高中數(shù)學(xué)必修二 山東省濟寧市-學(xué)年度第二學(xué)期質(zhì)量檢測高一期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

1、2019-2020學(xué)年度第二學(xué)期質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)試題第卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1. 已知向量，且與共線，則實數(shù)x的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求出，然后根據(jù)與共線建立方程求解即可.【詳解】因為，所以因為與共線，所以，解得故選：A【點睛】本題考查的是向量共線在坐標(biāo)形式下的表示，屬于基礎(chǔ)題.2. 一梯形的直觀圖是如圖所示的等腰梯形，且直觀圖的面積為1，則原梯形的面積為（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則將圖還原，平面圖是一

2、個直角梯形，從而可求出其面積【詳解】解：把該梯形的直觀圖還原為原來的梯形，如圖所示，設(shè)原來梯形的上底為，下底為，高為，則直觀圖中等腰梯形的高為，因為直觀圖的面積為，所以，所以原梯形的面積為，故選：D【點睛】此題考查了平面圖形的直觀圖的畫法與應(yīng)用問題，掌握斜二測畫法的作圖規(guī)則是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題3. 設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，下列命題正確的是（ ）A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則【答案】D【解析】【分析】A. 由或異面判斷；B.由或相交判斷；C.由則或判斷；D. 由面面垂直的性質(zhì)判斷.【詳解】A. 若，則或異面，故錯誤；B.若，則或相交，故錯誤；C.若，則或，故錯誤

3、；D. 若，則，又，所以，故正確.故選：D【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，還考查了空間想象和邏輯推理的能力，屬于中檔題.4. 已知某人射擊每次擊中目標(biāo)的概率都是0.5，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1，2，3，4表示擊中目標(biāo)，5，6，7，8，9表示未擊中目標(biāo)；因為射擊3次，故每3個隨機數(shù)為一組，代表3次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)；據(jù)此估計，其中3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率約為（ ）A. 0.45B. 0.5C. 0.55D. 0.6【答案】C【解析】【分析】這是

4、一個古典概型，已知基本事件的總數(shù)為20種，然后從中找出3次射擊至少2次擊的基本事件的種數(shù)，代入公式求解.【詳解】基本事件的總數(shù)為20種，其中3次射擊至少2次擊的基本事件有162 151 271 932 408 471 333 027 730 163 039共11種，所以3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率約為故選：C【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法，屬于基礎(chǔ)題.5. 將一個棱長為3cm的正方體鐵塊磨成一個球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，球體最大體積直徑為棱長，利用球的體積公式即可求解.【詳解】正方體的棱長為3cm，所以球體

5、最大體積的半徑，所以球的體積：.故選：B【點睛】本題考查了正方體的內(nèi)切球、球的體積公式，考查了基本運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6. 已知正四棱柱中，則直線和所成的角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】以點為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量求出答案即可.【詳解】如圖，以點為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為正四棱柱中，所以所以所以，所以直線和所成的角的余弦值為故選：A【點睛】本題考查的是異面直線所成角的求法，考查了學(xué)生的基礎(chǔ)水平，屬于基礎(chǔ)題.7. 在平行四邊形中，若交于點M.且，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析

6、】根據(jù)已知找到相似三角形，用向量、線性 表示向量.【詳解】如圖，平行四邊形中，.故選：B【點睛】此題考查平面向量的線性運算，屬于中檔題.8. “幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo).常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.甲、乙兩位同學(xué)分別隨機抽取10位本地市民調(diào)查他們的幸福感指數(shù)，甲得到十位市民的幸福感指數(shù)為5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指數(shù)的平均數(shù)為8、方差為2.2，則這20位市民幸福感指數(shù)的方差為（ ）A. 1.75B. 1.85C. 1.95D. 2.05【答案】C【解析】【分析】設(shè)乙得到十位市民的幸福感指

7、數(shù)分別為，根據(jù)這10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8、方差為2.2可得，再根據(jù)方差的公式可求20個數(shù)據(jù)的方差.【詳解】設(shè)甲得到的十位市民的幸福感指數(shù)分別為，乙得到十位市民的幸福感指數(shù)分別為，故這20位市民的幸福感指數(shù)的方差為，因為乙得到十位市民的幸福感指數(shù)的平均數(shù)為8、方差為2.2，故，而，故，而，故所求的方差為，故選：C.【點睛】本題考查方差的計算，注意樣本數(shù)據(jù)的方差為，也可以是，本題屬于中檔題.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.9. 若復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）A. B. z的實部為1C. D

