完全平方數(shù)大全

1、完全平方數(shù)目錄一、 HYPERLINK /link?url=XW91OWf-sEKybuOCwe9SRwcLiNoMW-mXSj8eQi6Gtx4zdisz2DNtU2GL4XwVnR5h l 1#1 定義二、基礎(chǔ) HYPERLINK /link?url=XW91OWf-sEKybuOCwe9SRwcLiNoMW-mXSj8eQi6Gtx4zdisz2DNtU2GL4XwVnR5h l 2#2 性質(zhì)及推論三、 HYPERLINK /link?url=XW91OWf-sEKybuOCwe9SRwcLiNoMW-mXSj8eQi6Gtx4zdisz2DNtU2GL4XwVnR5h l 3#3 重要

2、結(jié)論四、區(qū)別五、特殊的完全平方數(shù)六、 HYPERLINK /link?url=XW91OWf-sEKybuOCwe9SRwcLiNoMW-mXSj8eQi6Gtx4zdisz2DNtU2GL4XwVnR5h l 5#5 范例 HYPERLINK /link?url=XW91OWf-sEKybuOCwe9SRwcLiNoMW-mXSj8eQi6Gtx4zdisz2DNtU2GL4XwVnR5h l 5_1#5_1 例1 HYPERLINK /link?url=XW91OWf-sEKybuOCwe9SRwcLiNoMW-mXSj8eQi6Gtx4zdisz2DNtU2GL4XwVnR5h l 5_

3、2#5_2 例2 HYPERLINK /link?url=XW91OWf-sEKybuOCwe9SRwcLiNoMW-mXSj8eQi6Gtx4zdisz2DNtU2GL4XwVnR5h l 5_3#5_3 例3 HYPERLINK /link?url=XW91OWf-sEKybuOCwe9SRwcLiNoMW-mXSj8eQi6Gtx4zdisz2DNtU2GL4XwVnR5h l 5_4#5_4 例4 HYPERLINK /link?url=XW91OWf-sEKybuOCwe9SRwcLiNoMW-mXSj8eQi6Gtx4zdisz2DNtU2GL4XwVnR5h l 5_5#5_5

4、例5 HYPERLINK /link?url=XW91OWf-sEKybuOCwe9SRwcLiNoMW-mXSj8eQi6Gtx4zdisz2DNtU2GL4XwVnR5h l 5_6#5_6 例6 HYPERLINK /link?url=XW91OWf-sEKybuOCwe9SRwcLiNoMW-mXSj8eQi6Gtx4zdisz2DNtU2GL4XwVnR5h l 5_7#5_7 例7 HYPERLINK /link?url=XW91OWf-sEKybuOCwe9SRwcLiNoMW-mXSj8eQi6Gtx4zdisz2DNtU2GL4XwVnR5h l 5_8#5_8 例8七、討論

5、題一、定義及表達(dá)式1、定義：若一個數(shù)能表示成某個整數(shù)的平方，則稱這個數(shù)為完全平方數(shù)，也叫平方數(shù)。1.1例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529，2、標(biāo)準(zhǔn)分解式：大于1的平方數(shù)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式如下： （1）其中是質(zhì)數(shù)，是自然數(shù)。2.1例如：二、基礎(chǔ)性質(zhì)及推論觀察0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529，完全平方數(shù)，可以獲得對它們的個位數(shù)、十位數(shù)、數(shù)字和

6、等的規(guī)律性的認(rèn)識。下面我們來研究完全平方數(shù)的一些常用性質(zhì)：1、性質(zhì)1：末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9.（此為完全平方數(shù)的必要不充分條件）證明：設(shè)為完全平方數(shù)，是的個位數(shù)，則的個位數(shù)與的個位數(shù)相同。利用整數(shù)同余的知識有如果，那么又的全體是集合，的全體是，的個位數(shù)全體是。所以平方數(shù)末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9.2、性質(zhì)2：奇數(shù)的平方的個位數(shù)字一定是奇數(shù)，偶數(shù)的平方的個位數(shù)一定是偶數(shù)。證明 奇數(shù)必為下列五種形式之一：分別平方后，得綜上各種情形可知：奇數(shù)的平方，個位數(shù)字為奇數(shù)1,5,9；十位數(shù)字為偶數(shù)。3、性質(zhì)3：如果十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的 HYPERLINK /view/2733319.h

