抽象函數(shù)問題的求解策略探究

1、PAGE PAGE 4抽象函數(shù)問題的求解策略探究湖南省 黃愛民 趙長春函數(shù)是每年高考的熱點(diǎn)，而抽象函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用又是函數(shù)的難點(diǎn)之一。抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質(zhì)或運(yùn)算法則。此類函數(shù)試題既能全面地考查學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解及性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，又能綜合考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)語言的理解和接受能力，以及對(duì)一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識(shí)。因此備受命題者的青睞，在近幾年的高考試題中不斷地出現(xiàn)。然而，由于這類問題本身的抽象性和其性質(zhì)的隱蔽性，大多數(shù)學(xué)生在解決這類問題時(shí)，感到束手無策。下面通過例題來探討這類問題的求解策略。一、具體模型策略例1已已知函數(shù)數(shù)f(xx)對(duì)一一切實(shí)

2、數(shù)數(shù)x、y滿滿足f(0)0，ff(x+y)=f(xx)(yy),且且當(dāng)x0時(shí)，f(xx)11,則當(dāng)當(dāng)x00時(shí)f(x)的的取值范范圍是。解析：令令f(xx)=aax(0a11)易得得0ff（x）1。評(píng)析：借借助特殊殊函數(shù)直直接解抽抽象函數(shù)數(shù)客觀題題是常用用的解題題處理方方法，可可以迅速速得到正正確答案案。二、類比比聯(lián)想策策略例2已已知f(x)是是定義在在實(shí)數(shù)集集上的的函數(shù)，且f(x22)11f(x)=1f(xx)，ff(22)=1,則ff(20006)=（ ）分析：由由條件知知，f(x+22)=（*），又ff(11)22，逐步推推出f(20006)，顯然比比較繁鎖鎖，若將將（*）式與進(jìn)行行類比，

3、則結(jié)構(gòu)構(gòu)形式類類似，而而y=tanx的的周期為為=4.于是便便產(chǎn)生一一個(gè)念頭頭：f(x)也也有可能能是周期期函數(shù)，周期為為4288.于是猜想想成立。f(220066)ff(825006)ff(6)ff(228)從而應(yīng)應(yīng)選B。評(píng)析：由由于抽象象函數(shù)的的結(jié)論對(duì)對(duì)任何滿滿足條件件的具體體函數(shù)都都成立，因而可可以通過過考察一一些具體體函數(shù)，巧巧妙類比比聯(lián)想，以找到到解題的的突破口口，最后后利用具具體函數(shù)數(shù)的一些些性質(zhì)探探索出抽抽象函數(shù)數(shù)的解題題思路。三、運(yùn)用用函數(shù)性性質(zhì)策略略例3定定義在上上的單調(diào)調(diào)函數(shù)滿滿足，且且對(duì)任意意的、都有（1）求求證：為為奇函數(shù)數(shù)（2）若對(duì)任任意恒成成立，求求實(shí)數(shù)的的取值范范

4、圍。解：令,代入得得: 令代代入上式式得：，又即 對(duì)任任意成立立，是奇函函數(shù)(2),又在R上單單調(diào)且， 故是上的增增函數(shù)，又由（1）知知為奇函函數(shù)恒成立立，只需需評(píng)析：函函數(shù)的特特征是通通過其性性質(zhì)（如如奇偶性性、單調(diào)調(diào)性、周周期性、特殊點(diǎn)點(diǎn)等）反反應(yīng)出來來的，抽抽象函數(shù)數(shù)也是如如此只只有充分分挖掘和和利用題題設(shè)條件件和隱含含的性質(zhì)質(zhì)，靈活活進(jìn)行等等價(jià)轉(zhuǎn)化化，抽象象函數(shù)問問題才能能峰回路路轉(zhuǎn)，化化難為易易，常用用的解題題考法有有：利用奇奇偶性整整體思考考；利用單單調(diào)性等等價(jià)轉(zhuǎn)化化；利用周周期性回回歸已知知，利用對(duì)對(duì)稱性數(shù)數(shù)形結(jié)合合；借助特特殊點(diǎn)，列方程（組組）等四、賦值值換元策略 例4是否存存

5、在函數(shù)數(shù)同時(shí)滿滿足下列列三個(gè)條條件：（1）；（2）；（3）？若存在在，求的的表達(dá)式式；若不不存在，請(qǐng)說明明理由。分析：條條件(11)中、的任意意性，隱隱含著、既可“換元”，又可可“賦值”，結(jié)合合條件(2)和和(3)，可望望構(gòu)造出出函數(shù)方方程組，從而求求得函數(shù)數(shù)表達(dá)式式。令，得令，得令，得得將 = 1 * GB3 + = 2 * GB3 - = 3 * GB3 得，故存在在符合題題意。評(píng)析：對(duì)對(duì)于用常常規(guī)解法法難以解解決的數(shù)數(shù)學(xué)問題題，若利利用一些些特殊的的數(shù)學(xué)思思想方法法求解，有時(shí)會(huì)會(huì)收到事事半功倍倍的效果果。方程程觀點(diǎn)是是處理數(shù)數(shù)學(xué)問題題的一個(gè)個(gè)基本觀觀點(diǎn)，挖挖掘隱含含條件，合理賦賦值，構(gòu)構(gòu)

