hào)，x2是第二次摸到的球的標(biāo)號(hào)，則試驗(yàn)的樣本空間=（1，2），（1，3

19、），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）事件R1=“第一次摸到紅球”，即x1=1或2于是R1=（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3）事件R2=“第二次摸到紅球”，即x2=1或2于是R2=（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（3，2），（4，2）同理，有于是R=（1，2），（2，1）,G=（3，4），（4，3），M=（1，2），（2，1）,(3，4),(4，3)N=（1，3），（1，4）,(2，3),(2，4)，(3，1),(3，2),(4，1),(4，2)小試牛刀1、在

20、某次考試成績(jī)中（滿分為100分），下列事件的關(guān)系是什么？ A1=70分80分，A2=70分以上 ； B1=不及格，B2=60分以下 ； C1=95分以上，C2=90分95分； D1=80分100分，D2=0分80分。解：A2包含A1 相等互斥 對(duì)立2、判斷下面給出的每對(duì)事件是否是互斥事件或互為對(duì)立事件。從40張撲克牌（四種花色從110 各10 張）中任取一張“抽出紅桃”和“抽出黑桃”“抽出紅色牌”和“抽出黑色牌”“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”和“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”解：互斥但不對(duì)立 對(duì)立既不互斥也不對(duì)立 3、從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點(diǎn)數(shù)從110各10張)中，任取一張(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”判斷上面給出的每對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說明理由解：（1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”互斥但不對(duì)立；因?yàn)槌槌黾t桃和抽出黑桃不會(huì)同時(shí)發(fā)生，即互斥；但除了紅桃和黑桃還有方塊和梅花，即不對(duì)立。(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”對(duì)立；因?yàn)榧t色牌和黑色牌不可能同時(shí)抽取到，而且只有紅色和黑色兩種顏色的牌，所以對(duì)立。(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”既不互斥也不對(duì)立；如果抽出的牌是10，既滿足大于9又滿足是5的倍數(shù)，也就是說可以同時(shí)發(fā)生，所以既不互斥