7、tm t _blank 個位數(shù)字一定是6；反之也成立證明 已知，證明k為奇數(shù)。因為k的 HYPERLINK /view/1521161.htm t _blank 個位數(shù)為6，所以m的個位數(shù)為4或6，于是可設(shè)m=10n+4或10n+6。則或 即 或 k為奇數(shù)。推論1：如果一個數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，而個位數(shù)字不是6，那么這個數(shù)一定不是完全平方數(shù)。推論2：如果一個完全平方數(shù)的個位數(shù)字不是6，則它的十位數(shù)字是偶數(shù)。4、性質(zhì)4：偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)；奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1。證明：這是因為 5、性質(zhì)5：奇數(shù)的平方是8n+1型；偶數(shù)的平方為8n或8n+4型。在性質(zhì)4的證明中，由k(k+1）一定為偶數(shù)可得到

8、是8n+1型的數(shù)；由為奇數(shù)或偶數(shù)可得（2k)2為8n型或8n+4型的數(shù)。6、性質(zhì)6：形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。因為自然數(shù)被3除按余數(shù)的不同可以分為三類：3m,3m+1,3m+2。平方后，分別得同理可以得到：7、性質(zhì)7：不是5的因數(shù)或倍數(shù)的數(shù)的平方為型，是5的因數(shù)或倍數(shù)的數(shù)為型。證明：自然數(shù)被5除按余數(shù)的不同可以分為五類：為自然數(shù)。，.8、性質(zhì)8：形式具有下列形式之一：16k,16k+1,16k+4,16k+9.證明：自然數(shù)被8除按余數(shù)的不同可以分為八類：，為自然數(shù)。除了上面關(guān)于個位數(shù)，十位數(shù)和余數(shù)的性質(zhì)之外，還可研究完全平方數(shù)各位數(shù)字之和。例如，256它的各位數(shù)字相加為2+5+6=

9、13，13叫做256的各位數(shù)字和。如果再把13的各位數(shù)字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位數(shù)字的和。下面我們提到的一個數(shù)的各位數(shù)字之和是指把它的各位數(shù)字相加，如果得到的數(shù)字之和不是一位數(shù)，就把所得的數(shù)字再相加，直到成為一位數(shù)為止。我們可以得到下面的命題：一個數(shù)的數(shù)字和等于這個數(shù)被9除的余數(shù)。下面證明這個命題。證明：設(shè)自然數(shù) 是之一，那么是9的倍數(shù)。即關(guān)于完全平方數(shù)的數(shù)字和有下面的性質(zhì)：9、性質(zhì)9：數(shù)字之和只能是0,1,4,7,9。證明 因為一個整數(shù)被9除只能是9k,9k1,9k2,9k3,9k4這幾種形式，而除了以上幾條性質(zhì)以外，還有下列重要性質(zhì)：10、性質(zhì)10：（是自然數(shù)）為完全平方