6、造方程程（組），化函函數(shù)問題題為方程程問題，可使這這類抽象象函數(shù)問問題迅速速獲解。如(11)在求求函數(shù)解解析式或或研究函函數(shù)性質(zhì)質(zhì)時(shí)，一一般用“代換”的方法，將x 換成-x或?qū) 換換成等； (22)在求求函數(shù)值值時(shí)，可可用特殊殊值（如如0或1或或一1)代人人”； (3)研研究抽象象函數(shù)的的具體模模型，用用具體模模型解選選擇題、填空題題，或由由具體模模型函數(shù)數(shù)對(duì)綜合合題的解解答提供供思路和和考法，或反證證、逆推推諸法共共用五、分類類討論策策略例例5設(shè)f（x）是是定義在在（-，+）上的的增函數(shù)數(shù)，問是是否存在在實(shí)數(shù)kk，使不不等式ff（k+sinn2x）f（k-44）（ssinxx+coosx

7、）對(duì)任任意xR恒成成立？并并說明理理由。 分析：令siinx+cossx =t，則則sinn2x = tt2-1 ，原不不等式對(duì)對(duì)一切xxR恒成成立，等等價(jià)于不不等式（t）= tt2 -（k-44）t+（k-1）0對(duì)任任意t恒成立立，下列列分三種種情況討討論：（1）當(dāng)當(dāng)0時(shí)時(shí)，（t）0，對(duì)對(duì)t恒成立立，由=-4（k-11）=（k-22）（kk-100）00得2k110；（2）當(dāng)當(dāng)=0時(shí)時(shí)，k=2或kk=100，此時(shí)時(shí)拋物線線t2 -（k-44）t+（k-1）的的頂點(diǎn)橫橫坐標(biāo)tt= -11或t=3，（t）0對(duì)任任意t恒成立立；（t）= tt2 -（k-44）t+（k-1）0 （3）當(dāng)0時(shí)時(shí)，（t

8、）0對(duì)任任意t恒成立立的充要要條件是是：綜綜上所述述得k的取值值范圍是是.評(píng)析：對(duì)對(duì)于參數(shù)數(shù)的抽象象函數(shù)問問題，通通過挖掘掘隱含條條件，尋尋求分類類標(biāo)準(zhǔn)，逐類討討論，分分而治之之是解題題的常用用方法.六、整體體求解策策略例6、已已知f(x)，g(xx)為奇奇函數(shù),F(xx)=aaf(xx)+bbg(xx)+33（a，b為常常數(shù)）若若F(44)=4,則則F(4)=_ 。解:設(shè)(x)=aff(x)+bgg(x),則(x)=F(x)3，由由題設(shè)可可知(x)為奇函函數(shù)，(44)=(4)即F(4)3=F(4)3，故F(4)=100評(píng)析：運(yùn)運(yùn)用整體體思想求求解，即即先化整整體為局局部，再再由各局局部的解解

9、決使問問題獲解解。七、正難難則反策策略例7已已知f(x)在在實(shí)集上是增增函數(shù)，a，bb都是實(shí)實(shí)數(shù)，若若f(aa)+ff(b)f(a)+f(b),求證：a+bb0。分析：本本題若用用直接證證法顯然然無從下下手，但但考慮用用反證法法則問題題可以很很快解決決。證明：假假設(shè)a+b00，則ab,bbaa,因?yàn)闉閒(xx)是上的增增函數(shù)，故f(a)f(b),f(bb)ff(aa)，兩兩式相加加：f(a)+f(bb)ff(aa)+ff(bb),這這與條件件f(aa)+ff(b)f(a)+f(b)矛矛盾，故故假設(shè)不不成立，于是aa+b0。八、數(shù)形形轉(zhuǎn)化策策略例8已已知f(x)是是上的的奇函數(shù)數(shù)，在區(qū)區(qū)間（，）上是是增函數(shù)數(shù)，又ff(33)，那么么xf(xx)00的解集集是（）、xx|33x0或xx3 、x|x或x3、xx|x或或xx3 、x|3xx0或或xx3解：根據(jù)據(jù)題設(shè)條條件可畫畫出函數(shù)數(shù)y=ff(x)的示意意草圖，如上圖圖f(33)=f(3)=0, 而xf(xx)00 x與ff(x)異號(hào)，由圖象象知33x0或00 x3，從而正正確的答答案為()評(píng)析：對(duì)對(duì)于抽象象函數(shù)，若能依依據(jù)條件件所給出出的函數(shù)數(shù)性質(zhì)，畫出