8、. 【答案】BC【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的運算求出復(fù)數(shù)z，然后逐個分析判斷即可【詳解】解：由，得，所以z的實部為1，故選：BC【點睛】此題考查復(fù)數(shù)的運算，考查復(fù)數(shù)的模，考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，考查共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題10. 是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. 是單位向量B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】A. 根據(jù)是邊長為2的等邊三角形和判斷；B.根據(jù)，利用平面向量的減法運算得到判斷；C. 根據(jù)，利用數(shù)量積運算判斷；D. 根據(jù)， ，利用數(shù)量積運算判斷.【詳解】A. 因為是邊長為2的等邊三角形，所以，又，所以 是單位向量，故正確；B. 因為，所以，所以

9、，故正確；C. 因，所以，故錯誤；D. 因為， ，所以，所以，故正確.故選：ABD【點睛】本題主要考查平面向量的概念，線性運算以及數(shù)量積運算，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.11. 分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（六個面上的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），設(shè)事件“第一枚骰子的點數(shù)為奇數(shù)”，事件“第二枚骰子的點數(shù)為偶數(shù)”，則（ ）A. M與N互斥B. M與N不對立C. M與N相互獨立D. 【答案】BCD【解析】【分析】相互獨立事件，互斥事件，對立事件，利用定義即可以逐一判斷四個選項正誤.【詳解】對于選項A：事件與是可能同時發(fā)生的，故與不互斥，選項A不正確；對于選項：事件與不互斥，不是對立事件

10、，選項正確；對于選項：事件發(fā)生與否對事件發(fā)生的概率沒有影響，與相互獨立.對于選項：事件發(fā)生概率為 ，事件發(fā)生的概率，選項正確.故選：【點睛】本題主要考查了相互獨立事件，互斥事件，對立事件，以及隨機事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.12. 已知正方體的棱長為2，點O為的中點，若以O(shè)為球心，為半徑的球面與正方體的棱有四個交點E，F(xiàn)，G，H，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. 平面B. 平面C. 與平面所成的角的大小為45D. 平面將正方體分成兩部分的體積的比為【答案】ACD【解析】【分析】如圖，計算可得分別為所在棱的中點，利用空間中點線面的位置關(guān)系的判斷方法可判斷A、B的正確與否，計算出直線與平面所成的角為后可得

11、C正確，而幾何體為三棱柱，利用公式可求其體積，從而可判斷D正確與否.【詳解】如圖，連接，則，故棱與球面沒有交點.同理，棱與球面沒有交點.因為棱與棱之間的距離為，故棱與球面沒有交點.因為正方體的棱長為2，而，球面與正方體的棱有四個交點E，F(xiàn)，G，H，所以棱與球面各有一個交點， 如圖各記為.因為為直角三角形，故，故為棱的中點.同理分別為棱的中點.由正方形、為所在棱的中點可得，同理，故，故共面.由正方體可得，故因為平面，平面，故平面，故A正確.因為在直角三角中， ，與不垂直，故與不垂直，故平面不成立，故B錯誤.由正方體可得平面，而平面，所以，所以在正方形中，因為分別為的中點，故，因為，故平面，所以為

12、直線與平面所成的角，而，故直線與平面所成的角為，因為，故與平面所成的角的大小為45.故C正確.因為分別為所在棱的中點，故幾何體為三棱柱，其體積為，而正方體的體積為8，故平面將正方體分成兩部分的體積的比為，故D正確.故選：ACD.【點睛】本題考查空間中線面位置的判斷、空間角的計算和體積的計算，注意根據(jù)球的半徑確定哪些棱與球面有交點，本題屬于中檔題.第卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 在平行四邊形中，對角線與相交于點O，若向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是_.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由求解.【詳解】因為向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，

13、所以故答案為：【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義以及平面向量的減法運算，屬于基礎(chǔ)題.14. 若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為 .【答案】【解析】【詳解】由面積為的半圓面，可得圓的半徑為2，即圓錐的母線長為2.圓錐的底面周長為.所以底面半徑為1.即可得到圓錐的高為.所以該圓錐的體積為.15. 如圖，要計算某湖泊岸邊兩景點B與C的距離，由于受地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點，現(xiàn)測得，則兩景點B與C的距離為_km.【答案】【解析】【分析】在中，根據(jù)，由余弦定理解得，然后在中，利用正弦定理 求解.【詳解】在中，因為，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），在中，因為，所以，由

