兩角和與差的三角函數(shù)公式的證明

1、-可編輯修改-兩角和與差的三角函數(shù)公式的證明三角函數(shù)數(shù)學兩角和與差單位圓托勒密定理利用單位圓方法證明sin(a+B)二與cos(a+B)二，是進一步證明大部分三角函數(shù)公式的基礎(chǔ)。1、sin(a+B)二sinacosB+cosasin3在笛卡爾坐標系中以原點O為圓心作單位圓，在單位圓中作以下線段：如圖中所示，容易看出：sin(a+B)二CF；sina二AB；cosa=OB；sinB二CD；cosB=OD則：=鈕（0+0）v:vs門HEE3=xOBxCDSCSB”=cosczsin0-5：4SAEOAD+EDI=卜06血+；磁”=Xcos/?Xsilltz+Qmq+j于是=(-xcosaxsin-

2、i)+(|xco3xsiiiaf-biJ爲沁=G到了這里.我們算來看看故近和氏貶有怎樣的捷系：+容劇看出，Sbd=S.abc=AS-QAD+OCB+、注AEE)中朋=i1AD=-1-siii(90:-(Z+/?)=t-cos：(tz+0)Sa0CSD二OCxOD二cosa疋cosp2,cos(if+=cosacos-smcrsin在雷卡爾坐標系中歐廉點o為圓匕柞單惶圓.在單惶圓中柞歐下線段如國中所示.容晶看出cos(作半B)=cosucos3-sinasinB遷辺=xODxAD=sm0cos戸-xQCxCD=cosorsina人COS（+/）=COSaCG/?-ijilltfriilJ/j至于

3、沢=-x(ED-AD)x(EC-BC)2=(cosa-sin/5)(cos0gin)=(.cosacossinarcosor-smcos戸+亂門esinQ總結(jié)以上式孑.可帚尸co(z+0)=cosa+-cogzsinasilldc餉oJ由ii0?o詁0+sincoeg-0）=cosacosinasinp,只要將沁肚-越中的換成一小即可.，至于還否可臥用幾何方式束證明.我百思未呆、不知有沒有人能夠用幾何方式證明它勺丄玉至于狂切.余切的公貳就更容易了.只要用1E聽、余弦互相除就可以了円平面幾何的證明方法：如圖所示，過程見下面的【評論】中新浪網(wǎng)友的提示（非常感謝這位網(wǎng)友的提示，讓我們看到了證明一個定

4、理的多種途徑，真是妙不可言?。ヽBAD附：如何證明托勒密定理？見 HYPERLINK /69610635.html /69610635.html HYPERLINK /b/2459822.html /b/2459822.html托勒密（Ptolemy）定理指出，圓內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。原文：圓內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)（具體的推導(dǎo)方法詳見數(shù)學目錄下的博文，來自網(wǎng)友的提供?。┧悸罚和欣彰芏ɡ碓谄矫鎺缀沃泻?/p>

5、赫有名，其難點在于：把一條對角線分割成兩條線段DE和BE。第一步證明一對旋轉(zhuǎn)的三角形相似：ABEsACD；第二步還需要證一對旋轉(zhuǎn)的三角形相似厶ADEsACB；只有這兩對相似的三角形出來了才能得到結(jié)論。證明：以AB為邊，作一個角等于已知角：即ZBAE=ZDAC；在ABE和ACD中，zbae=zdac；zabe=zacd；ABEsAACD；abdc=beaczbae=zdac；zdae=zcab；在ade和acb中，zade=zacb；ZDAE二ZCAB；ADEsACB；ADBC=DEAC+得：ABDC+ADBC=BEAC+DEAC=(BE+DE)AC=BDAC。結(jié)論：該命題對于圓內(nèi)接的任意四邊形都成立。最初是由數(shù)學家托勒密想出來的叫做托勒密定理?！爱斈阌龅紸BDC+ADBC=ACBD這樣的等積式時，如果等式左邊可以合二為一，則考慮證一對三角形相似，否則，