高中數(shù)學(xué)必修二 第八章 8.3 8.3.1

1、8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積知識(shí)點(diǎn)一棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積知識(shí)點(diǎn)二棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積幾何體的體積1計(jì)算棱柱、棱錐和棱臺(tái)的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運(yùn)用多面體的有關(guān)截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題2在幾何體的體積計(jì)算中，體會(huì)并運(yùn)用“分割思想”“補(bǔ)體思想”及“等價(jià)轉(zhuǎn)化思想”1判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)棱臺(tái)的體積可由兩個(gè)棱錐的體積差得出()(2)棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是由若干個(gè)等腰梯形組成的()(3)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和()答案(1)(2)(3)2做一做(1)側(cè)面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長(zhǎng)為a時(shí)，該三棱錐的表面積是()A.e

2、q f(3r(3),4)a2 B.eq f(3,4)a2C.eq f(3r(3),2)a2 .eq f(6r(3),4)a2(2)長(zhǎng)方體同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別是3,4,5，則該長(zhǎng)方體的體積和表面積分別是_(3)已知棱臺(tái)的上、下底面面積分別為4,16，高為3，則該棱臺(tái)的體積為_(kāi)答案(1)A(2)60,94(3)28題型一 多面體的表面積例1現(xiàn)有一個(gè)底面是菱形的直四棱柱(側(cè)棱與底面垂直)，它的體對(duì)角線長(zhǎng)為9和15，高是5，求該直四棱柱的側(cè)面積解如圖，設(shè)底面對(duì)角線ACa，BDb，交點(diǎn)為O，對(duì)角線A1C15，B1D9，a252152，b25292，a2200，b256.該直四棱柱的底面是菱形，AB

3、2eq blc(rc)(avs4alco1(f(AC,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(BD,2)2eq f(a2b2,4)eq f(20056,4)64，AB8.該直四棱柱的側(cè)面積S485160.求多面體的表面積(1)對(duì)于簡(jiǎn)單幾何體，我們可利用公式，直接求出其表面積，而在求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割(或補(bǔ)全)成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求出這些基本的柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差，求出幾何體的表面積(2)求解棱錐的表面積時(shí)，注意棱錐的四個(gè)基本量：底面邊長(zhǎng)、高、斜高、側(cè)棱，并注意它們組成的直角三角形的應(yīng)用正三棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別是a和2a，高為eq f

4、(1,2)a，則正三棱臺(tái)的側(cè)面積為()Aa2 B.eq f(1,2)a2C.eq f(9,2)a2 D.eq f(3r(3),2)a2答案D解析如圖，O1，O分別為上，下底面的中心，D，D1分別為AC，A1C1的中點(diǎn)，在直角梯形ODD1O1中，ODeq f(1,3)eq f(r(3),2)2aeq f(r(3),3)a，O1D1eq f(1,3)eq f(r(3),2)aeq f(r(3),6)a，DEODO1D1eq f(r(3),6)a.在RtDED1中，D1Eeq f(a,2)，則D1Deq r(blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),6)a)2blc(rc)(avs4alco

5、1(f(a,2)2)eq r(f(1,12)a2f(a2,4)eq f(r(3),3)a，所以S棱臺(tái)側(cè)3eq f(1,2)(a2a)eq f(r(3),3)aeq f(3r(3),2)a2.題型二 多面體的體積例2如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDABCD中，用截面截下一個(gè)棱錐CADD，求棱錐CADD的體積與剩余部分的體積之比解解法一：設(shè)ABa，ADb，DDc，則長(zhǎng)方體ABCDABCD的體積Vabc，又SADDeq f(1,2)bc，且三棱錐CADD的高為CDa.所以V三棱錐CADDeq f(1,3)SADDCDeq f(1,6)abc.則剩余部分的體積V剩abceq f(1,6)abceq f(5,

6、6)abc.故V棱錐CADDV剩eq f(1,6)abceq f(5,6)abc15.解法二：已知長(zhǎng)方體可以看成側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ADDABCCB，設(shè)它的底面ADDA面積為S，高為h，則它的體積為VSh.而棱錐CADD的底面面積為eq f(1,2)S，高為h，因此，棱錐CADD的體積VCADDeq f(1,3)eq f(1,2)Sheq f(1,6)Sh.剩余部分的體積是Sheq f(1,6)Sheq f(5,6)Sh.所以棱錐CADD的體積與剩余部分的體積之比為eq f(1,6)Sheq f(5,6)Sh15.求多面體體積的常用方法正六棱錐(底面為正六邊形，頂點(diǎn)在底面的正投影為底面的中心