14、正弦定理得： ，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.16. 在中，E，F(xiàn)是邊的三等分點，若，則_【答案】【解析】【分析】以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABCD，根據(jù)，得到， 再根據(jù)，得到平行四邊形ABCD是菱形，則，設(shè)，利用勾股定理分別求得，的長度，在中利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABCD，則，因為，所以，設(shè)，則，因為，所以平行四邊形ABCD是菱形，所以，所以，所以，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的平行四邊形法則以及余弦定理的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題

15、.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.（1）求的值；（2）若，求的周長.【答案】（1）；（2）9.【解析】【分析】（1）由正弦定理以及兩角和的正弦公式，再結(jié)合，即可得的值.（2）利用向量數(shù)量積定義知，可得，再利用余弦定理，可求，即可得周長.【詳解】（1）由正弦定理，得.，即又，.（2）由余弦定理，得即解得.的周長為.【點睛】本題主要考查了正弦、余弦定理，兩角和的正弦公式，向量數(shù)量積的定義，屬于中檔題.18. 某中學(xué)高一年級舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，從中隨機抽取了一批學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?/p>

16、50至100之間，將數(shù)據(jù)按照，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示.（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計本次競賽成績的第80百分位數(shù)；（2）若按照分層隨機抽樣從成績在，的兩組中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求至少有1人的成績在內(nèi)的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)小矩形的面積代表概率，所以所有小矩形面積之和等于 ，即可得a的值，成績在以下的頻率為，成績在分以下的頻率為，第80百分位數(shù)，.（2）先利用頻率之比求出，的兩組中應(yīng)抽的人數(shù)，然后列出從這6人中隨機抽取2人包括的基本事件，至少有1人的成績在內(nèi)包括的基本事件，利用概率公式即可求概率.【詳解】（1）由題意可知，解得.

17、，成績在分以下的頻率為，成績在分以下頻率為，第80百分位數(shù)，.（2），的頻率之比為從中隨機抽取人.從中隨機抽取人.從中隨機抽取的4人記為1，2，3，4，從中隨凱抽取的2人記為a，b，從這6人中隨機抽取2人的樣木空間為，共有15個樣本點，.設(shè)事件“至少有1人的成績在內(nèi)”，則，共有9個樣本點.至少有1人的成績在內(nèi)的概率.【點睛】本題主要考查了用樣本估計總體，以及古典概率的計算，屬于中檔題.19. 如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面之間的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由平面，AE平面，且，即可證得平面平面；（2）

18、先將平面與平面之間的距離轉(zhuǎn)化為點B到面的距離，然后把當(dāng)作頂點求出總體積，再把當(dāng)作頂點利用等體積法建立方程，即可求出點到平面的距離【詳解】（1）證明：正方體中E，F(xiàn)分別為，的中點，=四邊形是平行四邊形.又平面，平，平面.，=四邊形是平行四邊形.又平向，平面，AE平面.又，平面平面.（2）平面與平面之間的距離也就是點B到面的距離，設(shè)為h，正方體的棱長為2，的面積三棱錐的體積，.又三棱錐的體積.由可得，解得.平面與平面之間的距離為.【點睛】此題考查空間位置關(guān)系、面面距離的計算、面面平行的判定、等體積求距離，考查推理能力和計算能力，屬于中檔題20. 如圖所示，在中，點D為邊上一點，且，.（1）求的長；

19、（2）若為銳角三角形，求的面積的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）在中，首先利用兩角差的正弦公式求出，再利用正弦定理即可求解. （2）的面積，設(shè)，由為銳角角形，即，即求.【詳解】解：（1）在中，.在中，由正弦定理，得，即.（2）由題設(shè)知的面積.在中，由正弦定理，得設(shè)，則.為銳角角形，又，.，從而.的面積的取值范圍是.【點睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式，考查了基本運算求解能力，屬于中檔題.21. 甲、乙兩人組成“星隊”進(jìn)行定點投籃比賽，在距籃筐3米線內(nèi)設(shè)一點M，在點M處投中一球得2分，不中得0分；在距籃筐3米線外設(shè)一點N，在點N處投中一球得3分，不中得0分.已知甲、乙兩人在M點投中的概率都為p，在N點投中的概率都為q.且在M，N兩點處投中與否互不影響.設(shè)定甲、乙兩人先在M處各投籃一次，然后在N處各投籃一次，甲、乙兩人的得分之和為“星隊”總得分.已知在一次比賽中甲得2分的概率為，乙得5分的概率為.（1）求p，q的值；（2）求“星隊”在一次比賽中的總得分為5分的概率.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，分別表示在一次比賽中甲得分的事件，分別表示在一次比賽中乙得分的事件，由題意結(jié)合在一次比賽中甲得2分的概率為，乙得5