10、數(shù)的充分必要條件是b為完全平方數(shù)。證明 充分性：設(shè)b為完全平方數(shù)，則有 是那么 是完全平方數(shù)。必要性：若為完全平方數(shù)，則有，則有是的倍數(shù)，從而是的倍數(shù)，設(shè)，則有，推出是完全平方數(shù)。11、性質(zhì)11：如果質(zhì)數(shù)p能整除a，但p的平方不能整除a，則a不是完全平方數(shù)。證明 由題設(shè)可知，a有質(zhì)因數(shù)p，但無因數(shù)，可知a分解成標(biāo)準(zhǔn)式時，p的次方為1，而完全平方數(shù)分解成標(biāo)準(zhǔn)式時，各質(zhì)因數(shù)的次方均為偶數(shù)，可見a不是完全平方數(shù)。性質(zhì)12：在兩個相鄰的整數(shù)的平方數(shù)之間的所有整數(shù)都不是完全平方數(shù)。即若 則k一定不是整數(shù)。13、性質(zhì)13：一個正整數(shù)n是完全平方數(shù)的 HYPERLINK /view/656995.htm t

11、 _blank 充分必要條件是n有奇數(shù)個正因數(shù)（包括1和n本身）。證明一：設(shè)完全平方數(shù)，由初等數(shù)論知識得，的正因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)。反之，自然數(shù)的正因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，則均為偶數(shù)。從而是完全平方數(shù)。證明二：設(shè)完全平方數(shù)，那么每個小于的正因數(shù)，都有一個大于的正因數(shù)與之對應(yīng)，這樣的正因數(shù)就有偶數(shù)個，最后還有1個正因數(shù)，從而n有奇數(shù)個正因數(shù)。三、重要結(jié)論個位數(shù)是2,3,7,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)。由性質(zhì)1得到。個位數(shù)和十位數(shù)都是 HYPERLINK /view/20853.htm t _blank 奇數(shù)的 HYPERLINK /view/46911.htm t _blank 整數(shù)一定不是完全平方數(shù)。由

12、性質(zhì)2得到。個位數(shù)是6，十位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)。由性質(zhì)3得到形如3n+2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；形如4n+2和4n+3型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；形如5n2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；數(shù)字和是2,3,5,6,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)。 HYPERLINK /view/2393846.htm t _blank 四平方和定理：每個正整數(shù)均可表示為4個整數(shù)的平方和完全平方數(shù)的因數(shù)個數(shù)一定是奇數(shù)。11、如果自然數(shù)，且是10的倍數(shù)，那么的個位數(shù)與的個位數(shù)相同?；蛘吒话愕挠校喝绻匀粩?shù)，且是的倍數(shù)，那么的

13、末尾k位數(shù)與的的末尾k位數(shù)相同?；蛘呷缦聲鴮懀喝绻敲醋C明1（由整數(shù)同余式的性質(zhì)立即可以得到）證明2：已知，那么是的倍數(shù)，從而的末尾k位數(shù)與的的末尾k位數(shù)相同。四、平方式和完全平方數(shù)的區(qū)別完全平方式分兩種：1、完全平方和公式，2、完全平方差公式區(qū)別：完全平方式是代數(shù)式，完全平方數(shù)是自然數(shù)。五、特殊的完全平方數(shù)1、雷劈數(shù)，或名 HYPERLINK /view/8310762.htm t _blank 卡布列克數(shù)定義為：若正整數(shù)X（在n進(jìn)位下）的平方可以分割為二個數(shù)字，而這二個數(shù)字相加后恰等于X，那么X就是（n進(jìn)位下的）卡布列克數(shù)。例如552=3025，而30+25=55。印度數(shù)學(xué)家卡普列加（Da

14、ttaraya Ramchandra Kaprekar, 1905 - 1986）在一次旅行中，遇到猛烈的暴風(fēng)雨，他看到路邊一塊牌子被劈成了兩半：一半上寫著30，另一半寫著25。這時，卡布列克忽然發(fā)現(xiàn)30+25=55，552=3025，把劈成兩半的數(shù)加起來，再平方，正好是原來的數(shù)字。從此他就專門搜集這類數(shù)字。按照第一個發(fā)現(xiàn)者的名字，這種怪?jǐn)?shù)被命名為“卡普列加數(shù)”或“雷劈數(shù)”或“卡布列克怪?jǐn)?shù)”，也叫“分和累乘再現(xiàn)數(shù)”。卡氏數(shù)可以指平方后的數(shù)，亦可指平方前的數(shù)，常常不加區(qū)分。求法人們?nèi)菀渍业狡渌臄?shù)也具有這樣的性質(zhì)。例如，易知2025具有該性質(zhì)：20+25=45，452=2025。求雷劈數(shù)的方法很