7、)PABCDEF中，G為PB的中點(diǎn)則三棱錐DGAC與三棱錐PGAC體積之比為()A11 B12 C21 D32答案C解析G為PB的中點(diǎn)，VPGACVPABCVGABC2VGABCVGABCVGABC.又多邊形ABCDEF是正六邊形，SABCeq f(1,2)SACD.VDGACVGACD2VGABC.VDGACVPGAC21.題型三 組合體的表面積與體積例3某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A54 B60 C66 D72解析根據(jù)幾何體的三視圖，可得該幾何體的直觀圖為如圖所示的幾何體ABCDEF，故其表面積為SSDEFSABCS梯形ABEDS梯形CBEFS矩形ACFDeq f(1

8、,2)35eq f(1,2)34eq f(1,2)(52)4eq f(1,2)(52)53560.答案B求組合體的表面積與體積的方法求組合體的表面積或體積的問(wèn)題，首先應(yīng)弄清它的組成，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個(gè)面應(yīng)該怎樣求，然后再根據(jù)公式求出各面的面積，最后再相加或相減求體積時(shí)也要先弄清組成，求出各簡(jiǎn)單幾何體的體積，然后再相加或相減若正方體的棱長(zhǎng)為eq r(2)，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為()A.eq f(r(2),6) B.eq f(r(2),3) C.eq f(r(3),3) D.eq f(2,3)答案B解析如圖所示，平面ABCD把該多面體分割成兩個(gè)體積相等的四棱錐以

9、正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體是由兩個(gè)全等的正四棱錐組合而成，該棱錐的高是正方體棱長(zhǎng)的一半，底面面積是正方體一個(gè)面面積的一半，則該凸多面體的體積為V2eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)r(2)r(2)eq f(r(2),2)eq f(r(2),3).1已知各面均為等邊三角形的四面體的棱長(zhǎng)為2，則它的表面積是()A2eq r(3) B4eq r(3)C4 D6答案B解析S表4eq f(r(3),4)224eq r(3).故選B.2底面為正方形的直棱柱，它的底面對(duì)角線長(zhǎng)為eq r(2)，體對(duì)角線長(zhǎng)為eq r(6)，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積是()A2 B4 C6

10、D8答案D解析由題意知，該幾何體為長(zhǎng)方體，底面正方形的邊長(zhǎng)為1，長(zhǎng)方體的高為eq r(62)2，故這個(gè)棱柱的側(cè)面積為1248.3已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC2，則此棱錐的體積為()A.eq f(r(2),6) B.eq f(r(3),6)C.eq f(r(2),3) D.eq f(r(2),2)答案A解析由于三棱錐SABC與三棱錐OABC底面都是ABC，O是SC的中點(diǎn)，因此三棱錐SABC的高是三棱錐OABC高的2倍，所以三棱錐SABC的體積也是三棱錐OABC體積的2倍如圖所示，在三棱錐OABC中，其棱長(zhǎng)都是1，作出三棱錐OA

11、BC的高OD，連接DC，則SABCeq f(1,2)1eq f(r(3),2)eq f(r(3),4)，ODeq r(OC2CD2)eq r(12blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)2)eq f(r(6),3)，所以VSABC2VOABC2eq f(1,3)eq f(r(3),4)eq f(r(6),3)eq f(r(2),6).4已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于_答案eq f(160,3)解析由題意，知該幾何體是由一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐組成的組合體，其中直三棱柱的底面為等腰直角三角形，面積為8，高為844，故V直三棱柱8432，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，高為4，故V四棱錐eq f(1,3)164eq f(64,3)，故該幾何體的體積VV直三棱柱V四棱錐32eq f(64,3)eq f(160,3).5已知三棱臺(tái)ABCA1B1C1上底面的面積為a2，下底面的面積為b2(a0，b0)，作截面AB1C1，設(shè)三棱錐BAB1C1的高等于三棱臺(tái)的高，求三角形A