利用期望與方差的性質(zhì)求期望或方差

1、利用期望與方差的性質(zhì)求期望或方差2022/9/3第1頁，共15頁，2022年，5月20日，13點54分，星期一2E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) E (X Y ) = E (X )E (Y ) .數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)E (aX ) = a E (X ) E (C ) = C 當(dāng)X ,Y 相互獨立時，第2頁，共15頁，2022年，5月20日，13點54分，星期一3性質(zhì) 4 的逆命題不成立，即若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互獨立.反例X Y pij-1 0 1-1 0 10p jpi注第3頁，共15頁，2022年，5月20日，13點54分，星期一4X

2、Y P -1 0 1但第4頁，共15頁，2022年，5月20日，13點54分，星期一5若X 0，且EX 存在，則EX 0。推論: 若 X Y，則 EX EY。證明：設(shè) X 為連續(xù)型，密度函數(shù)為f (x), 則由X 0 得：所以證明：由已知 Y - X0，則 E(Y - X) 0。而E(Y - X) = E(Y)-E(X), 所以，E(X) E(Y)。第5頁，共15頁，2022年，5月20日，13點54分，星期一6性質(zhì)2和3性質(zhì)4例1.設(shè) XN(10,4)，YU1,5，且X與Y相互獨立，求 E(3X2XYY5)。 解：由已知， 有 E(X)10, E(Y)3.第6頁，共15頁，2022年，5月2

3、0日，13點54分，星期一7例2.(二項分布 B(n,p) 設(shè)單次實驗成功的概率是 p，問n次獨立重復(fù)試驗中，期望幾次成功？解: 引入則 X X1+ X2 + Xn 是n次試驗中的成功次數(shù)。因此，這里， XB(n,p)。第7頁，共15頁，2022年，5月20日，13點54分，星期一8例3.將4 個可區(qū)分的球隨機(jī)地放入4個盒子中,每盒容納的球數(shù)無限,求空著的盒子數(shù)的數(shù)學(xué)期望. 解一:設(shè) X 為空著的盒子數(shù), 則 X 的概率分布為X P0 1 2 3第8頁，共15頁，2022年，5月20日，13點54分，星期一9解二: 再引入 X i , i = 1,2,3,4.Xi P 1 0第9頁，共15頁，

4、2022年，5月20日，13點54分，星期一10若X的取值比較分散，則方差較大.刻劃了隨機(jī)變量的取值相對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度。若X的取值比較集中，則方差較??；Var(X)=EX-E(X)2 方差第10頁，共15頁，2022年，5月20日，13點54分，星期一11注意： 1) Var(X)0，即方差是一個非負(fù)實數(shù)。2）當(dāng)X 服從某分布時，我們也稱某分布的方差為Var(X)。方差是刻劃隨機(jī)變量取值的分散程度的一個特征。第11頁，共15頁，2022年，5月20日，13點54分，星期一12方差的計算公式常用的公式：證明:第12頁，共15頁，2022年，5月20日，13點54分，星期一13例1. 已知 X 的密度函數(shù)為其中 A，B 是常數(shù)，且 E( X) = 0.5. 求 A，B.(2)設(shè) Y=X2, 求 E(Y), D(Y).第13頁，共15頁，2022年，5月20日，13點54分，星期一14解: (1)第14頁，共15頁，2022年，5月20日，1