15、多，從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)，應(yīng)有盡有。以下是兩種最簡單的辦法（以兩位數(shù)+兩位數(shù)為例）：方法一設(shè)該數(shù)的前兩位為x，后兩位為y，根據(jù)定義，有(x + y)2 = 100 x + y即 x2 + 2(y - 50)x + y2 - y = 0。該方程的判別式D=4(2500 - 99y)必須是完全平方數(shù)，而y本身也必須是平方數(shù)的尾數(shù)，故可求得y等于1或25，從而求得四個結(jié)果2025，3025，9801和0001（舍去）。方法二同樣設(shè)該數(shù)的前兩位為x，后兩位為y。于是有(x + y)2 = 100 x + y = x + y + 99x(x + y)(x + y - 1) = 99x從而看出x + y與

16、x + y - 1中有一個是9的倍數(shù)，另一個是11的倍數(shù)（當(dāng)然依照位數(shù)不同，也可能是別的因數(shù)），從而找出候補者44，55和99。下略。用以上方法，亦可找到其他位數(shù)的雷劈數(shù)，如77772 = 60481729；6048 + 1729 = 7777。目前最小的雷劈數(shù)是81簡單性質(zhì)一般而言，考察雷劈數(shù)時，一般不考慮分割后的一部分全部為0的情況（如10+0）。亦不考慮由0開始的數(shù)字（如0+1）。最小的奇雷劈數(shù)是92 = 81。最小的雷劈偶數(shù)是100:10+0=10 10=100如果M2是雷劈數(shù)，那么(10.0 - M)2也是雷劈數(shù).證明：設(shè)M2是雷劈數(shù)，可以分割成x和y兩部分，且M=x+y，y為n位數(shù)

17、，則M2=10n*x+y（雷劈數(shù)定理）然而(10n-M)2=10(2n)-2M*10n+M2=10(2n)-2M*10n+10n*x+y=10(2n)-2M*10n+10n*(M-y)+y=10n*(10n-M-y)+y同樣滿足雷劈數(shù)方程。在二進(jìn)制下，所有的完全數(shù)都是卡布列克數(shù)（同雷劈數(shù)）。雷劈數(shù)表以下用x|y表示一個平方數(shù)N可以分割為x和y兩部分，(x + y)2 = N。y是一位數(shù)：10 x + y = (x + y)2N=0|0, 10|0, 0|1, 8|1有意義的數(shù)只有92 = 81。y是兩位數(shù)：100 x + y = (x + y)202 = 0|00, 1002 = 100|00

18、452 = 20|25, 552 = 30|25992 = 98|01, 12 = 0|01其中有意義的數(shù)是452=2025, 552=3025。0|0.0, 0|0.1, 10.0|0.0這三種屬于平凡解，下略。根據(jù)上節(jié)的性質(zhì)，雷劈數(shù)必然成對存在；但9.98|0.01是比較特殊的一類，與其成對的0|0.1屬于平凡解。y是三位數(shù)：1000 x + y = (x + y)22972 = 88|2097032 = 494|2099992 = 998|001y是四位數(shù)：10000 x + y = (x + y)222232 = 494|172977772 = 6048|172927282 = 744

19、|198472722 = 5288|198449502 = 2450|250050502 = 2550|250099992 = 9998|0001y是五位數(shù)：100000 x + y = (x + y)2951212 = 90480|0464148792 = 238|04641826562 = 68320= 3008= 60494= 4938= 99998|00001y是六位數(shù)：1000000 x + y = (x + y)29947082 = 989444|005264, 52922 =

20、28|0052649610382 = 923594|037444, 389622 = 1518|0374448571432 = 734694|122449, 1428572 = 20408|1224498518512 = 725650|126201, 1481492 = 21948|1262018181812 = 669420|148761, 1818192 = 33058|1487618128902 = 660790|152100, 1871102 = 35010|1521007915052 = 626480|165025, 2084952 = 43470|1650256813182 = 4

21、64194|217124, 3186822 = 101558|2171246700332 = 448944|221089, 3299672 = 108878|2210896486482 = 420744|227904, 3513522 = 123448|2279046433572 = 413908|229449, 3566432 = 127194|2294496096872 = 371718|237969, 3903132 = 152344|2379695384612 = 289940|248521, 4615392 = 213018|2485215331702 = 284270|248900

22、, 4668302 = 217930|2489005005002 = 250500|250000, 4995002 = 249500|2500009999992 = 999998|0000012、對稱的完全平方數(shù)例如（1）,（2），,（3），3、完全平方數(shù)與自反數(shù)例如：（1），（2），（3）(4) (5) 4、由0,1,2,3,4五個連續(xù)自然數(shù)組成的五位平方數(shù)六、范例1、例1一個自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。解：設(shè)此自然數(shù)為x，依題意可得x-45=m2 x+44=n2 （m,n為自然數(shù)）-可得 :因為n+mn-m又因為89為質(zhì)數(shù)，所以：n+m=89; n-m=1解之，得n=

23、45。代入得。故所求的自然數(shù)是1981。2、例2求證：四個連續(xù)的整數(shù)的積加上1，等于一個奇數(shù)的平方（1954年 HYPERLINK /view/77165.htm t _blank 基輔數(shù)學(xué)競賽題）。解：設(shè)四個連續(xù)整數(shù)分別為n-1、n、n+1、n+2.這時， (1)易知該式可被分解為兩個二次因式的乘積，設(shè)為 得ad=1,ae+bd=2,af+be+cd=-1,bf+ce=-2,cf=1，解得a=d=e=b=1,c=f=-1故(1)可被分解為 ，因為n與n+1是連續(xù)兩個整數(shù)，故n(n+1)為偶數(shù)，所以n(n+1)-1為奇數(shù)，即(n-1)n(n+1)(n+2)+1為一個奇數(shù)的平方。3、例3求證：1

24、1,111,1111，11111這串?dāng)?shù)中沒有完全平方數(shù)（1972年基輔數(shù)學(xué)競賽題）。解：易知該串?dāng)?shù)中若存在完全平方數(shù)，則為末尾是1或9的數(shù)的平方。當(dāng)該串?dāng)?shù)中存在末尾為1的數(shù)的平方時，則 ，其中n、k為正整數(shù)。但 ，易知n2需滿足十位數(shù)為偶數(shù)，矛盾。當(dāng)該串?dāng)?shù)中存在末尾為1的數(shù)的平方時，則 ，其中n、k為正整數(shù)。但 ，易知n2需滿足十位數(shù)為偶數(shù)，矛盾。4、例4用300個2和若干個0組成的整數(shù)有沒有可能是完全平方數(shù)？解：設(shè)由300個2和若干個0組成的數(shù)為A，則其數(shù)字和為6003|600 3|A此數(shù)有3的因數(shù)，故9|A。但9|600，矛盾。故不可能有完全平方數(shù)。5、例5試求一個四位數(shù)，它是一個完全平方數(shù)，并且它的前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字也相同（1999小學(xué)數(shù)學(xué)世界邀請賽試題）。解：設(shè)該四位數(shù)為1000a+100a+10b+b，則1000a+100a+10b+b=1100a+11b =11（100a+b）故100a+b必須被11整除=a+b被11整除，又因為(a+b)18所以a+b=11，帶入上式得 四位數(shù)=11（a100+（11a